2020届高三数学（文）“大题精练”12

2020届高三数学（文）“大题精练”12

‎2020届高三数学（文）“大题精练”12（答案解析）‎ ‎17.已知数列的前项和满足，且。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和。‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是正三角形，是的中点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积。‎ - 14 -‎ ‎19.已知某保险公司某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 保费（元）‎ 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到下表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎140‎ ‎40‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎2‎ 该保险公司这种保险的赔付规定如下表：‎ 出险序次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上 赔付金额（元）‎ ‎0‎ 将所抽样本的频率视为概率。‎ ‎（1）求本年度—续保人保费的平均值的估计值；‎ ‎（2）求本年度—续保人所获赔付金额的平均值的估计值；‎ ‎（3）据统计今年有100万投保人进行续保，若该公司此险种的纯收益不少于900万元，求的最小值（纯收益=总入保额-总赔付额）。‎ - 14 -‎ ‎20.已知直线与抛物线相交于两个不同点，点是抛物线在点处的切线的交点。‎ ‎（1）若直线经过抛物线的焦点，求证：；‎ ‎（2）若，且直线经过点，求的最小值。‎ ‎21.已知，函数.‎ ‎（1）证明：有两个极值点；‎ ‎（2）若是函数的两个极值点，证明：.‎ ‎22.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点在曲线上运动，动点满足，其轨迹为曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ - 14 -‎ ‎（1）求曲线,的普通方程；‎ ‎（2）若点分别是射线与曲线，的公共点，求的最大值。‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎2020届高三数学（文）“大题精练”12（答案解析）‎ ‎17.已知数列的前项和满足，且。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ - 14 -‎ ‎（2）若，求数列的前项和。‎ ‎【详解】解：（1）当时，，∵，∴，‎ 当时，，‎ ‎∴，∵，∴，∴，‎ ‎∴是以为首项，为公差的等差数列，∴；‎ ‎（2）由（1）得，∴，‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是正三角形，是的中点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积。‎ ‎【详解】（1）证明：∵，∴，‎ - 14 -‎ ‎∵，∴，‎ 由余弦定理得：，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴；‎ ‎（2）‎ 连接，由（1）得平面，，‎ ‎∵是的中点，，‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎19.已知某保险公司某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 保费（元）‎ 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到下表：‎ - 14 -‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎140‎ ‎40‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎2‎ 该保险公司这种保险的赔付规定如下表：‎ 出险序次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上 赔付金额（元）‎ ‎0‎ 将所抽样本的频率视为概率。‎ ‎（1）求本年度—续保人保费的平均值的估计值；‎ ‎（2）求本年度—续保人所获赔付金额的平均值的估计值；‎ ‎（3）据统计今年有100万投保人进行续保，若该公司此险种的纯收益不少于900万元，求的最小值（纯收益=总入保额-总赔付额）。‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得 保费（元）‎ 概率 ‎0.7‎ ‎0.2‎ ‎0.06‎ ‎0.03‎ ‎0.01‎ ‎∴本年度一续保人保费的平均值的估计值为 ‎；‎ ‎（2）由题意可得 - 14 -‎ 赔偿金额（元）‎ ‎0‎ 概率 ‎0.7‎ ‎0.2‎ ‎0.06‎ ‎003‎ ‎0.01‎ ‎∴本年度一续保人所获赔付金额的平均值的估计值 ‎；‎ ‎（3）由（1），（2）得该公司此险种的总收益为，‎ ‎∴，∴，∴基本保费的最小值为100元。‎ ‎20.已知直线与抛物线相交于两个不同点，点是抛物线在点处的切线的交点。‎ ‎（1）若直线经过抛物线的焦点，求证：；‎ ‎（2）若，且直线经过点，求的最小值。‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，‎ ‎②当时，设直线，点的坐标分别为，‎ 由得，∴，‎ 过点的切线方程为，即，‎ - 14 -‎ 过点的切线方程为，‎ 由得，∴，‎ ‎∵，∴；‎ ‎②当时，则直线，∴；‎ ‎（2）由题意可得，‎ ‎①当时，设直线，点的坐标分别为，‎ 由，得，∴，‎ ‎∴，‎ 由（1）可得过点的切线方程分别为，‎ 由得，∴，‎ ‎∴到直线的距离，‎ ‎∴，‎ - 14 -‎ 当时，取最小值1；‎ ‎②当时，则直线，∴，‎ 综上，的最小值为1。‎ ‎21.已知，函数.‎ ‎（1）证明：有两个极值点；‎ ‎（2）若是函数的两个极值点，证明：.‎ ‎【详解】（1）证明：由题意得，‎ 令，‎ 则在上递增，且，‎ 当时，递减；当时，递增，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴.‎ 当时，递增；‎ 当时，递减，‎ ‎∴是的极大值点.‎ ‎∵，∴.‎ - 14 -‎ 当时，递减；‎ 当时，递增，‎ ‎∴是的极小值点.‎ ‎∴在上有两个极值点.‎ ‎（2）证明：由（1）得，且，‎ ‎∴，.‎ ‎∴‎ ‎=.‎ 设，则，‎ ‎∴在时单调递减，则.‎ ‎∴，则.‎ ‎∴.‎ ‎22.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点在曲线上运动，动点满足，其轨迹为曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎（1）求曲线,的普通方程；‎ - 14 -‎ ‎（2）若点分别是射线与曲线，的公共点，求的最大值。‎ ‎【详解】解：（1）设，∵，∴，‎ ‎∵点在曲线上，∴，‎ ‎∴曲线的普通方程为，‎ ‎∴曲线普通方程为；‎ ‎（2）由得曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 由得或，‎ ‎∴或，‎ 由得或，‎ ‎∴或，‎ ‎∴最大值为。‎ - 14 -‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，原不等式为，‎ ‎∴或或，‎ ‎∴或或，‎ ‎∴原不等式的解集为，‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴的取值范围。‎ - 14 -‎ - 14 -‎