数学文卷·2018届湖南省（长郡中学、株洲市二中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考（2018

数学文卷·2018届湖南省（长郡中学、株洲市二中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考（2018

‎2018届高三·十四校联考 第二次考试 数学（文科）试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若实数，满足，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.长方体内部挖去一部分的三视图如图所示，则几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.函数的部分图象如图所示，已知，，则的对称中心为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.如图是为了求出满足的最小整数，和两个空白框中，可以分别填入（ ）‎ A．，输出 B．，输出 C．，输出 D．，输出 ‎9.已知某地春天下雨的概率为.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率；先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示下雨，，，，，，表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下组随机数：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎12.已知函数，若实数满足，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上. ‎ ‎13.已知，，，则 ．‎ ‎14.已知函数，，则的单调递增区间为 ．‎ ‎15.菱形边长为，，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、、、四点在同一球面上，则球的表面积等于 ．‎ ‎16.设椭圆：的左、右焦点、，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知是等差数列，是等比数列，，，，.‎ ‎（1）求，的通项公式；‎ ‎（2）的前项和为，求证：.‎ ‎18.已知如图，平面，四边形为等腰梯形，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）已知为中点，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.随着智能手机和电子阅读器越来越普及，人们的阅读习惯也发生了改变，手机和电子阅读产品方便易携带，越来越多的人习惯通过手机或电子阅读器阅读.某电子书阅读器厂商随机调查了人，统计了这人每日平均通过手机或电子阅读器阅读的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知阅读时间在，，三组对应的人数依次成等差数列.‎ ‎（1）求频率分布直方图中，的值；‎ ‎（2）若将日平均阅读时间不少于分钟的用户定义为“电子阅读发烧友”，将日平均阅读时间少于分钟的用户定义为“电子阅读潜在爱好者”，现从上述“电子阅读发烧友”与“电子阅读潜在爱好者”的人中按分层抽样选出人，再从这人中任取人，求恰有人为“电子阅读发烧友”的概率.‎ ‎20.已知抛物线：上一点，直线过与相切，直线过坐标原点与直线平行交于.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）与垂直交于，两点，已知四边形面积为，求的方程.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）证明：当时，恒成立.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线与交于，两点，记点，相应的参数分别为，，当时，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围.‎ ‎2018届高三·十四校联考 第二次考试 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5: BBDBC 6-10: ACACD 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. （或） 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）设公差为，公比为，‎ 由题意得：，‎ 解得，‎ 或（舍），‎ ‎∴，.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 相减得：，‎ ‎∴，∴.‎ ‎18.【解析】（1）连接，过作于，过作于.‎ 在等腰梯形中，∵，∴.‎ ‎∴，则，，‎ ‎∴即，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）∵由（1）知，，∴为直角三角形，为中点，设到平面 距离为，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成角的正弦值等于.‎ ‎19.【解析】（1）由，‎ 解得，‎ 又，∴.‎ ‎（2）“电子阅读发烧友”“电子阅读潜在爱好者”的人数之比为：，所以“发烧友”抽取人，‎ ‎“潜在爱好者”抽取人，‎ 记事件：从人中任取人恰有人为“电子阅读发烧友”，‎ 设两名“电子阅读发烧友”的人记为：，，三名“电子阅读潜在爱好者”的人记为：，，，‎ 则这人中任选人有：‎ ‎，，，，，，，，，，共种情形，‎ 符合题设条件的有：‎ ‎，，，，，共有种，‎ 因此恰有人为“电子阅读发烧友”的概率为.‎ ‎20.【解析】（1）把代入得，∴抛物线：，‎ 设斜率为，：，‎ 联立：得，‎ 由，化简得，‎ ‎∴，‎ ‎：.‎ ‎（2）联立易得，则，‎ ‎∵，∴，∴.‎ 设：，‎ 联立得，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎，‎ 解得.‎ 所以方程为.‎ ‎21.【解析】（1）易得定义域为，‎ ‎，解得或.‎ 当时，∵，∴，‎ 解得，∴的单调递减区间为；‎ 当时，‎ i.若，即时，时，，‎ 时，，时，，‎ ‎∴的单调递减区间为；‎ ii.若，即时，时，恒成立，‎ 没有单调递减区间；‎ iii.若，即时，时，；时，，‎ 时，，∴的单调递减区间为.‎ 综上：时，单调递减区间为；时，单调递减区间为；‎ 时，无单调递减区间；时，单调递减区间为.‎ ‎（2）令，‎ 则 ‎.‎ 令，，‎ 时，，时，，‎ ‎∴时，，即时，恒成立.‎ 解得或，时，，时，‎ ‎，∴时，，得证.‎ ‎22.【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以：的普通方程：，其中；‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 所以：的直角坐标方程：.‎ ‎（2）由题知直线恒过定点，又，‎ 由参数方程的几何意义知是线段的中点，‎ 曲线是以为圆心，半径的圆，‎ 且.‎ 由垂径定理知：.‎ ‎23.【解析】（1）不等式，即.‎ 可得，或或，‎ 解得或，所以不等式的解集为.‎ ‎（2）依题意可知，‎ 由（1）知，，‎ 所以，‎ 故得的取值范围是. ‎