2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第26练
第26练 导数的概念及简单应用[小题提速练]
[明晰考情] 1.命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值.2.题目难度：中档偏难.
考点一 导数的几何意义
方法技巧 (1)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率.
(2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率.
1.已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
答案 A
解析 由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－.
∴f′(x)＝，且f′(1)＝1.
由导数的几何意义，得所求切线的斜率k＝1.
2.函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－y＋1＝0 D.x－y－1＝0
答案 C
解析 f(0)＝e0cos 0＝1，
因为f′(x)＝excos x－exsin x，
所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，
即x－y＋1＝0，故选C.
3.(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A.y＝－2x B.y＝－x
C.y＝2x D.y＝x
答案 D
解析 方法一 ∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
方法二 ∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
4.(2016·全国Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
答案 1－ln 2
解析 y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1).
y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)，
∴
解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
考点二 导数与函数的单调性
方法技巧 (1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
5.已知函数f(x)＝ln x－x＋，若a＝－f，b＝f(π)，c＝f(5)，则( )
A.c
f(π)>f(5)，
∴a>b>c.故选A.
6.设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.(1，2] B.[4，＋∞)
C.(－∞，2] D.(0，3]
答案 A
解析 易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.
由f′(x)＝x－<0，解得0f(x)恒成立，若x10，所以g(x)单调递增，当x10，则下列结论错误的是( )
A.f(x)的增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)
B.f(x)在x＝3处取极小值，在x＝－1处取极大值
C.f(x)有3个零点
D.f(x)无最大值也无最小值
答案 C
解析 由x≠3且x≠－1，(x2－2x－3)f′(x)－ex＝0知，f′(x)＝，当x<－1或x>3时，x2－2x－3>0，∴f′(x)>0，当－10，故f(x)min＝f(1)＝1－；
当x＝2时，g(x)取得最小值g(2)＝a－9，
所以1－≤a－9，即实数a的取值范围是a≥10－.
考点四 定积分
要点重组 微积分基本定理：
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a).
12.ʃdx等于( )
A.e2 B. C. D.
答案 B
解析 ʃdx＝
＝－＝.
13.设f(x)＝则ʃf(x)dx的值为( )
A.＋ B.＋3
C.＋ D.＋3
答案 A
解析 根据定积分的性质，
可得ʃf(x)dx＝ʃ()dx＋ʃ(x2－1)dx，
根据定积分的几何意义，可得ʃ()dx是以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，
∴ʃ()dx＝，
∴ʃf(x)dx＝＋＝＋.
14.曲线y＝cos x与坐标轴所围图形的面积为( )
A.4 B.2 C. D.3
答案 D
解析 曲线y＝cos x与坐标轴所围图形的面积为S＝cos xdx－cos xdx
＝＝3.
15.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B.4 C. D.6
答案 C
解析 如图，由y＝和y＝x－2的图象易得A(0，－2).
由得其交点坐标为B(4，2).
因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
ʃ[－(x－2)]dx＝ʃ(－x＋2)dx＝＝×8－×16＋2×4＝.
1.已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于( )
A.－1 B.－3 C.－4 D.－2
答案 D
解析 ∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋(m<0)，
于是解得m＝－2.故选D.
2.(2016·全国Ⅰ)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A.[－1，1] B.
C. D.
答案 C
解析 方法一 (特殊值法)
不妨取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，
f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不具备在(－∞，＋∞)上单调递增，排除A，B，D.故选C.
方法二 (综合法)
∵函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝1－cos 2x＋acos x
＝1－(2cos2x－1)＋acos x
＝－cos2x＋acos x＋≥0，
即acos x≥cos2x－在(－∞，＋∞)上恒成立.
当cos x＝0时，恒有0≥－，得a∈R；
当00，f(x)为增函数；当－11时，f′(x)>0，f(x)为增函数.故选项B的图象符合.
2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)
答案 D
解析 函数f(x)＝(x－3)ex的导函数为f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.
由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，
此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.
3.已知函数f(x)＝x3－mx2＋4x－3在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为( )
A.4≤m≤5 B.2≤m≤4
C.m≤2 D.m≤4
答案 D
解析 由函数f(x)＝x3－mx2＋4x－3，
可得f′(x)＝x2－mx＋4，由函数f(x)＝x3－mx2＋4x－3在区间[1，2]上是增函数，可得x2－mx＋4≥0在区间[1，2]上恒成立，
可得m≤x＋，又x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，可得m≤4.
4.若函数f(x)＝(x＋1)·ex，则下列命题正确的是( )
A.对任意m<－，都存在x∈R，使得f(x)－，都存在x∈R，使得f(x)－，方程f(x)＝m总有两个实根
答案 B
解析 ∵f′(x)＝(x＋2)·ex，
∴当x>－2时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
当x<－2时，f′(x)<0，f(x)为减函数.∴f(－2)＝－为f(x)的最小值，即f(x)≥－(x∈R)，故B正确.
5.已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足xf′(x)＋2f(x)＞0，则不等式＜的解集为( )
A.{x|x＞－2 013}
B.{x|x＜－2 013}
C.{x|－2 013＜x＜0}
D.{x|－2 018＜x＜－2 013}
答案 D
解析 构造函数g(x)＝x2f(x)，
则g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)].
当x＞0时，∵2f(x)＋xf′(x)＞0，
∴g′(x)＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
∵不等式＜，
∴当x＋2 018＞0，即x＞－2 018时，
(x＋2 018)2f(x＋2 018)＜52f(5)，
即g(x＋2 018)＜g(5)，
∴00，不等式ln(1＋x)－x＋>1(a∈R)恒成立，则a的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)
答案 C
解析 若对∀x>0，不等式ln(1＋x)－x＋>1 (a∈R)恒成立，则ln(1＋x)＋>1恒成立，即a>(x＋2)[1－ln(1＋x)]恒成立，令h(x)＝(x＋2)[1－ln(1＋x)](x>0)，则h′(x)＝1－ln(1＋x)－＝－ln(1＋x)－.当x>0时，显然h′(x)＝－ln(1＋x)－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以当x>0时，h(x)1时， f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减，不合题意.
综上可得实数a的取值范围是a≤e＋－2.
9.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是____________.
答案 2x＋y＋1＝0
解析 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ln x－3x.
因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，
所以当x>0时，f′(x)＝－3，f(x)在点(1，－3)处的切线斜率为f′(1)＝－2，
所以切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即2x＋y＋1＝0.
10.设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a，则a＝________.
答案
解析 ∵S＝ʃdx＝＝＝a，
∴a＝.
11.(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________.
答案 －
解析 f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1).
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当cos x＞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
∴当cos x＝时，f(x)有最小值.
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
12.已知函数f(x)＝ex－x，若f(x)<0的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为______________.
答案
解析 f(x)<0，即ex－x<0，即kx＋<只有一个正整数解，设g(x)＝，所以g′(x)＝，当x<1时，g′(x)>0，当x>1时，g′(x)<0，所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝，
由图可知，kx＋<的唯一一个正整数解只能是1，
所以有
解得－≤k<－，
所以实数k的取值范围为.
