2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 29等比数列及其前N项和

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2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 29等比数列及其前N项和

考点规范练29 等比数列及其前n项和 基础巩固组 ‎1.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比q为(  )‎ ‎                ‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎2.(2017浙江湖州考试)已知{an}是等比数列,则“a2b2 B.a3b5 D.a6>b6‎ ‎5.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R,且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于(  )‎ A.1 B.-1 C.‎1‎‎2‎ D.2‎ ‎6.(2017浙江联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a1,S2,5成等差数列,则数列{an}的公比q=     . ‎ ‎7.(2017浙江丽水调研)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=‎2‎-1,a5=‎2‎+1,则a‎3‎‎2‎+2a2a6+a3a7=     . ‎ ‎8.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an‎2‎-(2an+1-1)an-2an+1=0,则a3=     ,an=     . ‎ 能力提升组 ‎9.设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎10.(2017浙江温州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,那么数列{bn}的前15项和为(  )‎ A.152 B.135 C.80 D.16‎ ‎11.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n,则S2 015=(  )‎ A.22 015-1 B.21 009-3‎ C.3×21 007-3 D.21 008-3‎ ‎12.(2017安徽蚌埠质检)数列{an}是以a为首项,b为公比的等比数列,数列{bn}满足bn=1+a1+a2+…+an(n=1,2,…),数列{cn}满足cn=2+b1+b2+…+bn(n=1,2,…),若{cn}为等比数列,则a+b=(  )‎ A.‎2‎ B.3 C.‎5‎ D.6‎ ‎13.(2017浙江模拟)已知a,b为实常数,{ci}(i∈N*)是公比不为1的等比数列,直线ax+by+ci=0与抛物线y2=2px(p>0)均相交,所成弦的中点为Mi(xi,yi),则下列说法错误的是(  )‎ A.数列{xi}可能是等比数列 B.数列{yi}是常数列 C.数列{xi}可能是等差数列 D.数列{xi+yi}可能是等比数列 ‎14.‎ 如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2‎2‎,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=     . ‎ ‎15.(2017浙江台州调研)已知数列{an}的前m(m≥4)项是公差为2的等差数列,从第m-1项起,am-1,am,am+1,…成公比为2的等比数列.若a1=-2,则m=     ,{an}的前6项和S6=     . ‎ ‎16.(2017湖南邵阳大联考)已知数列{bn}为等比数列,且b1 008=e(e为自然对数的底数),数列{an}首项为1,且an+1=an·bn,则ln a2 016的值为     . ‎ ‎17.(2017浙江绍兴模拟)已知正项数列{an}的奇数项a1,a3,a5,…,a‎2‎k-1‎,…构成首项a1=1的等差数列,偶数项构成公比q=2的等比数列,且a1,a2,a3成等比数列,a4,a5,a7成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=a‎2n+1‎a‎2n,Tn=b1b2…bn,求正整数k,使得对任意n∈N*,均有Tk≥Tn.‎ ‎18.等差数列前n项和为Sn,已知a1=2,S6=22.‎ ‎(1)求Sn,并求Sn的最小值;‎ ‎(2)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{akn},其中k1=1,且k1a5=0,b6=‎2‎‎-‎‎4‎‎3‎>a6=-1.‎ ‎5.D 由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=‎λan‎-‎‎2‎λ.‎ 由{an-1}是等比数列,所以‎2‎λ=1,得λ=2.‎ ‎6.2 由题意得2S2=a1+5,即2(1+q)=1+5,q=2.‎ ‎7.8 由等比数列性质,得a3a7=a‎5‎‎2‎,a2a6=a3a5,所以a‎3‎‎2‎+2a2a6+a3a7=a‎3‎‎2‎+2a3a5+a‎5‎‎2‎=(a3+a5)2=(‎2‎-1+‎2‎+1)2=(2‎2‎)2=8.‎ ‎8‎.‎1‎‎4‎ ‎‎1‎‎2‎n-1‎ 由题意得a2=‎1‎‎2‎,a3=‎‎1‎‎4‎‎.‎ ‎(等比数列的定义、通项公式)由an‎2‎-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以an+1‎an‎=‎1‎‎2‎.‎故{an}是首项为1,公比为‎1‎‎2‎的等比数列,因此an=‎‎1‎‎2‎n-1‎‎.‎ ‎9.C 由题意,得a2n-1+a2n<0⇔a1(q2n-2+q2n-1)<0⇔q2(n-1)(q+1)<0⇔q∈(-∞,-1),因此,q<0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0的必要不充分条件.故选C.‎ ‎10.B 由题设可得a2+a4=S4-(a1+a3)=90,即q(a1+a3)=90⇒q=3,所以a1=‎30‎‎1+9‎=3,则an=3·3n-1=3n,所以bn=1+log3(3n)=1+n,则数列{bn}是首项为b1=2,公差为d=1的等差数列,所以S15=2×15+‎15×14‎‎2‎=135,应选答案B.‎ ‎11.B ∵a1=1,an+1·an=2n,∴an≠0,a2=2,‎ 当n≥2时,an·an-1=2n-1.‎ ‎∴an+1‎an-1‎=‎‎2‎n‎2‎n-1‎‎=2(n≥2),‎ ‎∴数列{an}中奇数项,偶数项分别成等比数列,‎ ‎∴S2 015=‎1-‎‎2‎‎1 008‎‎1-2‎‎+‎‎2(1-‎2‎‎1 007‎)‎‎1-2‎=21 009-3,故选B.‎ ‎12.B 由题意,an=abn-1,则bn=1+a(1-bn)‎‎1-b=1+a‎1-b‎-‎abn‎1-b,得cn=2+‎1+‎a‎1-bn-a‎1-b‎·‎b(1-bn)‎‎1-b=2-ab‎(1-b‎)‎‎2‎‎+‎1-b+a‎1-b·‎n+abn+1‎‎(1-b‎)‎‎2‎,要使{cn}为等比数列,必有‎2-ab‎(1-b‎)‎‎2‎=0,‎‎1-b+a‎1-b‎=0,‎得a=1,‎b=2,‎a+b=3,故选B.‎ ‎13.C 由直线ax+by+ci=0,当a=0,b≠0时,直线by+ci=0与抛物线y2=2px(p>0)仅有一个交点,不合题意.‎ 当a≠0,b=0时,直线ax+ci=0,化为x=-cia,则xi=-cia,yi=0,xi+yi=-‎cia‎.‎ 由{ci}(i∈N*)是公比不为1的等比数列,可得{xi}是等比数列,{xi+yi}是等比数列,不是等差数列.‎ 当a≠0,b≠0时,直线ax+by+ci=0化为x=-bay-cia,代入抛物线y2=2px(p>0),∴y2+‎2pbay+‎2pcia=0.‎ 根据根与系数的关系可得Mi:pb‎2‎a‎2‎‎-cia,-‎pba‎.‎{yi}是常数列,是等比数列,是等差数列.‎ 综上可得:A,B,D都有可能,只有C不可能.‎ 故选C.‎ ‎14‎.‎‎1‎‎4‎ 由题意知数列{an}是以首项a1=2,公比q=‎2‎‎2‎的等比数列,∴a7=a1·q6=2‎‎×‎2‎‎2‎‎6‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎15.4 28 am-1=a1+(m-2)d=2m-6,am=2m-4,而‎2m-4‎‎2m-6‎=2,解得m=4,所以{an}的前6项依次为-2,0,2,4,8,16,所以S6=28.‎ ‎16.2 015 an+1=an·bn⇒a2 016=a2 015·b2 015=a2 014b2 014·b2 015=…=a1·b1b2·…·b2 015=(b1b2 015‎)‎‎2 015‎‎2‎=(b‎1 008‎‎2‎‎)‎‎2 015‎‎2‎=e2 015,因此ln a2 016=ln e2 015=2 015.‎ ‎17.解 (1)由题意:a‎2‎‎2‎‎=a‎1‎a‎3‎,‎‎2a‎5‎=a‎4‎+a‎7‎,‎设a1,a3,a5,…,a2k-1,…的公差为d,则a3=1+d,a5=1+2d,a7=1+3d,a4=2a2,代入a‎2‎‎2‎‎=1(1+d),‎‎1+d=2a‎2‎,‎又a2>0,故解得a‎2‎‎=2,‎d=3.‎ 故数列{an}的通项公式为an=‎‎3n-1‎‎2‎‎,n为奇数,‎‎2‎n‎2‎‎,n为偶数,‎ ‎(2)bn=‎3n+1‎‎2‎n,显然bn>0,‎ ‎∵bn+1‎bn=‎3n+4‎‎2‎n+1‎‎3n+1‎‎2‎n=‎‎3n+4‎‎6n+2‎‎<1,‎ ‎∴{bn}单调递减.又b1=2,b2=‎7‎‎4‎,b3=‎10‎‎8‎,b4=‎13‎‎6‎,‎ ‎∴b1>b2>b3>1>b4>b5>…,‎ ‎∴当k=3时,对任意n∈N*,均有T3≥Tn.‎ ‎18.解 (1)设等差数列的公差为d,则S6=6a1+‎1‎‎2‎‎·‎6·5d=22,‎ 解得d=‎2‎‎3‎,所以Sn=‎n(n+5)‎‎3‎‎.‎ 因为数列{an}是正项递增等差数列,‎ 所以Sn的最小值为S1=2.‎ ‎(2)因为数列{an}是正项递增等差数列,‎ 所以数列{akn}的公比q>1,‎ 若k2=2,则由a2=‎8‎‎3‎,得q=a‎2‎a‎1‎‎=‎‎4‎‎3‎,‎ 此时ak‎3‎=2‎·‎4‎‎3‎‎2‎=‎‎32‎‎9‎,‎ 由‎32‎‎9‎‎=‎‎2‎‎3‎(n+2),解得n=‎10‎‎3‎‎∉‎N*,所以k2>2,同理k2>3;‎ 若k2=4,则由a4=4,得q=2,此时akn=2·2n-1,‎ 另一方面,akn‎=‎‎2‎‎3‎(kn+2),‎ 所以‎2‎‎3‎(kn+2)=2n,即kn=3×2n-1-2,‎ 所以对任何正整数n,akn是数列{an}的第3·2n-1-2项.‎ 所以最小的公比q=2.‎ 所以kn=3·2n-1-2.‎
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