数学卷·2018届江苏省淮安市等四市高三上学期第一次模拟（2018

数学卷·2018届江苏省淮安市等四市高三上学期第一次模拟（2018

江苏省淮安市等四市 2018 届高三上学期第一次模拟 数学试卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）。本卷满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh ，其中 S 是柱体的底面面积， h 是高． 2.圆锥的侧面积公式： 1 2S cl ，其中 c 是圆锥底面的周长， l 是母线长． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合 2{ 0}A x x x   ， { 1,0}B   ，则 A B = ▲ ． 2．已知复数 2 i 2 iz   （ i 为虚数单位），则 z 的模为 ▲ ． 3．函数 1 2 logy x 的定义域为 ▲ ． 4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出 b 的值为 ▲ ． 5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150 分到 450 分 之间的 1 000 名学生的成绩，并根据这 1 000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如 图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人． 6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线方程为 2 0x y  ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 7．连续 2 次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的正方体）， 观察向上的点数，则事件“点数之积是 3 的倍数”的概率为 ▲ ． 8．已知正四棱柱的底面边长为 3cm ，侧面的对角线长是3 5cm ，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ． 9．若函数 ( ) sin( )( 0, 0)f x A x A      的图象与直线 y m 的三个相邻交点的横坐标分 150 200 250 300 350 400 450 成绩/分0.001 频率 组距 （第 5 题） （第 17 题） 0.003 0.004 0.005 a0 1 2 While 6 2 End While Pr int a b I I a a b b a b I I b               „ （第 4 题） 别是 6  ， 3  ， 2 3  ，则实数 的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 : 3C xy  上任意一点 P 到直线 : 3 0l x y  的距离 的最小值为 ▲ ． 11．已知等差数列{ }na 满足 1 3 5 7 9+ 10a a a a a    ， 2 2 8 2 36a a  ，则 11a 的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 1C： 2 2 2( 1) ( 0)x y r r    上存在点 P ，且点 P 关于直 线 0x y  的对称点 Q 在圆 2C ： 2 2( 2) ( 1) 1x y    上，则 r 的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数 2 2 1 1 ( ) ( 1) 1 x x f x x x               ， ≤ ， ， ， 函数 ( ) ( ) ( )g x f x f x   ，则不等式 ( ) 2g x ≤ 的解集 为 ▲ ． 14．如图，在 ABC△ 中，已知 3 2 120AB AC BAC       ， ， ， D 为边 BC 的中点．若 CE AD ，垂足为 E ，则 EB·EC 的值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文 字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分 14 分) 在 ABC△ 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 3cos 5A  , 1tan( ) 3B A  . ⑴求 tan B 的值； ⑵若 13c  ，求 ABC△ 的面积. 16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ABC   ， 1=AB AA ，M ，N 分别是 AC ， 1 1B C 的中点. 求证：⑴ //MN 平面 1 1ABB A ； ⑵ 1AN A B . 17．(本小题满分 14 分) 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组 成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 O 及其 内接等腰三角形 ABC 绕底边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180°而成，如图 2．已知圆 O 的半径为 10 cm，设∠BAO=θ， π0 2   ，圆锥的侧面积为 S cm2． ⑴求 S 关于θ的函数关系式； ⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 S 最大．求 S 取得最大值时腰 AB 的长度． B （第 14 题） A D C E （第 16 题） 1A 1B N M 1C CB A A O A O θ 18．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 1 2 ，且过 点 31 2 ( ， ). F 为椭圆的右焦点， ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接 ,AF BF 分别交 椭圆于 ,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若 AF FC ，求 BF FD 的值； ⑶设直线 AB ，CD 的斜率分别为 1k ， 2k ，是否存在实数 m ，使得 2 1k mk ，若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 19．(本小题满分 16 分) 已知函数 2( ) 1 ( ) ln ( )f x x ax g x x a a        R， ． ⑴当 1a  时，求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x  的极值； ⑵若存在与函数 ( )f x ， ( )g x 的图象都相切的直线，求实数 a 的取值范围． 20．（本小题满分 16 分） 已知数列{ }na ，其前 n 项和为 nS ，满足 1 2a  ， 1n n nS na a    ，其中 2n … ，n N ， A C y D B O xF （第 18 题） A C y D B O xF （第 18 题）  ，  R . ⑴若 0  ， 4  ， 1 2n n nb a a+  （ n N ），求证：数列{ }nb 是等比数列； ⑵若数列{ }na 是等比数列，求  ，  的值； ⑶若 2 3a  ，且 3 2    ，求证：数列{ }na 是等差数列. 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．． 内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． A．[选修 4 1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分） 如图， AB 是圆O 的直径，弦 BD ,CA 的延长线相交于点 E ，EF 垂直 BA 的延长线于点 F ． 求证： 2AB BE BD AE AC    B．[选修 4 2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 1 0 0 1      A ， 4 1 2 3      B ，若矩阵 M BA ，求矩阵 M 的逆矩阵 1M ． C．[选修 4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立 极坐标系，判断直线 1 2: 1 2 x tl y t      （ t 为参数）与圆 2: 2 cos 2 sin 0C        的位 置关系． D．[选修 4 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 , , ,a b c d 都是正实数，且 1a b c d    ，求证: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 a b c d a b c d       … ． 【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，已知 1AB  ， 1 2AA  ， E ， F ，G 分别是 1AA ， AC 和 A B C D E F (第 21－A 题) O . A B C D E F (第 21－A 题) O .A B C D E F (第 21－A 题) O . A B C D E F O .A B C D E F O . A B C D E F (第 21－A 题) O . 1 1AC 的中点．以{ , , }FA FB FG    为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 F xyz ． ⑴求异面直线 AC 与 BE 所成角的余弦值； ⑵求二面角 1F BC C  的余弦值． 23．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线 2: 4C y x 于点 P ，点 F 为C 的焦点．圆心不在 y 轴上的圆 M 与直线 l ，PF ， x 轴都相切，设 M 的轨迹为曲线 E ． ⑴求曲线 E 的方程； ⑵若直线 1l 与曲线 E 相切于点 ( , )Q s t ，过 Q 且垂直于 1l 的直线为 2l ，直线 1l ， 2l 分别与 y 轴相交于点 A ， B ．当线段 AB 的长度最小时，求 s 的值． 数学参考答案与评分标准 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{ 1,0,1} 2．1 3． (0,1] 4．13 5．750 6． 5 2 7． 5 9 8．54 9． 4 10． 3 11．11 12．[ 2 1, 2 1]  13．[ 2,2] 14． 27 7  二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文 字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在 ABC△ 中，由 3cos 5A  ，得 A为锐角，所以 2 4sin 1 cos 5A A   ， 所以 sin 4tan cos 3 AA A   ，………………………………………………………………2 分 所以 tan( ) tantan tan[( ) ] 1 tan( ) tan B A AB B A A B A A         . ………………………………4 分 1 4 3 3 31 41 3 3      …………………………………………………………6 分 （2）在三角形 ABC 中,由 tan 3B  ， 所以 3 10 10sin ,cos10 10B B  ， ………………………………………………8 分 由 13 10sin sin( ) sin cos cos sin 50C A B A B A B     ，…………………………10 分 A B C 1A 1B 1C F E x y z G （第 22 题） 由正弦定理 sin sin b c B C  ,得 3 1013sin 10 =15sin 13 10 50 c Bb C    ，………………………12 分 所以 ABC△ 的面积 1 1 4sin 15 13 782 2 5S bc A      . …………………………14 分 16．（1）证明：取 AB 的中点 P ，连结 1, .PM PB 因为 ,M P 分别是 ,AB AC 的中点， 所以 // ,PM BC 且 1 .2PM BC 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1//BC B C ， 1 1BC B C ， 又因为 N 是 1 1B C 的中点， 所以 1// ,PM B N 且 1PM B N . …………………………………………2 分 所以四边形 1PMNB 是平行四边形， 所以 1/ /MN PB ， ………………………………………………………………4 分 而 MN  平面 1 1ABB A ， 1PB  平面 1 1ABB A ， 所以 //MN 平面 1 1ABB A . ……………………………………………………6 分 （2）证明：因为三棱柱 1 1 1ABC A B C 为直三棱柱，所以 1BB  面 1 1 1A B C ， 又因为 1BB  面 1 1ABB A ， 所以面 1 1ABB A  面 1 1 1A B C ， …………………8 分 又因为 90ABC   ，所以 1 1 1 1B C B A ， 面 1 1ABB A  面 1 1 1 1 1=A B C B A ， 1 1 1 1 1B C A B C 平面 ， 所以 1 1B C  面 1 1ABB A ， ………………………10 分 又因为 1A B  面 1 1ABB A ， 所以 1 1 1B C A B ，即 1 1NB A B ， 连结 1AB ，因为在平行四边形 1 1ABB A 中， 1=AB AA ， 所以 1 1AB A B ， 又因为 1 1 1=NB AB B ，且 1AB ， 1NB  面 1AB N ， 所以 1A B  面 1AB N ，……………………………………………………………………12 分 而 AN  面 1AB N ， 所以 1A B AN .……………………………………………………………………………14 分 17．（1）设 AO 交 BC 于点 D ，过 O 作OE AB ，垂足为 E ， 在 AOE 中， 10cosAE  ， 2 20cosAB AE   ， …………………………………………………………2 分 在 ABD 中， sin 20cos sinBD AB       ， …………………………………………………………4 分 所以 1 2 20sin cos 20cos2S       2400 sin cos   ， (0 )2   ……………………6 分 （2）要使侧面积最大，由（1）得： 2 3400 sin cos 400 (sin sin )S         …………8 分 设 3( ) ,(0 1)f x x x x    则 2( ) 1 3f x x   ，由 2( ) 1 3 0f x x    得： 3 3x  D θ A B C O E （第 16 题） 1A 1B N M 1C CB A P 当 3(0, )3x 时， ( ) 0f x  ，当 3( ,1)3x 时， ( ) 0f x  所以 ( )f x 在区间 3(0, )3 上单调递增，在区间 3( ,1)3 上单调递减， 所以 ( )f x 在 3 3x  时取得极大值，也是最大值； 所以当 3sin 3   时，侧面积 S 取得最大值， …………………………11 分 此时等腰三角形的腰长 2 23 20 620cos 20 1 sin 20 1 ( )3 3AB        答：侧面积 S 取得最大值时，等腰三角形的腰 AB 的长度为 20 6 cm3 ．…………14 分 18．（1）设椭圆方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，由题意知： 2 2 1 2 1 9 14 c a a b      ……………2 分 解之得： 2 3 a b   ，所以椭圆方程为： 2 2 14 3 x y  ……………………………4 分 （2）若 AF FC ，由椭圆对称性，知 3(1, )2 A ，所以 3( 1, )2 B   ， 此时直线 BF 方程为 3 4 3 0x y   ， ……………………………………………6 分 由 2 2 3 4 3 0, 1,4 3 x y x y      ，得 27 6 13 0x x   ，解得 13 7x  （ 1x   舍去），…………8 分 故 1 ( 1) 7 13 317 BF FD     ．…………………………………………………………………10 分 （3）设 0 0, )A x y（ ，则 0 0( , )B x y  ， 直线 AF 的方程为 0 0 ( 1)1 yy xx   ，代入椭圆方程 2 2 14 3 x y  ，得 2 2 2 0 0 0 0(15 6 ) 8 15 24 0x x y x x     ， 因为 0x x 是该方程的一个解，所以 C 点的横坐标 0 0 8 5 5 2C xx x   ，…………………12 分 又 ( , )c CC x y 在直线 0 0 ( 1)1 yy xx   上，所以 0 0 0 0 3( 1)1 5 2C c y yy xx x     ， 同理， D 点坐标为 0 0 8 5(5 2 x x   ， 0 0 3 )5 2 y x ， ……………………………………………14 分 所以 0 0 00 0 2 1 0 0 0 0 0 3 3 5 55 2 5 2 8 5 8 5 3 3 5 2 5 2 y y yx xk kx x x x x       ， 即存在 5 3m  ，使得 2 1 5 3k k ． ………………………………………………………16 分 19．（1）函数 ( )h x 的定义域为 (0, ) 当 1a  时， 2( ) ( ) ( ) ln 2h x f x g x x x x      ， 所以 1 (2 1)( 1)( ) 2 1 x xh x x x x       ………………………………………………2 分 所以当 10 2x  时， ( ) 0h x  ，当 1 2x  时， ( ) 0h x  ， 所以函数 ( )h x 在区间 1(0, )2 单调递减，在区间 1( , )2  单调递增， 所以当 1 2x  时，函数 ( )h x 取得极小值为 11+ln 24 ，无极大值；…………………4 分 （2）设函数 ( )f x 上点 1 1( , ( ))x f x 与函数 ( )g x 上点 2 2( , ( ))x g x 处切线相同， 则 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) f x g xf x g x x x     所以 2 1 1 2 1 2 1 2 1 (ln )12 x ax x ax a x x x        ……………………………………6 分 所以 1 2 1 2 2 ax x   ，代入 21 2 1 1 2 2 1 (ln )x x x ax x ax       得： 2 22 2 2 1 ln 2 0(*)4 2 4 a ax ax x       ………………………………………………8 分 设 2 2 1( ) ln 24 2 4 a aF x x ax x       ，则 2 3 2 3 1 1 2 1( ) 2 2 2 a x axF x x x x x        不妨设 2 0 0 02 1 0( 0)x ax x    则当 00 x x  时， ( ) 0F x  ，当 0x x 时， ( ) 0F x  所以 ( )F x 在区间 0(0, )x 上单调递减，在区间 0( , )x  上单调递增，……………10 分 代入 2 0 0 0 0 1 2 1= 2xa xx x    可得： 2 min 0 0 0 0 0 1( ) ( ) 2 ln 2F x F x x x xx       设 2 1( ) 2 ln 2G x x x xx      ，则 2 1 1( ) 2 2 0G x x x x       对 0x  恒成立， 所以 ( )G x 在区间 (0, ) 上单调递增，又 (1)=0G 所以当 0 1x ≤ 时 ( ) 0G x ≤ ，即当 00 1x ≤ 时 0( ) 0F x ≤ , ……………12 分 又当 2ax e  时 2 2 2 4 2 1( ) ln 24 2 4 a a a a aF x e ae e         2 2 1 1( ) 04 a ae   ≥ ……………………………………14 分 因此当 00 1x ≤ 时，函数 ( )F x 必有零点；即当 00 1x ≤ 时，必存在 2x 使得 (*) 成立； 即存在 1 2,x x 使得函数 ( )f x 上点 1 1( , ( ))x f x 与函数 ( )g x 上点 2 2( , ( ))x g x 处切线相同． 又由 1 2y xx   得： 2 1 2 0y x      所以 1 2 (0,1)y xx   在 单调递减，因此 2 0 0 0 0 1 2 1= 2 [ 1 + )xa xx x      ， 所以实数 a 的取值范围是[ 1, )  ．…………………………………………………16 分 20．（1）证明：若 = 0, 4   ，则当 14n nS a  ( 2n≥ ), 所以 1 1 14( )n n n n na S S a a      ， 即 1 12 2( 2 )n n n na a a a    ， 所以 12n nb b  ， ……………………………………………………………2 分 又由 1 2a  ， 1 2 14a a a  ， 得 2 13 6a a  ， 2 12 2 0a a   ，即 0nb  ， 所以 1 2n n b b   ， 故数列{ }nb 是等比数列．……………………………………………………………4 分 （2）若{ }na 是等比数列，设其公比为 q （ 0q  ）， 当 2n  时， 2 2 12S a a   ，即 1 2 2 12a a a a    ，得 1 2q q    ， ① 当 3n  时， 3 3 23S a a   ，即 1 2 3 3 23a a a a a     ，得 2 21 3q q q q     ， ② 当 4n  时， 4 4 34S a a   ，即 1 2 3 4 4 34a a a a a a      ，得 2 3 3 21 4+q q q q q     ， ③ ②① q ，得 21 q  ， ③② q ，得 31 q  ， 解得 1, 1 q   ． 代入①式，得 0 ．…………………………………………………………………8 分 此时 n nS na ( 2n≥ )， 所以 1 2na a  ，{ }na 是公比为１的等比数列， 故 1 0  ，  ． ……………………………………………………………………10 分 （3）证明：若 2 3a  ，由 1 2 2 12a a a a    ，得 5 6 2   ， 又 3 2    ，解得 1 12  ，  ．…………………………………………………12 分 由 1 2a  ， 2 3a  ， 1 2   ， 1  ，代入 1n n nS na a    得 3 4a  ， 所以 1a ， 2a ， 3a 成等差数列， 由 12n n n nS a a   ，得 1 1 1 2n n n nS a a    ， 两式相减得： 1 1 1 1 2 2n n n n n n na a a a a       即 1 1( 1) ( 2) 2 0n n nn a n a a      所以 2 1( 1) 2 0n n nna n a a     相减得： 2 1 12( 1) ( 2) 2 2 0n n n n nna n a n a a a         所以 2 1 1 1( 2 ) 2( 2 ) 0n n n n n nn a a a a a a         所以 2 2 1 1 1 1 -2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 1)n n n n n n n n na a a a a a a a an n n             1 3 2 1 ( 2) ( 2 )( 1) 2 n a a an n      ， ……………………………………14 分 因为 1 2 32 0a a a   ，所以 2 12 0n n na a a    ， 即数列{ }na 是等差数列.………………………………………………………………16 分 数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准 21．A．证明：连接 AD ，因为 AB 为圆的直径，所以 AD BD ， 又 EF AB ，则 , , ,A D E F 四点共圆， 所以 BD BE BA BF   ． …………………………………………………………5 分 又△ ABC ∽△ AEF ， 所以 AB AC AE AF  ，即 AB AF AE AC   ， ∴ 2( )BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB           ． …………10 分 B．因为 4 1 1 0 4 1 2 3 0 1 2 3M BA                    ， ………………………………………5 分 所以 1 3 1 10 10 1 2 5 5 M            ． ………………………………………………………10 分 C.把直线方程 1 2: 1 2 x tl y t      化为普通方程为 2x y  ． ……………………………3 分 将圆 :C 2 2 cos 2 sin 0       化为普通方程为 2 22 2 0x x y y    ， 即 2 2( 1) ( 1) 2x y    ． ………………………………………………………………6 分 圆心 C 到直线l 的距离 2 2 2 d   ， 所以直线 l 与圆 C 相切.…………………………………………………………………10 分 D．证明：因为 2 2 2 2 [(1 ) (1 ) (1 ) (1 )]( )1 1 1 1 a b c da b c d a b c d              2( 1 1 1 1 ) 1 1 1 1 a b c da b c d a b c d                ≥ 2( ) 1a b c d     ， …………………………………………5 分 又 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 5a b c d        ， 所以 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 a b c d a b c d        ．…………………………………………10 分 22．（1）因为 11, 2AB AA  ，则 1 1 3 1(0,0,0), ( ,0,0), ( ,0,0), (0, ,0), ( ,0,1)2 2 2 2F A C B E ， 所以 ( 1,0,0)  AC ， 1 3( , ,1)2 2   BE ， ………………………………………2 分 记直线 AC 和 BE 所成角为 ， 则 2 2 11 22cos | cos , | | | 41 3( ) ( ) 12 2              AC BE ， 所以直线 AC 和 BE 所成角的余弦值为 2 4 ． ………………………………………4 分 （2）设平面 1BFC 的法向量为 1 1 1( , , )x y zm ， 因为 3(0, ,0)2FB  ， 1 1( ,0,2)2FC   ， 则 1 1 1 1 3 02 1 2 02 FB y FC x z             m m ，取 1 4x  得： (4,0,1)m ……………………………6 分 设平面 1BCC 的一个法向量为 2 2 2( , , )x y zn ， 因为 1 3( , ,0)2 2CB  ， 1 (0,0,2)CC  ， 则 2 2 1 2 1 3 02 2 2 0 CB x y CC z            n n ，取 2 3x  得： ( 3, 1,0) n ………………………8 分 2 2 2 2 2 2 4 3 ( 1) 0 1 0 2 51cos , 17( 3) ( 1) 0 4 0 1                 m n 根据图形可知二面角 1F BC C  为锐二面角， 所以二面角 1F BC C  的余弦值为 2 51 17 ； ……………………………………10 分 23．（1）因为抛物线 C 的方程为 2 4y x ，所以 F 的坐标为 (1,0) ， 设 ( , )M m n ，因为圆 M 与 x 轴、直线 l 都相切， l 平行于 x 轴， 所以圆 M 的半径为 n ，点 P 2( ,2 )n n ， 则直线 PF 的方程为 2 1 2 1 y x n n   ，即 22 ( 1) ( 1) 0n x y n    ，………………………2 分 所以 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) (2 ) ( 1) n m n n n n n       ，又 , 0m n  ， 所以 2 22 1 1m n n    ，即 2 1 0n m   ， 所以 E 的方程为 2 = 1y x  ( 0)y  ………………………………………………4 分 （2）设 2( 1, )Q t t ， 1(0, )A y ， 2(0, )B y ， 由（1）知，点 Q 处的切线 1l 的斜率存在，由对称性不妨设 0t ， 由 1 2 1   y x ，所以 1 2 2 1 1 2 1 1AQ t yk t t     ， 22 2 2 1 11BQ t yk tt      ， 所以 1 1 2 2  ty t ， 3 2 2 3 y t t ， ……………………………………………………6 分 所以 3 31 5 1| 2 3 | 2 ( 0)2 2 2 2 tAB t t t t tt t         ．……………………………………8 分 令 3 5 1( ) 2 2 2f t t t t    ， 0t  ， 则 4 2 2 2 2 5 1 12 5 1( ) 6 2 2 2 t tf t t t t       ， 由 ( ) 0f t  得 5 73 24t   ，由 ( ) 0f t  得 5 730 24t    ， 所以 ( )f t 在区间 5 73(0, )24   单调递减，在 5 73( , )24    单调递增， 所以当 5 73 24t   时， ( )f t 取得极小值也是最小值，即 AB 取得最小值 此时 2 19 731 24s t    ．……………………………………………………………10 分