【数学】宁夏自治区银川市银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校2020届高三下学期联考试题（文）（解析版）

【数学】宁夏自治区银川市银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校2020届高三下学期联考试题（文）（解析版）

宁夏自治区银川市银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校2020届高三下学期联考数学试题（文）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题知集合与集合互相没有包含关系，故A错误；‎ 又，故B错误；‎ ‎，故C错误；‎ ‎，故D正确，‎ 故选D.‎ ‎2.设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.‎ ‎3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）‎ A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24‎ C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21‎ ‎【答案】B ‎【解析】由茎叶图知 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对，‎ 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对，‎ 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对，故选B．‎ ‎4.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）‎ A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 ‎【答案】A ‎【解析】从冬至起，日影长依次记为，‎ 根据题意，有，‎ 根据等差数列的性质，有，‎ 而，设其公差为，则有，‎ 解得，‎ 所以冬至的日影子长为尺，‎ 故选A.‎ ‎5.已知函数，则（ ）‎ A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数 C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】因为的定义域是R，‎ 为奇函数，‎ 又是R上的增函数，‎ 故选：B.‎ ‎6.已知向量，则在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎， ‎ 设与的夹角为，则 所求在方向上的投影为=‎ 故选B项.‎ ‎7.一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道.当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”.事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】若甲说的假话，则甲抽到的是立体几何题，乙抽到数列题，这里丙又是假话，不合题意，甲是真话；若乙假话，则乙抽到三角题，这里甲丙真话，甲抽到数列题，丙抽到立体几何题，符合题意；若丙是假话，则乙抽到数列题，甲乙真话，甲抽到三角题，丙只能是立体几何题.‎ 故选：C.‎ ‎8.、是两条不同的直线，是平面，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，过直线作平面，使得，则，‎ ‎，，，，即；‎ 当时，由于，则或，所以，.‎ 综上所述，是的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎9.已知其中，，.则的单调递减区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，，‎ 所以，‎ 令，‎ 解得，‎ 所以的单调递减区间是.‎ 故选：C.‎ ‎10.若数列的前n项和为，满足，，则的前20项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，即，‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 由等差数列通项公式可得，，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎11.三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析可知球心在的中点．因为，，所以．‎ 所以．球的半径．所以此球的表面积为．故A正确．‎ ‎12.过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是（ ）‎ A. 7 B. ‎6 ‎C. 5 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】设抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点．‎ 点P作抛物线的切线PA，PB，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由A，B是抛物线上的点知，‎ x2＝4y⇒，‎ 所以切线PA的方程为：，‎ 切线PB方程为，‎ 因为点在切线PA，PB上，‎ 所以⇒直线AB的方程为mx＝2（y﹣1）．‎ 故直线AB过定点（0，1），（即AB恒过抛物线焦点），‎ 则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为AB，‎ 数形结合知当AB为通径时最小，最小值是2p＝4．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共5小题，共20分）‎ ‎13.已知实数，满足不等式组，则的最大值为________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由不等式组作出可行域如下图所示，由，得，由图示可知直线过点C时，取得最大值，‎ 由得，所以的最大值为，‎ 故答案为：6.‎ ‎14.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知 ‎,解得.‎ 故答案为:3.‎ ‎15.若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.‎ 故答案为：2.‎ ‎16.已知函数，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，或 有且仅有三个零点，函数与函数和 函数有三个交点，根据函数图像，.‎ 故答案为: ‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分）‎ ‎17.如图，四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若与底面ABCD所成角为，求点D到平面PBC的距离.‎ ‎（1）证明：∵，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ 又，∴平面，∵平面，∴.‎ ‎（2）解：设点到平面的距离，由（1）知，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，∴是与底面所成的角，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴，解得.‎ ‎18.分别为的内角的对边.已知.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.‎ 解：（1）由，得，‎ 即.‎ 因为，所以.‎ 由，得.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 因为的面积.‎ 所以当时，的面积取得最大值，‎ 此时，则，‎ 所以的周长为.‎ ‎19.某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；‎ ‎（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上组 ‎25周岁以下组 合计 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：‎ 解：由于采用分层抽样，则“25周岁以上”应抽取名，“25周岁以下”应抽取名.‎ ‎（1）由“25周岁以上组”的频率分布直方图可知，其中位数为 ‎，综上，25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数为73件.‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上共名，设其分别为；25周岁以下工人共名，设其分别为.记“至少抽到一名25周岁以下工人”为事件.‎ 所有基本事件分别为，共10个；事件包含的基本事件共7个.‎ 由于事件符合古典概型，则；‎ ‎（3）由频率分布直方图可知，25周岁以上的“生产能手”共名，25周岁以下的“生产能手”共名，则列联表如图所示.‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以，‎ 综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.‎ ‎20.易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.‎ 解：（1）由题意可知：2b=4，b=2，，双曲线的离心率，‎ 则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则a=.‎ 所以椭圆的标准方程：.‎ ‎（2）是定值，证明如下：‎ 如图，设直线MN的方程为.‎ 联立消去y整理得 设，则，‎ ‎.‎ 将，代入上式得，‎ 即.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.‎ 解：（1）当时，，‎ 所以，.‎ 又因为，‎ 所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（2）当时，.‎ 设，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 所以在区间上单调递减.‎ 因为，，‎ 所以存在唯一的，使，即.‎ 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ 因为，，‎ 因为方程在区间上有唯一解，‎ 即方程在区间上有唯一解，‎ 所以.‎ 请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ ‎22.已知直线：与曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，这两条直线与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.‎ 解：（1）则直线的方程为：，∴极坐标方程为：；‎ 曲线的方程：，即，∴极坐标方程为：.‎ ‎（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，则极坐标方程为：，‎ 设，，则，，‎ 所以的面积.‎ ‎23.已知函数的最小值为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为正实数，且，证明：．‎ 解：（1）根据题意,函数 所以为在单调递减,在单调递增,‎ 所以 ‎ ‎（2）由(1)知,,所以 又因为为正实数,‎ ‎,,,‎ 所以,即,‎ 所以,‎ 即．‎