命题角度5-5 圆锥曲线的定值、定点问题（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度5-5 圆锥曲线的定值、定点问题（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度5：圆锥曲线的定值、定点问题 ‎1．动点在圆： 上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．‎ ‎（Ⅰ）求的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线， 分别交轨迹于， 两点和， 两点，且．证明：过和中点的直线过定点．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时， ，直线的方程为，联立解得直线经过定点．‎ 下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，‎ 则直线的方程为，设， ，‎ 联立消去得，‎ 则，所以，‎ 即，同理： ，‎ 于是直线的斜率为，‎ 故直线的方程为，‎ 显然时， ，故直线经过定点．‎ 点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.‎ ‎2. 已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,点是椭圆上任意一点, 的周长为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)过点 (-4,0)任作一动直线交椭圆于两点,记,若在线段上取一点,使得,则当直线转动时,点在某一定直线上运动,求该定直线的方程．‎ ‎【来源】青海省西宁市2017届高三下学期复习检测二（二模）数学（理）试题 ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 点在定直线上.‎ ‎【解析】试题分析: (1)由已知条件求出 的值, 根据 ,求出椭圆的方程; (2)设直线 联立直线与椭圆方程, 求出 的表达式,将 由 表示出来，由,求出 的表达式,化简,求出为定值.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由题意可知,直线的斜率必存在.‎ 故可设直线的方程为,‎ 由,消去得,‎ 由根与系数的关系得,‎ 由,得 所以.‎ 所以,‎ 设点的坐标为,‎ 由,得,‎ 所以,‎ 解得.‎ 而,‎ ‎,‎ 所以.‎ 故点在定直线上.‎ 点睛: 本题主要考查了以椭圆为载体,求椭圆标准方程以及椭圆与直线的关系 ,属于中档题. 考点有: 椭圆的标准方程,椭圆的简单几何性质,韦达定理,向量坐标运算等等. 考查学生的逻辑思维能力,运算求解能力.‎ ‎3.已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若， ‎ ‎，证明： 为定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设点，由已知得，‎ 化简得点的轨迹的方程: . ‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标分别为.‎ 由，所以，‎ 所以 ‎ 因为点在曲线上，所以 ，‎ 化简得 ①，‎ 同理，由可得： ， ‎ 代入曲线的方程得 ②，‎ 由①②得是方程的两个实数根(△>0)，‎ ‎ 所以.‎ 点睛：解析几何中的定值问题，一般先要求出此量戒代数表达式，本题就是的表达式，‎ 为此设点的坐标分别为.由，求得，目的是利用点在曲线，坐标代入方程得的式子 ，同理得的式子，两式比较知是方程的两根，由韦达定理可得结论．‎ ‎4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且， 为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程得，由得，则，联立方程得解；（2）分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况，当斜率不存在时，直接代入得解；当斜率存在时，联立直线和椭圆的方程得，结合韦达定理，运用整体代换的思想化简得，可得其恒过定点.‎ 试题解析：（1）∵椭圆过点，∴① ，‎ ‎∵，∴，则，‎ ‎∴②，由①②得，‎ ‎∴椭圆的方程为 得，‎ ‎，‎ 即，‎ 由，‎ 即．‎ 故直线过定点．‎ ‎5. 如图已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，‎ 为坐标原点，求证：为定值．‎ ‎【来源】【全国市级联考】2017届陕西省西安市高三模拟（一）数学（理）试卷（带解析）‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎（2）设点则直线的方程为，‎ 令，得，同理，‎ 故.‎ 又因为点与点在椭圆上，故，，‎ 代入可得.‎ 所以为定值.‎ 点睛：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程和椭圆的方程.第一问是待定系数法求椭圆的标准方程，需要两个条件，第一个条件很明显，是椭圆的离心率.第二个条件隐藏在圆的方程中.第二问由于是直线与轴的交点，我们只需将直线设出，然后令即可求出两点的坐标.‎ ‎6.已知椭圆右顶点，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上顶点， 是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】试题分析：（1）本问主要考查求椭圆的标准方程，可以根据待定系数法求方程，右顶点，即，又离心率，则可以求出，根据，求出后即得到椭圆方程；（2）本问主要考查直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题，设，根据，求出，根据，求出，问与面积之差等于，用坐标表示后整理、化简后可以判断是否为定值.‎ 试题解析：⑴依题意得解得 ，则椭圆的方程为.‎ ‎⑵设，则，‎ ‎，令得，则,‎ ‎，令得，则,‎ ‎∴‎ ‎.‎ 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.‎ 方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.‎ ‎7.在直角坐标系中， 动圆与圆外切，同时与圆内切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎ (2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得，同理，于是，‎ 又和在椭圆上，故，则 ‎.‎ 所以.‎ ‎8. 已知、分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆 上一动点，当轴时， .‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形（点在第一象限），求直线与的斜率之积；‎ ‎（3）记圆为椭圆的“关联圆”. 若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为、，直线的横、纵截距分别为、，求证： 为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意得到关于的齐次方程，求解方程组可得椭圆的离心率；‎ ‎(2) 由题意， ， ，则，结合(1)的结论可得. ‎ ‎(3) 由（1）知椭圆方程为，圆的方程为.‎ 四边形的外接圆方程为，‎ 所以，因为点在椭圆上，则. ‎ 试题解析：‎ 解：（1）由轴，知，代入椭圆的方程，‎ 得，解得. ‎ 又，所以，解得. ‎ ‎（3）由（1）知，又，解得，所以椭圆方程为，‎ 圆的方程为 ①. ‎ 连接，由题意可知， ， ，‎ 所以四边形的外接圆是以 为直径的圆，‎ 设，则四边形的外接圆方程为，‎ 即　　②. ①－②，得直线的方程为，‎ 令，则；令，则. 所以，‎ 因为点在椭圆上，所以，所以. ‎ ‎9.在平面直角坐标系内，动点与两定点， ‎ 连线的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设点， 是轨迹上相异的两点.‎ ‎（Ⅰ）过点， 分别作抛物线的切线， ， 与两条切线相交于点，证明： ；‎ ‎（Ⅱ）若直线与直线的斜率之积为，证明： 为定值，并求出这个定值.‎ ‎【答案】（1）（2）（Ⅰ）0（Ⅱ）1‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意： ‎ ‎（2）（Ⅰ）设直线的斜率为，设直线的斜率为，设切线为： ‎ ‎ ，‎ ‎ ， ， .‎ 点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.‎ ‎10.在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知为定直线上一点.‎ ‎①过点作的垂线交轨迹于点（不在轴上），求证：直线与的斜率之积是定值；‎ ‎②若点的坐标为，过点作动直线交轨迹于不同两点，线段上的点满足，求证：点恒在一条定直线上.‎ ‎【答案】（1）（2）①直线与的斜率之积为定值．‎ ‎②点在定直线上．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设动点坐标，直接利用轨迹方程定义计算即可；（2），‎ ‎①令，由，得，即，即 ‎，又因为点在椭圆上，所以，而的斜率分别为，于是，即直线与的斜率之积为定值； ②令，则，代入椭圆，消元即可证明点在定直线上．‎ ‎（2）因为为直线上一点，所以令，‎ ‎①令，由，得，即，即，‎ 又因为点在椭圆上，所以，‎ 而的斜率分别为，‎ 于是，‎ 即直线与的斜率之积为定值 ‎ ‎．‎ ‎②令，则，‎ 令点，则，‎ 即，即 由①×③，②×④，得，‎ 因为在椭圆上，所以，‎ ‎⑤×2+⑥×3，得 ‎，即，‎ 所以点在定直线上．‎ 本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎