2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第5节 空间向量

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章 第5节 空间向量

www.ks5u.com 多维层次练40‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2，4，－4)，b＝(－6，9，6)，则(　　)‎ A．l1∥l2 B．l1⊥l2‎ C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确 解析：因为a·b＝－12＋36－24＝0，所以l1⊥l2.‎ 答案：B ‎2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝(　　)‎ A．6 B．6‎ C．12 D．144‎ 解析：因为＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.所以||＝12.‎ 答案：C ‎3．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝，‎ 又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为，故选D.‎ 答案：D ‎4．(2020·郑州调研)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于(　　)‎ A．9 B．－9 ‎ C．－3 D．3‎ 解析：由题意知c＝xa＋yb，‎ 即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，‎ 所以解得λ＝－9.‎ 答案：B ‎5．(2020·河北五校联考)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为(　　)‎ A．－ B．－2 ‎ C．0 D．－或－2‎ 解析：因为空间向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，‎ 所以(2m＋1，3，m－1)＝λ(2，m，－m)＝(2λ，λm，－λm)，‎ 所以解得m＝－2.‎ 答案：B ‎6．(2020·郑州模拟)在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A(1，0，‎ ‎2)，B(0，2，1)，点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么||的最小值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：设C(x，0，0)，D(0，y，0)，‎ 因为A(1，0，2)，B(0，2，1)，‎ 所以＝(－1，y，－2)，＝(x，－2，－1)．‎ 因为AD⊥BC，所以·＝－x－2y＋2＝0，‎ 即x＋2y＝2.‎ 因为＝(－x，y，0)，‎ 所以||＝＝＝‎ ＝≥.‎ 答案：B ‎7．设点C(2a＋1，a＋1，2)在由点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________．‎ 解析：由共面向量定理知＝x＋y，‎ 则(2a－1，a＋1，2)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)，‎ 故解得a＝16.‎ 答案：16‎ ‎8．(2020·菏泽模拟)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，且a与b反向，则λ＋μ＝________．‎ 解析：因为a∥b，且a与b反向，‎ 所以(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，k<0.‎ 所以解得或 当λ＝2，μ＝时，k＝2不合题意，舍去．‎ 当λ＝－3，μ＝时，k＝－3，a与b反向．‎ 因此λ＋μ＝－3＋＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．‎ 解析：由题意，设＝λ，则＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，‎ 所以·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2.‎ 当λ＝1时取最小值，此时Q点坐标为(1，1，2)．‎ 答案：(1，1，2)‎ ‎10．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b， ‎＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．‎ ‎(1)试用a，b，c表示；‎ ‎(2)求证：MN∥平面ABB1A1.‎ ‎(1)解：因为＝－＝c－a，‎ 所以＝＝(c－a)．‎ 同理，＝(b＋c)，‎ 所以＝－＝(b＋c)－(c－a)＝‎ (b＋a)＝a＋b.‎ ‎(2)证明：因为＝＋＝a＋b，‎ 所以＝，即MN∥AB1，‎ 因为AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，‎ 所以MN∥平面ABB1A1.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(多选题)已知A(－4，6，－1)，B(4，3，2)，则下列各向量中是平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量的是(　　)‎ A. B. C．(－15，4，36) D．(15，4，－36)‎ 解析：设平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量是u＝(x，y，z)，‎ 则即得9y＋z＝0，‎ 令y＝1，解得故u＝＝(15，4，－36)．‎ 答案：BD ‎12．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.‎ 则VA与平面PMN的位置关系是________．‎ 解析：如图所示，设＝a，＝b，‎ ＝c，‎ 则＝a＋c－b，‎ 由题意知＝b－c，‎ ＝－＝a－b＋c.‎ 因此＝＋，‎ 所以，，共面．‎ 又因为VA⊄平面PMN，‎ 所以VA∥平面PMN.‎ 答案：平行 ‎13．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．‎ ‎(1)求|2a＋b|；‎ ‎(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)‎ 解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，‎ 故|2a＋b|＝＝5.‎ ‎(2)令＝t(t∈R)，‎ 所以＝＋＝＋t ‎＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)‎ ‎＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，‎ 若⊥b，则·b＝0，‎ 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，‎ 解得t＝.‎ 因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝‎ ‎(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的序号是________．‎ 解析：因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，‎ 所以AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．‎ 又与不平行，‎ 所以是平面ABCD的法向量，则③正确．‎ 由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，‎ 所以与不平行，故④错误．‎ 答案：①②③‎