专题06++三角函数的图像与性质-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破

专题06++三角函数的图像与性质-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破

专题06 三角函数的图像与性质 ‎【自主热身，归纳总结】‎ ‎1、已知锐角θ满足tanθ＝cosθ，则＝________．‎ ‎【答案】： 3＋2 ‎【解析】：　由tanθ＝cosθ得sinθ＝cos2θ，即sinθ＝(1－sin2θ)，解得sinθ＝(负值已舍去)，cosθ＝，代入，可得结果为3＋2.‎ ‎2、在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．‎ ‎【答案】： 　‎ ‎【解析】：由三角函数的定义可知tanα＝＝2，tanβ＝，故tan(α－β)＝＝＝.‎ ‎3、 函数y＝3sin的图像两相邻对称轴的距离为________．‎ ‎【答案】： 　‎ ‎【解析】：由题知函数最小正周期T＝＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即.‎ ‎4、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________．‎ ‎【答案】： 4　‎ ‎【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T＝－＝，从而ω＝4.‎ ‎5、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．‎ ‎【答案】： －1　‎ ‎【解析】：由题意，A＝2，T＝×4＝3π＝，即ω＝，解得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z ‎，因为|φ|＜π，所以φ＝－，所以f(－π)＝2sin(－π－)＝－1.‎ 依图求函数y＝Asin(ωx＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．‎ ‎6函数f(x)＝cos的最小正周期为________．‎ ‎【答案】2π　‎ ‎【解析】：因为f(x)＝cos＝sinx－·＝sin－，所以最小正周期为2π.‎ ‎7、将函数y＝3sin的图像向右平移φ个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.‎ ‎【答案】：. 　‎ ‎8、 若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f的值是________．‎ ‎【答案】： 　‎ ‎【解析】：因为f(x)的最小正周期为π，所以＝π，故ω＝2，所以f(x)＝sin，从而f＝sin＋＝sin＝.‎ ‎9、 已知α∈，β∈，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ＝________.‎ ‎【答案】：－ ‎【解析】：　因为α∈，cosα＝，所以sinα＝.又α＋β∈，，sin(α＋β)＝－＜0，所以α＋β∈，故cos(α＋β)＝－，从而cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×－×＝－.‎ ‎10、 若tanβ＝2tanα，且cosαsinβ＝，则sin(α－β)的值为________．‎ ‎【答案】： －　‎ ‎【解析】：因为tanβ＝2tanα，所以＝，即cosαsinβ＝2sinαcosβ.又因为cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，从而sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－＝－.‎ ‎11．若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是 ▲ ．‎ ‎【答案】： （或） ‎ ‎12、在同一直角坐标系中，函数y＝sin(x＋) （x∈[0，2π]）的图象和直线y＝ 的交点的个数是 ．‎ ‎【答案】．2 ‎ 解法1 令，可得 即，又x∈[0，2π]，所以或，故原函数图象与的交点个数为2.‎ 解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2‎ ‎13、 已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝________.‎ ‎【答案】： －　‎ 思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sinθ＝，cosθ＝满足方程，但此时 θ是第一象限角，不合题意．‎ 由得5cos2θ－cosθ－＝0，解得cosθ＝或－.因为θ是第三象限角，所以cosθ＝－，从而sinθ＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.‎ 解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解．‎ 本质上，可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由Asinθ＋Bcosθ＝C求sinθ，cosθ可能有两组解．‎ ‎14、 已知sin(x＋)＝，则sin(x－)＋sin2(－x)的值为________．‎ ‎【答案】： 　‎ ‎【解析】：sin＝sin＝－sin(x＋)＝－，sin2＝cos2＝1－sin2(x＋)＝1－＝，所以sin＋sin2＝－＋＝.‎ 解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分．‎ ‎【问题探究，变式训练】‎ 例1、 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝f(x)，则函数f(x)的单调增区间为________．‎ ‎【答案】 (k∈Z)　‎ ‎【解析】：由题意可得f(x)＝2sin.又最小正周期为π，故ω＝2.又该函数的对称轴为直线x＝0，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．又因为<，所以φ＝，所以f(x)＝2cosx，故单调增区间为(k∈Z)．‎ ‎【变式1】、.. 若f(x)＝sin(x＋θ)－cos(x＋θ)是定义在R上的偶函数，则θ＝________.‎ ‎【变式2】、. 将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是________．‎ ‎【答案】　‎ 解法1 函数y＝cosx＋sinx＝2sin的图像向左平移m(m>0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y＝2sin，由于函数y＝2sinx的图像至少向左平移个单位长度后可得到关于y轴对称的图像，所以m＋的最小值是，故m的最小值是. ‎ ‎【关联6】、将函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（，)，则φ的最小值为________. ‎ ‎【答案】： 　‎ ‎【解析】：将函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y＝sin(2x＋2φ)的图像，将点代入得sin＝，所以＋2φ＝2kπ＋或＋2φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，又因为φ>0，所以φ的最小值为.‎ 易错警示 错以为函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y＝sin(2x＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件．‎ 例2、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图像如图所示．‎ ‎(1) 求函数y＝f(x)的【解析】式；‎ ‎(2) 当x∈时，求f(x)的取值范围．‎ ‎【解析】： (1) 由图像知，A＝2，(2分)‎ 又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1.(4分)‎ 所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点，2代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 又－<φ<，所以φ＝.(6分)‎ 所以f(x)＝2sinx＋.(8分)‎ ‎(2) 当x∈[－，]时，x＋∈[－，]，(10分)‎ 所以sinx＋∈[－，1]，即f(x)∈[－，2]．(14分)‎ 易错警示 在求f(x)的【解析】式中φ的值时，如果选用图像过点，0来求，往往会导致增根，这是因为在正弦函数的一个周期内会有3个零点，因此，在求φ的值时，一般会用最值点来求，这样，就会有效地避免出现增根．‎ ‎【变式1】、已知函数（其中A，，为常数，‎ 且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数f(x)的【解析】式； ‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【解析】：（1）由图可知，A=2，‎ ‎ T=，故，所以，f(x) =．………………………………‎ 又，且，故．‎ 于是，f(x) =．‎ ‎（2）由，得．‎ 所以， ‎ ‎ =．‎ ‎【变式2】、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)部分图像如图所示．‎ ‎(1) 求函数f(x)的【解析】式； ‎ ‎【解析】：(1) 首先把函数化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，其中A＞0，ω＞0.‎ ‎(2) 利用正弦、余弦定理，列出关于边a，b的方程组．‎ 规范解答 (1) 因为f(x)＝sin2x－(1＋cos2x)－ ‎＝sin－1‎ 所以函数f(x)的最小值是－2，‎ 此时2x－＝2kπ－，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，即x的取值集合为.‎ ‎(2) 由f(C)＝0，得sin＝1.又C∈(0，π)，所以2C－＝，得C＝ 由sinB＝2sinA及正弦定理，得b＝2a.(11分)‎ 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝3‎ 由解得 ‎【关联】、已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．(1) 当a∥b时，求tan的值；‎ ‎(2) 设函数f(x)＝2(a＋b)·b，当x∈时，求f(x)的值域．‎ ‎【解析】 (1) 因为a∥b，所以cosx＋sinx＝0，所以tanx＝－，‎ 所以tan＝＝＝－7.‎ ‎(2) f(x)＝2(a＋b)·b ‎＝2·(cosx，－1)‎ ‎＝2 ‎＝sin＋.‎ 因为x∈，所以≤2x＋≤，所以－≤sin≤1，‎ 所以≤f(x)≤＋，即函数f(x)的值域为.‎