数学文卷·2018届甘肃省西北师大附中高三下学期第二次模拟考试（2018

数学文卷·2018届甘肃省西北师大附中高三下学期第二次模拟考试（2018

师大附中2018届高三第二次模拟考试卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·龙岩质检]已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．[2018·凯里一中]已知函数，则满足的实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．[2018·赤峰期末]已知向量,，若与共线,则实数的值是（ ）‎ A． B．２ C． D．４‎ ‎4．[2018·豫南九校]将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．[2018·天一大联考]《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12．其中说法正确的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．[2018·行知中学]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2018·凯里一中]如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎8．[2018·龙岩质检]已知抛物线上的点到其准线的距离为5，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎9．[2018·阳春一中]数列中，已知，，且，（且），则此数列为（ ）‎ A．等差数列 B．等比数列 C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列 ‎10．[2018·合肥一模]某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在、两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时．、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）‎ A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元 ‎11．[2018·晋城一中]函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）‎ A． B．5 C． D．‎ ‎12．[2018·宿州质检]偶函数定义域为，其导函数是．当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·西城期末]设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．‎ ‎14．[2018·泰安期末]观察下列各式：，，，，，…，则=_________．‎ ‎15．[2018·行知中学]已知函数的图象关于点对称，记在区间上的最大值为，且在（）上单调递增，则实数的最小值是__________．‎ ‎16．[2018·赤峰期末]已知点是双曲线：左支上一点, 是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·天一大联考]已知的内角，，满足：‎ ‎．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2018·宁德期末]某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1吨可获利0.4万元，每积压1吨则亏损0.3万元．根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．‎ ‎（1）请补齐上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；‎ ‎（2）今年该经销商欲进货100吨，以（单位：吨，）表示今年的年需求量，以（单位：万元）表示今年销售的利润，试将表示为的函数解析式；并求今年的年利润不少于万元的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2018·龙岩质检]已知空间几何体中，与均为边长为 ‎2的等边三角形，为腰长为3的等腰三角形，平面平面，平面平面．‎ ‎（1）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2018·宿州质检]已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，为等边三角形，且其面积为，为椭圆的右顶点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线：与椭圆相交于两点（，不是左、右顶点），且满足，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2018·柘皋中学]已知函数．‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·天一大联考]在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2018·深圳一模]已知，，且．‎ ‎（1）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 文科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】求解二次不等式可得：，则，‎ 由Venn图可知图中阴影部分为：．‎ 本题选择D选项．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】，即．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由，，则，，‎ 因为与共线，所以，解得，故选B．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】函数经伸长变换得，再作平移变换得，故选：B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：，，，，，其和为60，故，由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12是正确的，故选C．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为，故选D．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】，，否，；‎ ‎，否，；‎ ‎，否，；‎ ‎，，是，即；‎ 解不等式，，且满足，，‎ 综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数的取值范围是，故选 ‎．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】根据题意设，，由点差得到，‎ 故直线l可以写成，点到其准线的距离为5，可得到的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或-4，由点到直线的距离公式得到，点到直线的距离为或．‎ 故答案为：B．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】由，得，又由，得，解得，‎ ‎，（），且，且，时，上式不成立，故数列从第2项起是以2为公比的等比数列，故选D．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】设生产甲、乙两种产品x件,y件时该企业每月利润的最大值为z，由题意可得约束条件：‎ ‎，‎ 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数的最大值．‎ 目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：‎ 目标函数在点处取得最大值：千元．‎ 本题选择B选项．‎ ‎ ‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】令，则可得：，据此可得：，‎ 点在直线上，故：，，则 ‎．‎ 当且仅当，时等号成立．‎ 综上可得：的最小值为．‎ 本题选择C选项．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】令，则，‎ 当时，有，则，‎ 又，‎ ‎∴为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，‎ 则，当时，，即，‎ 且，故或，故选．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】-1‎ ‎【解析】复数，因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，所以．故．‎ ‎14．【答案】199‎ ‎【解析】通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，因此，，，,，，故答案为199．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】，所以，又，得，‎ 所以，且求得，‎ 又，得单调递增区间为，‎ 由题意，当时，．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由题意可设直线的方程为，设直线与渐近线的交点为，联立解得，即．‎ ‎∵是的中点，∴，‎ ‎∵点在双曲线上，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，故答案为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】（1）设内角，，所对的边分别为，，．‎ 根据，‎ 可得，·········3分 所以，‎ 又因为，所以．·········6分 ‎（2），·········8分 所以，·········10分 所以（时取等号）．·········12分 ‎18．【答案】（1）；（2）今年获利不少于万元的概率为．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）·········3分 解：设年需求量平均数为，‎ 则，·····6分 ‎（2）设今年的年需求量为吨、年获利为万元，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故，·········8分 ‎，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，·········10分 ‎ ‎ ‎．‎ 所以今年获利不少于万元的概率为．·········12分 ‎19．【答案】(1)见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求．‎ ‎ ‎ 证明：取中点，连结，‎ ‎∵为腰长为的等腰三角形，为中点，‎ ‎∴，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 同理，可证平面，·········2分 ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．·········3分 又，分别为，中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．·········4分 又，平面，平面，‎ ‎∴平面平面，·········5分 又平面，∴平面．·········6分 ‎（2）连结，取中点，连结，则，‎ 由（1）可知平面，‎ 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等．‎ 又是边长为的等边三角形，∴，‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面，∴平面，·········9分 ‎∴，又为中点，∴，‎ 又，，∴．·········10分 ‎∴．·········12分 ‎20．【答案】(1)；（2）直线过定点，定点坐标为．‎ ‎【解析】（1）由已知，‎ ‎∴，∴椭圆的标准方程为．·········4分 ‎（2）设，，‎ 联立得，‎ ‎，，‎ ‎·········6分 又，‎ 因为椭圆的右顶点为，‎ ‎∴，即，·········7分 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．·········10分 解得：，，且均满足，·········11分 当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；‎ 当时，的方程为，直线过定点．‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．·········12分 ‎21．【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】（1）依题意，，‎ 若，则函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 若，则函数在上单调递减，在上单调递增；·········5分 ‎（2）因为，故，①‎ 当时，显然①不成立；·········6分 当时，①化为：；②‎ 当时，①化为：；③·········7分 令，则，·········8分 当时，时，，‎ 故在是增函数，在是减函数，，····10分 因此②不成立，要③成立，只要，，‎ 所求的取值范围是．·········12分 ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；（2）或或．‎ ‎【解析】（1），‎ 故曲线的普通方程为．‎ 直线的直角坐标方程为．·········5分 ‎（2）直线的参数方程可以写为（为参数）．‎ 设，两点对应的参数分别为，，‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程，‎ 可以得到，‎ 所以或，‎ 解得或或．·········10分 ‎23．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设，‎ 由，得．‎ 故．‎ 所以．‎ 当时，，得；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故；‎ 综上，．·········5分 ‎（2）‎ ‎．‎ 另解：‎ 由柯西不等式，可得．·······10分 ‎ ‎ ‎ ‎