2021高考数学一轮复习课时作业4

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2021高考数学一轮复习课时作业4

课时作业45 圆的方程 ‎[基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.经过点(1,0),且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为(  )‎ A.(x-1)2+y2=1 B.(x-1)2+(y-1)2=1‎ C.x2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y-1)2=2‎ 解析:由得 即所求圆的圆心坐标为(1,1),‎ 又由该圆过点(1,0),得其半径为1,‎ 故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.‎ 答案:B ‎2.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为(  )‎ A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5‎ C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5‎ 解析:圆上任一点(x,y)关于原点的对称点(-x,-y)在圆(x+2)2+y2=5上,即(-x+2)2+(-y)2=5,即(x-2)2+y2=5.‎ 答案:A ‎3.[2020·福州质检]设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若00,‎ 即>,所以原点在圆外.‎ 答案:B ‎4.[2020·湖南长沙一模]圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(  )‎ A.1+ B.2‎ C.1+ D.2+2 解析:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=‎ - 5 -‎ +1,故选A.‎ 答案:A ‎5.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为(  )‎ A.(-1,1) B.(-1,0)‎ C.(1,-1) D.(0,-1)‎ 解析:由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,‎ 当k=0时,rmax==1,‎ 此时圆的方程为x2+y2+2y=0,‎ 即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).‎ 答案:D 二、填空题 ‎6.已知方程x2+y2-2mx+2y=3m-5表示圆,则实数m的取值范围为________.‎ 解析:由D2+E2-4F=4m2+4-4(-3m+5)>0,解得m>1或m<-4.‎ 答案:(-∞,-4)∪(1,+∞)‎ ‎7.[2020·天津七校联考]已知M(0,2),N(2,-2),以线段MN为直径的圆的标准方程为________.‎ 解析:由题意易得圆心的坐标为(1,0),|MN|==2,所以圆的半径为,所以圆的方程为(x-1)2+y2=5.‎ 答案:(x-1)2+y2=5‎ ‎8.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是________.‎ 解析:∵圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,‎ ‎∴其圆心为(-1,2),且5-a>0,‎ 即a<5.‎ 又圆关于直线y=2x+b成轴对称,‎ ‎∴2=-2+b,∴b=4.∴a-b=a-4<1.‎ 答案:(-∞,1)‎ 三、解答题 ‎9.已知圆心为C的圆经过点A(0,-6),B(1,-5),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆的标准方程.‎ 解析:解法一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心坐标为 - 5 -‎ .‎ 由题意可得 消去F得,‎ 解得,代入求得F=-12,‎ 所以圆的方程为x2+y2+6x+4y-12=0,‎ 标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.‎ 解法二 因为A(0,-6),B(1,-5),‎ 所以线段AB的中点D的坐标为,‎ 直线AB的斜率kAB==1,‎ 因此线段AB的垂直平分线l的方程是 y+=-,‎ 即x+y+5=0.‎ 圆心C的坐标是方程组的解,‎ 解得,‎ 所以圆心C的坐标是(-3,-2).‎ 圆的半径长 r=|AC|==5,‎ 所以,圆心为C的圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.‎ ‎10.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.‎ ‎(1)求m+2n的最大值;‎ ‎(2)求的最大值和最小值.‎ 解析:(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,‎ 因为该直线与圆有公共点,‎ 所以圆心到直线的距离d=≤2,‎ 解上式得,16-2≤t≤16+2,‎ 所以所求的最大值为16+2.‎ ‎(2)记点Q(-2,3),因为表示直线MQ的斜率k,‎ 所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2),‎ - 5 -‎ 即kx-y+2k+3=0.‎ 由直线MQ与圆C有公共点,‎ 得≤2.‎ 可得2-≤k≤2+,所以的最大为2+,最小值为2-.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.[2020·河南豫北名校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是(  )‎ A.(x-)2+(y-1)2=4 B.(x-)2+(y-)2=4‎ C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4‎ 解析:设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),则有解得则所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.故选D.‎ 答案:D ‎12.[2020·湖南雅礼中学月考]若圆x2+y2-6x-2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax-y+1=0(a是实数)的距离为1,则a=(  )‎ A.±1 B.± C.± D.± 解析:由题意知圆心为(3,1),半径是2,因为圆上有且仅有三个点到直线ax-y+1=0的距离为1,所以圆心到直线ax-y+1=0的距离是1,即=1,得a=±,故选B.‎ 答案:B ‎13.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值与最小值分别为________.‎ 解析:设=k,则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,k取得最大值与最小值.‎ 由=1,解得k=±.‎ 答案: - - 5 -‎ - 5 -‎
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