2013年高考安徽卷（文）数学试题

2013年高考安徽卷（文）数学试题

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科） 一．选择题选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为 （ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 2．已知 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 3．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为 （A） （B） （C） （D） 4．“ ”是“ ”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被 录用的概率为 （A） (B) (C) （D） 6．直线 被圆 截得的弦长为 （A）1 （B）2 （C）4 （D） 7．设 为等差数列 的前 项和， ，则 = （A） （B） （C） （D）2 8 ． 函 数 的 图 像 如 图 所 示 ， 在 区 间 上 可 找 到 个 不 同 的 数 ， 使 得 ，则 的取值范围为 i 10 ( )3a a Ri − ∈− a { } { }| 1 0 , 2, 1,0,1A x x B= + > = − − ( )RC A B∩ = { }2, 1− − { }2− { }1,0,1− { }0,1 3 4 1 6 11 12 25 24 (2 1) 0x x− = 0x = 2 3 2 5 3 5 9 10 2 5 5 0x y+ − + = 2 2 2 4 0x y x y+ − − = 4 6 nS { }na n 8 3 74 , 2S a a= = − 9a 6− 4− 2− ( )y f x= [ ],a b ( 2)n n ≥ 1 2, , , nx x x 1 2 1 2 ( )( ) ( ) n n f xf x f x x x x = = = n (A) (B) (C) (D) 9．设 的内角 所对边的长分别为 ，若 ,则角 = (A) (B) (C) (D) 10．已知函数 有两个极值点 ，若 ，则关于 的方程 的不同实根个数为 （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 二．填空题 11． 函数 的定义域为_____________. 12．若非负数变量 满足约束条件 ，则 的最大值为__________. 13．若非零向量 满足 ，则 夹角的余弦值为_______. 14．定义在 上的函数 满足 .若当 时。 ， 则当 时， =________________. 15．如图，正方体 的棱长为 1， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 的平面截该正方体所得的截面记为 ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。 ①当 时， 为四边形；②当 时， 为等腰梯形；③当 时， 与 的交点 { }2,3 { }2,3,4 { }3,4 { }3,4,5 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 ,3sin 5sinb c a A B+ = = C 3 π 2 3 π 3 4 π 5 6 π 3 2( )f x x ax bx c= + + + 1 2,x x 1 1 2( )f x x x= < x 23( ( )) 2 ( ) 0f x af x b+ + = 21ln(1 ) 1y xx = + + − ,x y 1 2 4 x y x y − ≥ −  + ≤ x y+ ,a b  3 2a b a b= = +    ,a b  R ( )f x ( 1) 2 ( )f x f x+ = 0 1x≤ ≤ ( ) (1 )f x x x= − 1 0x− ≤ ≤ ( )f x 1 1 1 1ABCD A B C D− P BC Q 1CC , ,A P Q S 10 2CQ< < S 1 2CQ = S 3 4CQ = S 1 1C D R 满足 ；④当 时， 为六边形；⑤当 时， 的面积为 。 三．解答题 16．（本小题满分 12 分） 设函数 . （Ⅰ）求 的最小值，并求使 取得最小值的 的集合； （Ⅱ）不画图，说明函数 的图像可由 的图象经过怎样的变化得到. 17．（本小题满分 12 分） 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高 三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下： 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0 （Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级 这次联考数学成绩的及格率（60 分及 60 分以上为及格）； （Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 ，估计 的值. 18．（本小题满分 12 分） 如 图 ， 四 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为 2 的 菱 形 ， . 已 知 . （Ⅰ）证明： （Ⅱ）若 为 的中点，求三菱锥 的体积. 1 1 3C R = 3 14 CQ< < S 1CQ = S 6 2 ( ) sin sin( )3f x x x π= + + ( )f x ( )f x x ( )y f x= siny x= 1 2,x x 1 2x x− P ABCD− ABCD 60BAD∠ =  2, 6PB PD PA= = = PC BD⊥ E PA P BCE− 19．（本小题满分 13 分） 设数列 满足 ， ,且对任意 ，函数 满足 (Ⅰ)求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 . 20．（本小题满分 13 分） 设函数 ，其中 ，区间 . （Ⅰ）求 的长度（注：区间 的长度定义为 ； （Ⅱ）给定常数 ，当 时，求 长度的最小值. 21．（本小题满分13分） 已知椭圆 的焦距为 4，且过点 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 为椭圆 上一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 。取点 ,连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 。点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，问这样作出的直 线 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. { }na 1 2a = 2 4 8a a+ = *n N∈ 1 2 1 2( ) ( ) cos - sinn n n n nf x a a a x a x a x+ + + += − + + ⋅ ⋅ '( ) 02f π = { }na 12 2 nn n ab a= +（ ） { }nb n nS 2 2( ) (1 )f x ax a x= − + 0a > { }| ( ) 0I x f x= > I ( , )α β β α− ( )0,1k ∈ 1 1k a k− ≤ ≤ + I 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( 2 3)P ， 0 0 0 0( , )( 0)Q x y x y ≠ C Q x E (0,2 2)A AE A AE x D G D y QG QG 参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．B 10．A 11． 12．4 13． 14． 15．①②③⑤ 16．解：（1） 当 时， ，此时 所以， 的最小值为 ，此时 x 的集合 . (2) 横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得 ； 然后 向左平移 个单位，得 17．解：（1） ( ]0,1 1 3 − ( 1)( ) 2 x xf x += − 3sincos3cossinsin)( ππ xxxxf ++= xxxxx cos2 3sin2 3cos2 3sin2 1sin +=++= )6sin(3)6sin()2 3()2 3( 22 ππ +=++= xx 1)6sin( −=+ π x 3)( min −=xf )(,23 4,22 3 6 Zkkxkx ∈+=∴+=+ πππππ )(xf 3− },23 4|{ Zkkxx ∈+= ππ xy sin= 3 xy sin3= xy sin3= 6 π )6sin(3)( π+= xxf 30 300.05 6000.05nn = ⇒ = = 25 5 30 6p = = （2） = = 18．解： （1）证明：连接 交于 点 又 是菱形 而 ⊥面 ⊥ (2) 由（1） ⊥面 = 19．解：由 所以， 是等差数列. 而 1 7 40 13 50 4 24 60 9 26 70 9 22 80 5 2 90 2 30x + + + × + + × + + × + + × + + ×= 2084 30 2 5 40 14 50 3 17 60 10 33 70 10 20 80 5 90 30x + + + × + + × + + × + + × += 2069 30 2 1 2084 2069 15 0.530 30 30x x = = =− − ,BD AC O PB PD= PO BD∴ ⊥  ABCD BD AC∴ ⊥ AC PO O∩ = BD∴ PAC ∴ BD PC BD PAC °×××== 45sin3262 1 2 1 PACPEC SS △△ 32 236 =×× 1 1 1 132 3 2 2P BEC B PEC PECV V S BO− − ∆= = ⋅ ⋅ = × × = 1 2a = 2 4 8a a+ = 1 2 1 2( ) ( ) cos - sinn n n n nf x a a a x a x a x+ + + += − + + ⋅ ⋅ 1 2 1 2- - sin - cosn n n n nf x a a a a x a x+ + + +′ = + ⋅ ⋅（ ） 1 2 1'( ) - - 02 n n n nf a a a a π + + += + = 1 22 n n na a a+ += + { }na∴ 1 2a = 3 4a = 1d = 2 -1 1 1na n n∴ = + ⋅ = +（ ） （2） 20．解：（1）令 解得 的长度 （2） 则 由 （1） ，则 故 关于 在 上单调递增，在 上单调递减. 21．解： （1）因为椭圆过点 且 椭圆 C 的方程是 （2） 1 1 1 12 2 1 2 12 2 2nn n a n nb a n n+= + = + + = + +（ ） （ ） （ ） 1 11-2 2 1 2 2 12 1- 2 n n n nS + += + （ ）（ ） 2 1= 3 1- 2 13 1- 2 n n n n n n + + = + + （ ） 2( ) - 1 0f x x a a x = + = （ ） 1 0x = 2 21 ax a = + 2| 0 1 aI x x a  ∴ = < < +  I∴ 2 1 2- 1 ax x a = + ( )0,1k ∈ 0 1 1 2k a k< − ≤ ≤ + < 21 aI a = + 2 2 2 1' 0(1 ) aI a −= >+ 0 1a< < I a (1 ,1)k− (1,1 )k+ ( )1 2 2 1- 1- 2 21 1- k kI k kk = = + ++ 2 2 1 1 1 kI k += + +（ ） min 2 1- 2 2 kI k k = + + ( 2 3)P ， ∴ 2 2 2 3 1a b + = 2 2 2a b c= + ∴ 2 8a = 2 4b = 2 4c = 2 2 18 4 x y+ = 由题意，各点的坐标如上图所示， 则 的直线方程： 化简得 又 ， 所以 带入 求得最后 所以直线 与椭圆只有一个公共点. QG 0 0 0 0 8 0 8 x xy y x x −− = − 2 0 0 0 0( 8) 8 0x y x x y y− − − = 2 2 0 02 8x y+ = 0 02 8 0x x y y+ − = 2 2 18 4 x y+ = 0∆ = QG