数学卷·2018届广东省清远市高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届广东省清远市高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省清远市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中．）‎ ‎1．（5分）已知集合M={x|（x+2）（x﹣3）≤0}，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N=（　　）‎ A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，1} D．{﹣1，1，3}‎ ‎2．（5分）下列四个命题中真命题为（　　）‎ A．lg（x2+1）≥0 B．5≤2‎ C．若x2=4，则x=2 D．若x＜2，则＞‎ ‎3．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，若第1组随机抽取的号码为m=6，则在第7组中抽取的号码是（　　）‎ A．66 B．76 C．63 D．73‎ ‎4．（5分）如图是某高二学生自高一至今月考从第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为（　　）‎ A．98 B．94 C．94.5 D．95‎ ‎5．（5分）如图，四边形ABCD为距形，AB=，BC=1，以A为圆心，AD为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（　　）‎ A．21 B．55 C．91 D．140‎ ‎7．（5分）若k∈R，则“﹣1＜k＜1”是“方程+=1表示椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．（5分）某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：‎ ‎ x ‎ 16‎ ‎ 17‎ ‎ 18‎ ‎ 19‎ ‎ y ‎ 50‎ ‎ 34‎ ‎ 41‎ ‎ 31‎ 由表可得回归直线方程=x+中的=﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为　　　（　　）‎ A．26个 B．27个 C．28个 D．29个 ‎9．（5分）已知x，y满足不等式组，则满足条件的P（x，y）表示的平面区域的面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎11．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点．当静止的小球从点A开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点A时，此时小球经过的路程可能是（　　）‎ A．32或4或 B．或28或 C．28或4或 D．32或28或4‎ ‎12．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=2x3﹣3x2+，则g（）+g（）+…+g（）=（　　）‎ A．100 B．99 C．50 D．0‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）‎ ‎13．（5分）命题“若x2∈R，则x2+1＞1”的逆否命题是　　；并判定原命题是真命题还是假命题？　　．‎ ‎14．（5分）抛物线y=x2的焦点坐标是　　．‎ ‎15．（5分）函数f（x）=﹣x+ex﹣m的单调增区间是　　．‎ ‎16．（5分）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=（a，b为正实数）．若1⊗k=3，则k的值为　　，此时函数的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（10分）某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 科研费用x（百万元）‎ ‎1.6‎ ‎1.7‎ ‎1.8‎ ‎1.9‎ ‎2.0‎ 公司所获利润y（百万元）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎（1）求y对x的回归直线方程；（参考数据： x=16.3， xiyi=18.5）‎ ‎（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润为多少万元？‎ ‎18．（12分）2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？‎ ‎（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；‎ ‎（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．‎ ‎19．（12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？‎ ‎20．（12分）已知命题p：方程+=1表示的曲线是焦点在x轴的双曲线；命题q：关于m的不等式m2﹣（2a+1）m+a（a+1）≤0成立．‎ ‎（1）若a=，且p∧q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在直线y=kx+m（k≠0）交椭圆于不同的两点C、D，且C、D都在以B为圆心的圆上，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）当a=1时，讨论函数y=f（x）的单调性；‎ ‎（2）若对任意m，n∈（0，2）且m≠n，有恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中．）‎ ‎1．已知集合M={x|（x+2）（x﹣3）≤0}，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N=（　　）‎ A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，1} D．{﹣1，1，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先化简集合M，再由交集的定义求交集，然后比对四个选项，选出正确选项来．‎ ‎【解答】解：∵M={x|（x+2）（x﹣3）≤0}={x|﹣2≤x≤3} N={﹣3，﹣1，1，3，5}，‎ ‎∴M∩N={﹣1，1，3}，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查交集及其运算，求解的关键是化简集合及正确理解交集的定义．‎ ‎　‎ ‎2．下列四个命题中真命题为（　　）‎ A．lg（x2+1）≥0 B．5≤2‎ C．若x2=4，则x=2 D．若x＜2，则＞‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据对数函数的图象和性质，可判断A；根据5＞2，可判断B；将x2=4得，x=±2，可判断C；根据＞⇔0＜x＜2，可判断D．‎ ‎【解答】解：x2+1≥1恒成立，故lg（x2+1）≥0恒成立，故A正确；‎ ‎5≤2恒不成立，故B错误；‎ 若x2=4，则x=±2，故C错误；‎ 若0＜x＜2，则＞，但x＜0时，＜，故D错误；‎ 故选：A ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，不等式的基本性质等知识点，难度基础．‎ ‎　‎ ‎3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，若第1组随机抽取的号码为m=6，则在第7组中抽取的号码是（　　）‎ A．66 B．76 C．63 D．73‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用6加上60即可．‎ ‎【解答】解：总体为100个个体，依编号顺序平均分成10个小组，则间隔号为10，‎ 所以在第7组中抽取的号码为6+10×6=66．‎ 故 ‎【点评】本题考查了系统抽样，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可．此题为基础题．‎ ‎　‎ ‎4．如图是某高二学生自高一至今月考从第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为（　　）‎ A．98 B．94 C．94.5 D．95‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据中位数的概念和茎叶图中的数据，即可得到数据中的中位数 ‎【解答】解：从茎叶图中可知14个数据排序为：‎ ‎79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114，‎ 所以中位数为94与95的平均数，是94.5．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查茎叶图的应用，以及中位数的求法，要注意在求中位数的过程中，要把数据从小到大排好，才能确定中位数，同时要注意数据的个数 ‎　‎ ‎5．如图，四边形ABCD为距形，AB=，BC=1，以A为圆心，AD为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意知本题是几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式计算即可．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，‎ 试验包含的所有事件是∠BAD，‎ 如图，连接AC交弧DE于P，‎ 则tan∠CAB==，‎ ‎∴∠CAB=30°，‎ 满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，‎ 即直线AP与线段BC有公共点 ‎∴概率P===．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了几何摡型的概率计算问题，几何概型的概率值是通过长度、面积、和体积的比值得到的．‎ ‎　‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（　　）‎ A．21 B．55 C．91 D．140‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的s，n的值，可得当n=7时不满足条件n＜7，退出循环，输出s的值为91，从而得解．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=1，s=0‎ 满足条件n＜7，执行循环体，s=1，n=2‎ 满足条件n＜7，执行循环体，s=5，n=3‎ 满足条件n＜7，执行循环体，s=14，n=4‎ 满足条件n＜7，执行循环体，s=30，n=5‎ 满足条件n＜7，执行循环体，s=55，n=6‎ 满足条件n＜7，执行循环体，s=91，n=7‎ 不满足条件n＜7，退出循环，输出s的值为91．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．若k∈R，则“﹣1＜k＜1”是“方程+=1表示椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】方程+=1表示椭圆，则，解得k范围即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：方程+=1表示椭圆，则，解得﹣1＜k＜1，k≠0，‎ 因此“﹣1＜k＜1”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了简易逻辑的应用、不等式解法、椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：‎ ‎ x ‎ 16‎ ‎ 17‎ ‎ 18‎ ‎ 19‎ ‎ y ‎ 50‎ ‎ 34‎ ‎ 41‎ ‎ 31‎ 由表可得回归直线方程=x+中的 ‎=﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为　　　（　　）‎ A．26个 B．27个 C．28个 D．29个 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出数据中心代入回归方程得出，从而得出回归方程，再令x=20求出．‎ ‎【解答】解：， =39．‎ 将（）代入回归方程得39=﹣4×17.5+，解得=109．‎ ‎∴回归方程为=﹣4x+109．‎ 当x=20时， =﹣4×20+109=29．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了线性回归方程过数据中心的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知x，y满足不等式组，则满足条件的P（x，y）表示的平面区域的面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，根据平面区域的形状，求出交点坐标，结合三角形的面积公式，建立方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：‎ 则对应区域为三角形OAB．‎ 由，得，即B（0，），‎ 由，得，即A（1，2），‎ 则|OB|=，‎ 则三角形的面积S=××1=，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区间，考查学生的作图能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎10．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；‎ ‎（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．‎ ‎【解答】解：∵y=∴y′=﹣‎ ‎∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣‎ ‎∵切线与直线ax+y+1=0垂直 ‎∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．‎ ‎∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2‎ 故选D．‎ ‎【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）‎ ‎　‎ ‎11．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点．当静止的小球从点A开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点A时，此时小球经过的路程可能是（　　）‎ A．32或4或 B．或28或 C．28或4或 D．32或28或4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据椭圆简单几何性质可知，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，射到左顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时；射到右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，；小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：，可知a=8，b=2，c=6，‎ ‎∴当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，到达左顶点，经椭圆壁反弹后，‎ 再回到点A时，小球经过的路程是2×2=4；‎ 当到达右顶点，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的路程是2×（8+6）=28；‎ 小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×8=32．‎ 故答案选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的性质的简单应用．考查椭圆的第一定义的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=2x3﹣3x2+，则g（）+g（）+…+g（）=（　　）‎ A．100 B．99 C．50 D．0‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=2x3﹣3x2+，‎ ‎∴g′（x）=6x2﹣6x，g″（x）=12x﹣6，‎ 令g″（x）=0，解得：x=，‎ 而g（）=1，‎ 故函数g（x）关于点（，1）对称，‎ ‎∴g（x）+g（1﹣x）=2，‎ ‎∴g（）+g（）+…+g（）‎ ‎=g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）+g（）+g（）‎ ‎=2×49+1=99，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）‎ ‎13．命题“若x2∈R，则x2+1＞1”的逆否命题是　若x2+1≤1，则x∉R　；并判定原命题是真命题还是假命题？　假命题　．‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】否定命题的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可写出命题的逆否命题．举x=0可以判断真假 ‎【解答】解：由命题与逆否命题的关系可知：命题“若x2∈R，则x2+1＞1”的逆否命题是：若x2+1≤1，则 x∉R，‎ 当x=0时，时命题不成立，‎ 原命题为假命题，‎ 故答案为：若x2+1≤1，则 x∉R，假命题 ‎【点评】本题考查四种命题的逆否关系，搞清楚关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．抛物线y=x2的焦点坐标是　（0，1）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线方程即 x2=4y，从而可得 p=2， =1，由此求得抛物线焦点坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线即 x2=4y，‎ ‎∴p=2， =1，故焦点坐标是（0，1），‎ 故答案为 （0，1）．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．函数f（x）=﹣x+ex﹣m的单调增区间是　（0，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出导函数，利用导函数大于0，求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=﹣x+ex﹣m，‎ 可得f′（x）=ex﹣1，由题意可得：ex﹣1＞0，解得x＞0．‎ 函数f（x）=﹣x+ex﹣m的单调增区间是：（0，+∞）．‎ 故答案为：（0，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，单调区间的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=（a，b为正实数）．若1⊗k=3，则k的值为　1　，此时函数的最小值为　3　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】先利用新定义运算解方程1⊗k=3，得k的值，再利用均值定理求函数f（x）的最小值即可 ‎【解答】解：依题意，1⊗k=+1+k=3，解得k=1‎ 此时，函数===1++≥1+2=3‎ 故答案为 1，3‎ ‎【点评】本题主要考查了对新定义运算的理解，均值定理求最值的方法，特别注意均值定理求最值时等号成立的条件，避免出错，属基础题 ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（10分）（2016秋•清远期末）某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x（百万元）与公司所获得利润y（百万元）的散点图发现，y与x之间具有线性相关关系，具体数据如表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 科研费用x（百万元）‎ ‎1.6‎ ‎1.7‎ ‎1.8‎ ‎1.9‎ ‎2.0‎ 公司所获利润y（百万元）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎（1）求y对x的回归直线方程；（参考数据： x=16.3， xiyi=18.5）‎ ‎（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润为多少万元？‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据表中数据，计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；‎ ‎（2）由题知2017年时科研投入的x值，代入回归方程求出的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据表中数据，计算可得 ‎=×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，‎ ‎=×（1+1.5+2+2.5+3）=2，‎ 又，；…‎ b==；…（6分）‎ a=﹣b=2﹣5×1.8=﹣7，…（7分）‎ 故所求的回归直线方程为=5x﹣7；…（8分）‎ ‎（2）由题可知到2017年时科研投入为x=2.3（百万元），‎ 故可预测该公司所获得的利润为=5×2.3﹣7=4.5（百万元）；…（9分）‎ 答：可预测2017年该公司获得的利润为450万元． …（10分）‎ ‎【点评】本题考查了求回归直线方程以及应用回归方程预测实际问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•黄山三模）2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[‎ ‎90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？‎ ‎（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；‎ ‎（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；收集数据的方法；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（I）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值，根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法；‎ ‎（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标求众数；根据中位数是从左数小矩形面积和为0.5的矩形底边上点的横坐标求中位数；‎ ‎（III）利用直方图求出样本中车速在[90，95）频数，利用个数比求超速车辆的概率．‎ ‎【解答】解：（I）由频率分布直方图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，‎ ‎∴a=0.06，‎ 该抽样方法是系统抽样；‎ ‎（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；‎ ‎∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，‎ 第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，‎ ‎∴中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06×x=0.5⇒x≈2.9，‎ ‎∴数据的中位数为77.9；‎ ‎（III）样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），‎ ‎∴估计该路段车辆超速的概率P==．‎ ‎【点评】本题考查了由样本估计总体的思想，考查了由频率分布直方图求数据特征数众数、中位数，考查了古典概型的概率计算，是概率统计的常见题型，解答要细心．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．‎ ‎【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，‎ 设费用为F，则F=2.5x+4y，‎ 由题意知约束条件为：‎ 画出可行域如图：‎ 变换目标函数：‎ 当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．‎ 即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．‎ ‎【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•清远期末）已知命题p：方程+=1表示的曲线是焦点在x轴的双曲线；命题q：关于m的不等式m2﹣（2a+1）m+a（a+1）≤0成立．‎ ‎（1）若a=，且p∧q为真，求实数m的取值范围．‎ ‎（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）由p∧q为真，可得p真且q真，P真：则设A={m|}，q真：B={m|m2﹣（2a+1）m+a（a+1）≤0}={m|a≤m≤a+1}，由，可得B，即可得出A∩B．‎ ‎（2）由（1）知设A={m|}，B={a≤m≤a+1}，由p是q的充分不必要条件，可得A是B的真子集，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵p∧q为真，∴p真且q真 …（1分）‎ P真：则设A={m|}=，…（2分）‎ q真：B={m|m2﹣（2a+1）m+a（a+1）≤0}={m|a≤m≤a+1}…‎ ‎∵，∴B=…‎ ‎∴A∩B=‎ ‎∴实数m的取值范围为：…（6分）‎ ‎（2）由（1）知设A={m|}，B={a≤m≤a+1}…（8分）‎ ‎∵p是q的充分不必要条件，∴A是B的真子集 ‎∴…（10分）‎ 解得，…（11分）‎ ‎∴实数a的取值范围为：．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了简易逻辑的应用、不等式解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•清远期末）已知椭圆C： +=1（a＞b＞‎ ‎0）的离心率，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在直线y=kx+m（k≠0）交椭圆于不同的两点C、D，且C、D都在以B为圆心的圆上，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）利用离心率，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．列出方程组求解即可得到椭圆的方程．‎ ‎（2）联立消y整理，设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点是E（x0，y0），利用韦达定理求出，求出BE的方程x0+ky0+k=0，化简推出m=1+2k2，求出m∈（0，1）说明不存在这样的直线，交椭圆于不同的两点，且这两点都在以B为圆心的圆上．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵，c2=a2﹣b2…（1分）‎ 原点到直线AB：的距离…（2分）‎ ‎∴…‎ ‎∴所求的椭圆方程：…‎ ‎（2）消y整理得：‎ ‎…（6分）‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点是E（x0，y0），‎ 则，…（7分）‎ ‎…（8分）‎ 所以x0+ky0+k=0即（1+k2）x0+km+k=0，‎ 即，，‎ ‎∴m=1+2k2（∵k≠0，∴m＞1）…（9分）‎ 又 即m2﹣（1+2k2）＜0，…（10分）‎ ‎∴m2﹣m＜0∴m∈（0，1）…（11分）‎ 综上所述，不存在这样的直线，交椭圆于不同的两点，且这两点都在以B为圆心的圆上．…12 分 ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，存在性问题的解决方法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•清远期末）已知函数．‎ ‎（1）当a=1时，讨论函数y=f（x）的单调性；‎ ‎（2）若对任意m，n∈（0，2）且m≠n，有 恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）令g（x）=f（x）﹣x=alnx+，通过讨论m，n的大小，得到g（x）在（0，2）上单调递减，通过讨论a的范围，确定函数g（x）的单调性，从而确定a的具体范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），‎ a=1时，f（x）=lnx++x，f′（x）=﹣+1==，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；‎ ‎（2）若m＞n，由，‎ 得f（m）﹣m＜f（n）﹣n 若m＜n，由，‎ 得f（m）﹣m＞f（n）﹣n 令g（x）=f（x）﹣x=alnx+，‎ g′（x）=（x＞0）‎ ‎∵g（x）在（0，2）上单调递减，‎ ‎∴①当a=0时，g′（x）=0，不符合题意；‎ ‎②当a＞0时，由g′（x）＜0得0＜x＜2a，‎ 所以g（x）在（0，2a）上递减，‎ 所以2≤2a，即a≥1；‎ ‎③当a＜0时，在（0，+∞）上，都有g′（x）＜0，‎ 所以g（x）在（0，+∞）上递减，即在（0，2）上也单调递减，‎ 综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎　‎