2017-2018学年青海省西宁市第四高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年青海省西宁市第四高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

西宁市第四高级中学2017—2018学年第一学期期末试卷 高 二 数 学（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1. 抛物线的准线方程是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据抛物线中准线的定义得到准线方程是.‎ 故答案为：D。‎ ‎2. 已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0垂直，则m 的值为 （ ）‎ A. 0 B. 2 C. -8 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件知道过点A(-2，m)和B(m，4)的直线斜率和已知直线的斜率之积为-1，‎ 故。‎ 故答案为：D。‎ ‎3. 焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意得到 ‎ 故方程为：.‎ 故答案为：。‎ ‎4. “”是 “>”的（ ）‎ A. 充分而不必要 B. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由条件得，则x值可以小于0可以大于0，故推不出；反之，当时，一定有。故“”是 “>”的必要而不充分条件.‎ 故答案为：C。‎ ‎5. 若两条平行线L1:x-y+1=0,与L2:3x+ay-c=0 （c>0）之间的距离为,则等于（ ）‎ A. -2 B. -6 C. 2 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由 两条平行线L1：x﹣y+1=0，与L2：3x+ay﹣c=0 （c＞0）之间的距离为，‎ 可得 ，∴a=﹣3，c≠3，直线L1的方程即：3x﹣3y+3=0，由 ‎ 解得c=3，或 c=﹣9 （舍去）， ‎ 故选A．‎ ‎6. 一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积为：（ ）‎ ‎ ‎ A. cm2 B. cm2‎ C. 4(9+2) cm2 D. cm ‎【答案】C ‎【解析】由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的高是3，底面是高为2的正三角形，‎ 所以底面的边长是4，∴两个底面的面积是2××4×4=8‎ 侧面积是2×3×4+12=36，∴几何体的表面积是36+8（cm2），‎ 故答案为：C。‎ ‎7. 命题：“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D 故答案为：D。‎ ‎8. 已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得到命题所有有理数都是实数，这是真命题；命题正数的对数都是负数，这是假命题。故为假命题，为真命题。故为真命题；其它选项都是假命题。‎ 故答案为：B。‎ ‎9. 设椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，‎ ‎∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，‎ 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ‎∴2a=3x，2c=x，‎ ‎∴C的离心率为：e=．‎ 故答案为：A。‎ 点睛：这个题目考查的是椭圆的离心率的求法；求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。‎ ‎10. 已知,是直线，是平面，给出下列命题：‎ ‎①若，，，则或．‎ ‎②若，，，则．‎ ‎③ 若m ,n ,m∥,n∥,则∥．‎ ‎④若，且，，则．‎ 其中正确的命题是 （ ）‎ A. ①,② B. ②.③ C. ②.④ D. ③, ④ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：①由，，，直线可能在平面内，所以不正确；②若，，，由面面平行的性质定理可知；③中两条直线不一定相交，根据面面平行的性质定理知不正确；根据线面平行的性质定理可知④正确.‎ 考点：本小题主要考查空间中直线、平面间的位置关系.‎ 点评：此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．‎ ‎11. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为 ‎ 故选C．‎ ‎12. 已知圆C：（x+3）2 +y2=100和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于没M点,则M点的轨迹方程是 （ ）‎ A. B . C D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆的方程可知，圆心C（﹣3，0），半径等于10，设点M的坐标为（x，y ），‎ ‎∵BP的垂直平分线交CQ于点M，‎ ‎∴|MB|=|MP|． 又|MP|+|MC|=半径10，∴|MC|+|MB|=10＞|BC|．依据椭圆的定义可得，‎ 点M的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2a=10，c=3，∴b=4，‎ 故椭圆方程为.‎ 故答案为：B。‎ 点睛：这道题目圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知命题：，使，则是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据特称命题的否定，换量词否结论，不变条件，得到是.‎ 故答案为：。‎ ‎14. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴长在y轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和是12，则椭圆的方程是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12，‎ 可得2a=12，解得a=6，c=3，则b=3．‎ 所以椭圆C的标准方程．‎ 故答案为：.‎ ‎15. 如图ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则AB1与平面D1B1BD所成角＝____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据棱柱的体积公式得到 ‎ ‎，则线面角角为 ‎ 夹角为.‎ 故答案为：。‎ ‎16. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，o是坐标原点，则=_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设A到准线的距离等于AM，由抛物线的定义可得|AF|=|AM|，由可得 ‎△AMK为等腰直角三角形． 设点A （，s ），∵准线方程为 x=﹣2，|AM|=|MK|，‎ ‎∴+2=|s|，∴s=±4，∴A （2，±4 ），∴|AO|= ‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. 已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线交圆C于A、B两点.‎ ‎（1）当经过圆心C时，求直线l的方程；‎ ‎（2）当直线的倾斜角为45º时，求弦AB的长.‎ ‎【答案】（1）2x-y-2=0（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据直线经过，两点易求直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求出弦心距即可求解．‎ 试题解析：（1）已知圆的圆心为，∵直线过点，，∴，直线的方程为，即；（2）当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，又∵圆的半径为，∴弦的长为．‎ 考点：1．直线方程；2．直线与圆的位置关系．‎ ‎18. 若双曲线的焦点在y轴，实轴长为6，渐近线方程为，求双曲线的标准方程。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：设双曲线的方程为，代入渐近线方程中的比例关系得到标准方程。‎ 解析：‎ 设双曲线的标准方程为 ‎ ‎ ‎19. 设：方程有两个不等的负根，：方程无实根，若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：首先由一元二次方程根的情况得到系数满足的条件，即关于m的不等式，解不等式分别得到命题p，q中对应的m的范围，由命题p或q为真命题，命题p且q为假命题得到两命题一真一假，进而分情况求解m的范围 试题解析：若命题p为真，则方程有两个不等的负实根，从而 ‎，解得 若命题q为真，则方程 无实根，从而 ‎，解得 命题p或q为真命题，命题p且q为假命题 中有且仅有一个是真命题 解得或 实数m的取值范围是 考点：1．一元二次方程的根；2．复合命题 ‎20. 已知关于x,y的方程C:.‎ ‎（1）当m为何值时，方程C表示圆。‎ ‎（2）若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点，且MN=,求m的值。‎ ‎【答案】（1）（2） 4‎ ‎【解析】试题分析：（1）一般式圆的方程中表示圆需满足；（2）直线与圆相交问题常利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一般构成的直角三角形三边勾股定理求解 试题解析：（1）方程C可化为 显然时方程C表示圆．即 ‎（2）圆的方程化为 圆心C（1，2），半径 则圆心C（1，2）到直线l:x+2y-4=0的距离为 ‎，有 得 考点：1.圆的方程；2.直线与圆相交的弦长问题 ‎21. 如图，如图，，，BC=AN=AB=4，，‎ ‎.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求几何体的体积 ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）证线面垂直，先由线线垂直入手，证明，，最终得到线面垂直；（2）几何体的体积，分割成两个棱锥的体积计算即可。‎ 解析：‎ ‎（1）证明：连，过作，垂足为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴， ‎ ‎ 又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，，‎ ‎ ∴ ，=，‎ ‎∵， ， ‎ ‎∵，‎ ‎ ‎ ‎（2）连接CN， , ‎ 又，所以平面平面，且平面 ，，，‎ ‎∴ ， ‎ ‎ ‎ 此几何体的体积 ‎ 点睛：本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面垂直关系的判定与转化，柱体体积的计算，考查空间想象、转化、计算、论证能力．一般要证线面垂直先找线线垂直，要证线面平行先找线线平行；求组合体的体积时，进行恰当的分割，分成熟悉的几何体的体积。‎ ‎22. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点（1，）在椭圆C上.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ 过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据求得b，得到椭圆的方程．（2）设，将其与联立，得到，利用韦达定理可得，再根据的面积为，建立方程，求出，即可求出直线的方程．‎ 试题解析：解：（1）‎ ‎，故所 求直线方程为：．‎ 考点：1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．‎ ‎ ‎ ‎ ‎