2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 3 基本函数

2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 3 基本函数

三、基本初等函数 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（　　）‎ A．等于1 B．等于lg‎2 ‎C．等于0 D．不是常数 ‎2．已知函数f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（　　）‎ A．14 B．‎13 ‎C．12 D．11‎ ‎3．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b ‎4．二次函数y=﹣x2﹣4x（x＞﹣2）与指数函数的交点个数有（　　）‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎5．已知log7[log3（log2x）]=0，那么x等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣1，h（x）=log3x+x的零点依次为a，b，c，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b ‎7．已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]‎ ‎8．函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（bx）和f（cx）的大小关系是（　　）‎ A．f（bx）≤f（cx） B．f（bx）≥f（cx）‎ C．f（bx）＞f（cx） D．大小关系随x的不同而不同 ‎9．已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=503（a+b），则a2+b2的最小值为（　　）‎ A．6 B．‎8 ‎C．9 D．12‎ 8‎ ‎10．已知函数f（x）=（ex﹣e﹣x）x，f（log5x）+f（logx）≤‎2f（1），则x的取值范围是（　　）‎ A．[，1] B．[1，5] C．[，5] D．（﹣∞，]∪[5，+∞）‎ ‎11．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数y=的部分图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．已知y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b﹣a的最小值为　 　．‎ ‎14．已知f（x）=，则不等式[f（x）]2＞f（x2）的解集为　 　．‎ ‎15．已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=　 　．‎ ‎16．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=　 　．‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎17．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；‎ ‎（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．‎ ‎18．已知函数F（x）=ex满足F（x）=g（x）+‎ 8‎ h（x），且g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数．‎ ‎（1）求函数h（x）的反函数；‎ ‎（2）已知φ（x）=g（x﹣1），若函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（‎2a+1＞φ（﹣），求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 8‎ 三、基本函数 选择题（共12小题）‎ ‎1．【解答】解：∵lg（a+b）=lga+lgb，‎ ‎∴lg（a+b）=lg（ab）=lga+lgb，∴a+b=ab，∴lg（a﹣1）+lg（b﹣1）‎ ‎=lg[（a﹣1）×（b﹣1）]=lg（ab﹣a﹣b+1）‎ ‎=lg[ab﹣（a+b）+1]=lg（ab﹣ab+1）=lg1=0．故选C．‎ ‎2．【解答】解：由题意，函数f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3，可得a+=3，‎ 又f（2）=a2+a﹣2=﹣2=7，f（0）=1+1=2‎ 所以f（0）+f（1）+f（2）=2+3+7=12故选C ‎3．【解答】解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，‎ 则a＜c＜b，则选：C．‎ ‎4．【解答】解：因为二次函数y=﹣x2﹣4x=﹣（x+2）2+4（x＞﹣2），‎ 且x=﹣1时，y=﹣x2﹣4x=3，=2，‎ 则在坐标系中画出y=﹣x2﹣4x（x＞﹣2）与的图象：‎ 由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，故选C．‎ ‎　‎ ‎5．【解答】解：由条件知，log3（log2x）=1，‎ ‎∴log2x=3，‎ ‎∴x=8，∴x=‎ 8‎ 故选：D．‎ 6． ‎【解答】解：令f（x）=2x+x=0，解得x＜0，令g（x）=x﹣1=0，解得x=1，由h（x）=log3x+x，令=﹣1+＜0，h（1）=1＞0，因此h（x）的零点x0∈．则b＞c＞a．故选：D．‎ ‎7．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，‎ 即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，‎ 由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；‎ 由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，‎ 则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，‎ 即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，‎ 由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．‎ 则﹣2≤a≤2②‎ 由①②可得，﹣≤a≤2．‎ 另解：作出f（x）的图象和折线y=|+a|‎ 当x≤1时，y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1， ‎ 由2x﹣1=﹣，可得x=，‎ 切点为（，）代入y=﹣﹣a，解得a=﹣；‎ 当x＞1时，y=x+的导数为y′=1﹣，‎ 由1﹣=，可得x=2（﹣2舍去），‎ 切点为（2，3），代入y=+a，解得a=2．‎ 由图象平移可得，﹣≤a≤2．‎ 故选：A．‎ 8‎ ‎8．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），‎ ‎∴f（x）图象的对称轴为直线x=1，由此得b=2．‎ 又f（0）=3，∴c=3．‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．‎ 若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．‎ 若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选A．‎ ‎9．【解答】解：∵f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，‎ ‎∴503（a+b）=f（）+f（）+…+f（）=++…+==2012，‎ ‎∴a+b=4，∴a2+b2≥==8，当且仅当a=b=2时取等号．故选：B．‎ ‎10．【解答】解：∵函数f（x）=（ex﹣e﹣x）x，∴f（﹣x）=﹣x（e﹣x﹣ex）=（ex﹣e﹣x）x=f（x），∴函数f（x）是偶函数．‎ ‎∵f′（x）=（ex﹣e﹣x）+x（ex+e﹣x）＞0在[0，+∞）上成立．‎ ‎∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．f（log5x）+f（logx）≤‎2f（1），‎ ‎∴‎2f（log5x）≤‎2f（1），即f（log5x）≤f（1），‎ ‎∴|log5x|≤1，∴．故选：C．　‎ ‎11．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，‎ 所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D　‎ ‎12．【解答】解：∵y=f（x）=，‎ 8‎ ‎∴f（﹣x）===f（x），‎ ‎∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C．‎ ‎∵f（2）=＞0，∴（2，f（2））在x轴上方，所以排除A，‎ 故选：D．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．【解答】解：∵y=|log2x|，∴x=2y或x=2﹣y．∵0≤y≤2，‎ ‎∴1≤x≤4，或．即{a=1，b=4}或{a=，b=1}．‎ 于是[b﹣a]min=．故答案为：．‎ ‎14．【解答】解：∵f（x）=，∴由[f（x）]2＞f（x2）知 ‎，∴，，或，∴，或x＞1．故答案为：（0，）∪（1，+∞）．‎ ‎15．【解答】解：由题意，x≤0，2x=，∴x=﹣1，‎ ‎∴f﹣1（）=﹣1．故答案为﹣1．‎ ‎16．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），‎ 即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），‎ ‎∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．‎ 三．解答题（共2小题）‎ ‎17．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．‎ ‎∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．‎ ‎（2）由（1）及题设知：，‎ 设，‎ ‎∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．‎ 当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．‎ 8‎ ‎∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．‎ 同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ ‎（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），‎ ‎∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；‎ ‎②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知 得，n=1．　‎ ‎18．【解答】解：（1）由题意可得：ex=g（x）+h（x），e﹣x=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），联立解得：g（x）=，h（x）=．‎ 由y=，化为：（ex）2﹣2yex﹣1=0，ex＞0，解得ex=y+．‎ ‎∴h﹣1（x）=ln（x∈R）．‎ ‎（2）φ（x）=g（x﹣1），函数φ（x）在[﹣1，3]上满足φ（‎2a+1＞φ（﹣），转化为：函数g（x）在[﹣2，2]上满足：g（‎2a）＞g（﹣﹣1），‎ 由于函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，且函数g（x）为偶函数，‎ ‎∴|‎2a|＞|﹣﹣1|，﹣2≤‎2a≤2，﹣2≤﹣﹣1≤2，解得a∈∪．‎ ‎（3）不等式g（2x）﹣ah（x）≥0，即﹣≥0，‎ 令t=ex﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，‎ 不等式转化为：t2+2﹣at≥0，∴a≤t+，∵t+≥2，当且仅当t=时取等号．‎ ‎∴a≤2．‎ 8‎