2018-2019学年福建省三明市第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年福建省三明市第一中学高二上学期第二次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 福建省三明市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．60与48的最大公约数为（ ）‎ A．4 B．6 C．12 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据辗转相除法的步骤，将60与48代入即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以60和48的最大公约数是12，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查辗转相除法的应用，属于简单题.‎ ‎2．“函数在处有极值”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由“函数处有极值”是“”，反之不成立，所以“函数处有极值”是“”的充分不必要条件 考点：函数极值与充分条件必要条件 ‎3．如图所示的程序框图运行后输出的值，则（ ）‎ A．6 B．11 C．13 D．15‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值，然后求出的值.‎ ‎【详解】‎ 首先对累加变量和循环变量赋值，，‎ 判断，执行，‎ ‎；‎ 判断，执行，‎ ‎；‎ 判断，执行，‎ ‎；‎ 判断，算法结束，输出的值分别为9，4，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎4．已知命题，总有，则为（ ）‎ A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，所以，命题，总有 的否定为：，使得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎5．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)‎ A．100 B．150‎ C．200 D．250‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据已知可得： ，故选择A 考点：分层抽样 视频 ‎6．若A，B为互斥事件，则（ ）‎ A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1‎ C．P（A）+P（B）="1" D．P（A）+P（B）≤1‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由已知中为互斥事件，则为随机事件；当为对立事件时，为必然事件，根据随机事件及对立事件的概率即可得到结论.由已知中 为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得；当为对立事件时，.‎ 故选D.‎ 考点：互斥事件的概率加法公式.‎ ‎7．在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）‎ A．9.4，0.484 B．9.4，0.016‎ C．9.5，0.04 D．9.5，0.016‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用平均数公式、方差公式直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为，‎ 其平均值为，方差为，‎ 故选D .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查样本的平均数、方差公式的应用，属于基础题. 样本数据的算术平均数 ，样本方差.‎ ‎8．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两数之差的绝对值为2的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用组合知识求出从1，2，3，4中任取两个不同的数所有取法种数，利用列举法得到取出的两个数之差的绝对值为2的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 从1,2,3,4中任取两个不同的数，所有不同的取法种数为种.‎ 取出的两个数之差的绝対值为2的情况有：共2种.‎ 取出的两个数之差的绝对值为2的概率是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，是基础的计算题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎9．函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的导函数，令导函数大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集可得到的范围，即为函数的单调增区间.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ 所以，‎ 由，可得，‎ 故函数的单调递增区间为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的单调区间，是一道中档题.求函数单调区间的步骤是：求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，由求得的范围，可得函数的减区间.‎ ‎10．已知是抛物线的焦点，点是抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的方程求出其焦点坐标，设出线段中点坐标与点的坐标，由中点坐标公式把的坐标用线段中点的坐标表示，代入抛物线方程可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，得其焦点坐标为，‎ 设出线段中点为，‎ 由中点坐标公式得，‎ ‎，‎ 点是抛物线上的点，，‎ 即，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程的求法，以及逆代法求曲线的轨迹方程，是中档题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.‎ ‎11．函数有 （ ）．‎ A．极大值，极小值； B．极大值，极小值；‎ C．极大值，无极小值； D．极小值，无极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，而，而当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数在取得极大值，没有极小值，故选答案C.‎ 考点：函数的极值与导数.‎ ‎12．斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，设直线方程为联立化简得 则，‎ 则=‎ 当时，的最大值为 故选C 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．数化为十进制数为__________．‎ ‎【答案】42‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二进制转化为十进制的方法，只需依次累加各位数字上的数乘以该数位的权重，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故答案为42.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查进位制的互化，属于基础题. 二进制、八进制、十进制与十六进制，它们之间区别在于数运算时是逢几进一位，比如二进制是逢进一位，十进制也就是我们常用的是逢进一位,二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数乘以该数位的权重.‎ ‎14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则弦长超过圆内接正边长的概率是__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点，当另一端点在劣弧上时，‎ ‎，求出劣弧的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，‎ 如图，取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点，‎ 当另一端点在劣弧上时，，‎ 设圆的半径为，劣弧的长度是，‎ 圆的周长为，‎ 所以，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎15．若，则双曲线的离心率的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线方程，求出，求得双曲线的离心率为，结合及,即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，则双曲线的离心率为 ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程与离心率，意在考查对基础知识的掌握与运用，属于中档题.‎ ‎16．已知函数的定义域为，，对，，则的解集为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构建函数，由得出，等价于，根据，得到在上为增函数，从而可得到的解集,进而得到所求不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 则，‎ 则等价于，‎ 又对任意，‎ 即在上单调递增，‎ 则的解集为，‎ 即的解集为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②‎ 若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题存在使不等式成立，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简命题可得，化简命题可得或，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎∵命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆 ‎∴ .‎ 又命题q：存在使不等式成立，‎ ‎∴，即或，‎ ‎∵命题为真命题，为假命题，‎ ‎∴命题p、q中一真一假，‎ 当p真q假时，，解得：；，分 当p假q真时，，解得：；‎ 综上述，实数k的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查椭圆的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎18．某研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，统计得到1至6月份每月9号的昼夜温差与因患感冒而就诊的人数的数据，如下表：‎ 日期 ‎1月9号 ‎2月9号 ‎3月9号 ‎4月9号 ‎5月9号 ‎6月9号 ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该研究小组的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用之前被选取的2组数据进行检验.‎ ‎（1）若选取1月和6月的数据作为检验数据，请根据剩下的2至5月的数据，求出关于的线性回归方程；（计算结果保留最简分数）‎ ‎（2）若用（1）中所求的回归方程作预报，得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2人，则认为得到的回归方程是理想的，试问该研究小组所得回归方程是否理想？‎ ‎【答案】(1)；（2）理想.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据所给的数据，求出变量的平均数，根据最小二乘法所需要的数据求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程； (2)根据上一问求出的线性回归方程，计算和时对应的值，再判断所得的线性回归方程是否理想．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由2至5月的数据可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∴回归直线方程为. ‎ ‎（2）当时，， ‎ ‎∴ ，‎ 当时， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴依题意，该研究小组所得的回归方程是理想的．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，绘制成如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图中的值及续驶里程在的车辆数；‎ ‎（2）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.‎ ‎【答案】（1），5；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求得的值，求得续驶里程在的车辆的概率，再利用频数=频率样本容量求车辆数；（2）由（1）知续驶里程在的车辆数为5辆，其中落在内的车辆数为3辆，利用列举法求出从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况，以及恰有一辆车的续驶里程在内的情况，利用古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴续驶里程在的车辆数为：（辆）.‎ ‎（2）设“恰有一辆车的续驶里程在内”为事件M ‎ 由（1）知续驶里程在的车辆数为5辆，其中落在内的车辆数为3辆，分别记为A、B、C，落在内的车辆数2辆，分别记为a、b,‎ 从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：，，，，，，，，，共10种且每种情况都等可能被抽到，事件M包含的情况有：，，，，，共6种，‎ 所以由古典概型概率公式有：，即恰有一辆车的续驶里程在内的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直方图的应用，以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，‎ ‎…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎20．如图，中，，.‎ ‎（1）在边上任取一点，求满足的概率；‎ ‎（2）在的内部任作一条射线，与线段交于点，求满足的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 在边上任取一点，且满足的点落在线段上即可，由勾股定理可得，由几何概型概率公式可得点落在线段上的概率为；（2）在的内部任作一射线，满足，只需在的内部作射线即可，，利用几何概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设“在边BC上任取一点M，满足”为事件E,‎ ‎∵ ，‎ ‎∴在边BC上任取一点M，且满足的点M落在线段BD上即可，‎ 又，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴由几何概型概率公式有，‎ ‎∴在边BC上任取一点M，满足的概率为.‎ ‎（2）设“在的内部任作一条射线AM，满足”为事件F ，‎ ‎∵，‎ ‎∴在的内部任作一射线AM，满足，‎ 只需在的内部作射线AM即可，‎ 又，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴由几何概型概率公式有，‎ ‎∴在的内部任作一条射线AM，满足的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“长度型、角度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎21．已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若椭圆与直线相交于不同的两点，当时，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的一个顶点为，离心率为，列出关于 、 、的方程组，求出 、，从而可得椭圆的方程；（2）设为弦的中点，直线与椭圆方程联立得)，由于直线与椭圆有两个交点，可得,由可得，从而得，由此可推导出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆C的焦点在x轴上，‎ ‎∴设椭圆C的方程为：，‎ 依题意有：，解得：，‎ ‎∴椭圆C的方程为：，‎ ‎（2）设，则 由消y得：，‎ 又直线与椭圆有两不同交点，‎ ‎∴，即 ①‎ 由韦达定理有：，，‎ ‎∴ ，‎ 设M、N的中点为，则，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，化简得： ， ② ‎ 将②式代入①式得：，解得： ，‎ 又由②式有：，解得： ，‎ 综上述，实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎22．已知函数. ‎ ‎（1）若，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在上为增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线在处的切线斜率，由点斜式可得结果；（2）函数在上为增函数，等价于对任意x,‎ 上恒成立，在上恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出的最小值，即可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当a＝1时， ，‎ ‎∴f(1)＝－e－×12＋2×1＝－e，‎ 又f ′(x)＝－ex－x＋2，‎ ‎∴f ′(1)＝－e－1＋2＝1－e，‎ ‎∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝(1－e)(x－1)，‎ 即所求切线方程为：(1－e)x－y＋ =0 .‎ ‎（2）∵函数在R上是增函数，‎ ‎∴f ′(x)≥0在R上恒成立，‎ ‎∴－aex－x＋2≥0在R上恒成立，即a≤在R上恒成立，‎ 令g(x)＝，则g′(x)＝，‎ 令g′(x)＝0，解得x＝3，‎ 当x变化时，g(x)、g′(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ 减 增 ‎∴函数g(x)在x＝3处取得极小值，即g(x)min＝ ，‎ ‎∴a≤，‎ ‎∴实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.‎