河北省衡水市武邑中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

河北省衡水市武邑中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

河北武邑中学2019-2020学年高三上学期期末考试 数学理科试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）‎ ‎1.（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用虚数单位的运算性质求解.‎ ‎【详解】解：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查虚数单位的运算性质，属于基础题型.‎ ‎2.设为虚数单位，复数的实部为（ ）‎ A. 3 B. ‎-3 ‎C. 2 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则及复数的概念即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以复数的实部为3，‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.‎ ‎3.若向量，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：如果，则，充分性成立；反之，如果，则可得，必要性不成立，故答案选A.‎ 考点：1、充分必要条件；2、平面向量.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增是 A. B. y= C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.‎ ‎【详解】函数，‎ ‎ 在区间 上单调递减，‎ 函数 在区间上单调递增，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.‎ ‎5.已知，且，则的值为（）‎ A. -7 B. ‎7 ‎C. 1 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得，‎ 再由两角和正切公式，将代入运算即可.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，即，‎ 又 ，‎ 则，‎ 解得= 7，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎6.将函数图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调减区间为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据平移变换求出，然后再根据正弦函数的单调区间.‎ ‎【详解】把的图象向右平移个单位长度后得到，所以，所以.‎ 令，解得，令可得一个减区间为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间求解，平移图象时，注意x的系数对解析式的影响.‎ ‎7.如图，在平行四边形中,为的中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的加减法的几何意义将转化为，即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量的值，可发现周期为，即可得到，，，此时输出.‎ ‎【详解】，.，.，.‎ ‎，.，.‎ 可发现周期，，，.‎ 此时输出.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是是解决本题的关键，属于简单题.‎ ‎9.公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O为圆心的大圆直径为4,以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可.‎ ‎【详解】上方阴影部分的面积等于的面积.‎ 下方阴影部分面积等于.‎ 所以根据几何概型得所求概率：.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎10.设椭圆的左焦点为，在轴上的右侧有一点，以为直径的圆与椭圆在轴上方部分交于两点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 椭圆：1（a＞b＞0），圆C：（x﹣R+c）2+y2＝R2,二者联立，得得e2x2+2（c﹣R）x+a2﹣2RC＝0，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】解：椭圆：1（a＞b＞0），圆C：（x﹣R+c）2+y2＝R2，‎ 联立解得e2x2+2（c﹣R）x+a2﹣2RC＝0，‎ 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2，‎ 因为|MF|a+ex1，‎ 同理|NF|＝a+ex2，‎ 所以|MF|+|NF|＝e（ x1+x2）+‎2a，∴‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查了圆与椭圆的位置关系，考查推理能力与计算能力.‎ ‎11.已知函数，若，则ab的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出的图像，结合图像，根据，求得的取值范围.令，将用表示，由此求得的表达式，进而利用导数求得的最小值.‎ ‎【详解】画出图像如下图所示，令，解得.‎ 所以.‎ 令，由图可知.，‎ 所以.所以.‎ 构造函数（稍微放大的范围）..‎ 令，，‎ 所以在上递减.而.‎ 由于，‎ 所以，，，‎ 所以. ，‎ 故存在，使.‎ 所以在上递增，在上递减.‎ 所以对于来说，最小值只能在区间端点取得. ‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 所以的最小值为.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.‎ ‎12.已知双曲线：，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间.已知为原点，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出右焦点的坐标和渐近线的方程，由点到直线的距离公式求得，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得的关系，由此求得 的长，进而求得 ‎【详解】双曲线的右焦点，渐近线的方程为，即，渐近线的方程为，即.‎ 所以，，.‎ 所以，而，‎ 解得或（舍去）.‎ 所以.‎ 在中，由射影定理得，所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡横线上.‎ ‎13.数列满足前项和为，且，则的通项公式____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系式可得，两式相减得：，即，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式.‎ ‎【详解】因为 所以 两式相减得：‎ 即 所以从第二项起是等比数列，‎ 又，所以 故 ，又 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.‎ ‎14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：‎ ‎①所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；‎ ‎②任意相邻的两项，满足.‎ 根据上面的信息完成下面的问题：‎ ‎（i）数列__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；‎ ‎（ii）若，则数列__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.‎ ‎【答案】 (1). 是 (2). 是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据定义检验可得正确的结论.‎ ‎【详解】若数列为，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，‎ 故为“有趣数列”.‎ 若，则，‎ ‎.‎ ‎，故.‎ ‎,‎ 故.‎ ‎，故.‎ 综上，为“有趣数列”.‎ 故答案为：是，是.‎ ‎【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题.‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，则的坐标为__________；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的标准方程可得焦点的坐标，利用焦半径公式可得的横坐标，求出其纵坐标后可求出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后求出的坐标，最后可求的面积.‎ ‎【详解】由抛物线可得，故焦点坐标.‎ 设，则，故.‎ 根据抛物线的对称性，不妨设在第一象限，则，‎ 故，故直线.‎ 由 可得，故或，‎ 所以.‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦点、焦半径公式及抛物线中与三角形有关的面积计算，一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为；抛物线 上的点到焦点的距离为.直线与抛物线相交后的交点坐标，一般是联立方程组求解，本题属于中档题.‎ ‎16.如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为，所以为正三角形，设,则，其中B为PQ的中点，所以 三、解答题: 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题: 共70分 ‎17.在中，内角、、所对的边分别为、、.已知.‎ ‎⑴求证：、、成等差数列；‎ ‎⑵若，，求和的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到，再利用正弦定理证得，从而证明结论成立；‎ ‎（2）利用余弦定理，再由（1），联立求得的值；由正弦定理求得，再利用倍角公式求得的值.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以.‎ 由于在中，，所以，‎ 所以.‎ 由正弦定理，得.‎ 所以成等差数列.‎ ‎（2）在中，，‎ 由余弦定理，得,‎ 即.‎ 由（1）知，所以，解得.‎ 由正弦定理，得.‎ 在中，因为于，所以，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求的值时，注意角这一条件的应用.‎ ‎18.棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.‎ ‎（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）求、的值.‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，随机变量的数学期望为；（2）证明见解析；‎ ‎（3），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出随机变量的可能取值有、、、，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，可列出随机变量的分布列，由此计算出随机变量的数学期望；‎ ‎（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在该等式两边同时减去，可得出所证等式成立；‎ ‎（3）结合（1）、（2）可得，利用累加法求出数列的通项公式，从而可求出和的值.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、.‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 所以，随机变量的数学期望为；‎ ‎（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为 ，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.‎ 等式两边同时减去得；‎ ‎（3）由（2）可得，，.‎ 由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，则，‎ 由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.‎ ‎【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，侧棱底面,底面是正三角形,‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析,(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 在线段上取一点.使.连结.利用线段成比例定理可以证明出线线平行以及数量关系,根据平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理可以证明出本问；‎ ‎(2) 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可以求出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】(1)证明:在线段上取一点.使.连结.‎ 在中.因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以，且,‎ 因为.‎ 所以,‎ 所以且,‎ 故四边形为平行四边形,所以,‎ 又平面平面,‎ 所以平面.‎ ‎(2)以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 因为底面是正三角形，,‎ 所以点,‎ 则,‎ 设平面的法向量为.‎ 由,‎ 令.得平面的一个法向量为,‎ 又,‎ 设直线与平面BCF所成角的大小为.‎ 则,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用平行四边形的性质证明线面平行,考查了利用空间向量求线面角,考查了数学运算能力.‎ ‎20.近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部名幼儿中随机抽取人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为,‎ ‎(1)请将下面的列联表补充完整;‎ 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 ‎25‎ 女 ‎20‎ 合计 ‎100‎ ‎(2)能否在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;‎ ‎(3)已知在患伤风感冒疾病的名女性幼儿中,有名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的名女性中,选出名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为,求的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:‎ 参考公式：，其中 ‎【答案】(1)见解析,(2) 不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)分布列见解析,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据在全部名幼儿中随机抽取人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为,可以求出患伤风感冒疾病的幼儿的数量，这样可以补充完成列联表；‎ ‎(2)代入公式求出的值，根据所给的表写出结论；‎ ‎(3) 根据题意,的值可能为.分别求出相应的概率值，列出分布列，计算出数学期望即可.‎ ‎【详解】(1)列联表补充如下;‎ 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 女 合计 计算的观测值为,‎ 所以不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.‎ ‎(3)根据题意,的值可能为.‎ 则,,‎ 故的分布列如下：‎ 故的数学期望：.‎ ‎21.已知函数，，其中是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ），使得不等式成立，试求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一问根据题意将问题转化为在区间上的最大值小于等于在区间上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果．‎ 试题解析：（Ⅰ） 由题意，，使得不等式成立，‎ 等价于．1分 ‎，‎ 当时，，故在区间上单调递增，‎ 所以时，取得最大值1．即 又当时，，‎ 所以在上单调递减，所以，‎ 故在区间上单调递减，因此，时，．‎ 所以，则．‎ 实数的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）当时，要证，只要证，‎ 即证，由于，‎ 只要证．‎ 下面证明时，不等式成立．‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ 所以当且仅当时，取最小值为1．‎ 法一：，则，即，即，‎ 由三角函数的有界性，，即，所以，而，‎ 但当时，；时，‎ 所以，，即 综上所述，当时，成立．‎ 法二：令，其可看作点与点连线的斜率，‎ 所以直线的方程为：，‎ 由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，‎ 当直线与圆相切且切点在第二象限时，‎ 直线取得斜率的最大值为．而当时，；‎ 时，．所以，，即 综上所述，当时，成立．‎ 法三：令，则，‎ 当时，取得最大值1，而，‎ 但当时，；时，‎ 所以，，即 综上所述，当时，成立．‎ 考点：等价转化的思想，恒成立问题的解决方法．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的参数方程（为常数）和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与交于，两点，且，求倾斜角的值．‎ ‎【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接写出直线的参数方程，将曲线的极坐标方程化为，再将代入上式即可得解；‎ ‎（2）把直线的参数方程代入中，得，‎ 由一元二次方程根与系数的关系得:，再根据直线的参数方程中参数的几何意义，得，求出的值即可.‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），‎ 曲线： ，即，‎ 将代入上式得曲线的直角坐标方程为：；‎ ‎（2）把直线的参数方程代入中，得 ‎，‎ 设，对应的参数分别为，‎ 由一元二次方程根与系数的关系得:，‎ 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得，得或.‎ 又，所以.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其参数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；‎ ‎（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得，再由，展开利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ ‎ 或 或 ‎ ‎ ,不等式解集为.‎ ‎（Ⅱ） ,‎ ‎ ,‎ 又,,‎ ‎ , ,‎ 当且仅当 即时取等号,所以.‎ ‎【点睛】绝对值不等式常见解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎