【数学】2018届一轮复习人教A版2-1函数及其表示学案

【数学】2018届一轮复习人教A版2-1函数及其表示学案

第01节 函数及其表示 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1. 函数的基本概念 ‎1．了解函数、映射的概念，会求简单的函数的定义域和值域。‎ ‎2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。‎ ‎2013·浙江文11;‎ ‎2014•浙江文7,15；理6,15; ‎ ‎2015•浙江文12；理10; ‎ ‎2016•浙江文12;‎ ‎1.分段函数的应用 ‎2.函数的概念 ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 理解函数的概念、函数的表示方法；‎ ‎(2) 以分段函数为背景考查函数的相关性质.‎ ‎2. 分段函数以及应用 ‎3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题。‎ ‎2014·浙江文理15;‎ ‎2015•浙江文12, 理10;‎ ‎2016•浙江理18;‎ ‎【知识清单】‎ 1. 函数与映射的概念 函数 映射 两个集合 A，B 设A，B是两个 非空数集 设A，B是两个 非空集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 对点练习：‎ 设集合，，试问：从A到B的映射共有几个？‎ ‎【答案】 ‎ ‎2.函数的定义域、值域 ‎(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.‎ ‎(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.‎ 对点练习：‎ 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ ‎【答案】B ‎【解析】　A中函数定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2]. ‎ ‎3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.‎ 对点练习：‎ 若函数满足关系式，则的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为函数满足关系式，所以，用代换，可得，联立方程组可得，故选A．‎ ‎4.分段函数 ‎(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.‎ ‎(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.‎ 对点练习：‎ ‎【2017届湖南郴州监测】已知，则使成立的值是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 映射与函数的概念 ‎【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②是函数；③函数的图象是一条直线；④与是同一个函数．其中正确的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足的不存在，所以②不正确．③中的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中与的定义域不同，∴④也不正确．故选. ‎ ‎【1-2】设集合，则下列对应中不能构成到的映射的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合 中没有元素与之对应，所以对应不是到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射，故选B．‎ ‎【1-3】下列两个对应中是集合 到集合 的函数的有________________．（写出符合要求的选项序号）‎ ‎（1）设 ，，对应法则 ；‎ ‎（2）设 ，，对应法则 ；‎ ‎（3）设 ， 对应法则 除以 所得的余数；‎ ‎（4） ，对应法则 ．‎ ‎【答案】（1） （3）‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合中元素的任意性，集合中元素的唯一性”．‎ ‎2. 判断一个对应f：A→B是否为函数，一看是否为映射；二看，是否为非空数集．若是函数，则是定义域，而值域是的子集．‎ ‎3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】下列函数中，与函数的定义域相同的函数为(　　)‎ A．　　　　B． C．y＝xex D．y＝ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域是，而的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，的定义域为(0，＋∞)，y＝xex的定义域为R，y＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.‎ ‎【变式二】在下列图形中，表示y是x的函数关系的是________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】由函数定义可知，自变量对应唯一的值，所以③④错误，①②正确．‎ ‎【变式三】已知函数的值域为，则定义域为 .‎ ‎【答案】‎ 考点2 求函数的解析式 ‎【2-1】已知f(x)是一次函数，且满足‎3f(x＋1)－‎2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，‎ 则‎3f(x＋1)－‎2f(x－1)＝3ax＋‎3a＋3b－2ax＋‎2a－2b ‎＝ax＋‎5a＋b，‎ 即ax＋‎5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，‎ ‎∴解得∴f(x)＝2x＋7. ‎ ‎【2-2】已知，求 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(换元法)设，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴ .‎ ‎【2-3】定义在内的函数满足，求 ‎ ‎【答案】，‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．‎ ‎2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．‎ ‎3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．‎ ‎4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．‎ ‎5.应用题求解析式可用待定系数法求解．‎ ‎6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ ‎【答案】B ‎【变式二】已知f＝x2＋，则f(x)＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（配凑法）　(1)f＝x2＋＝－2，‎ 又x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，‎ ‎∴‎ 考点3 分段函数及其应用 ‎【3-1】【2017东营模拟】设函数f(x)＝则f(f(3))等于(　　)‎ A. B．3‎ C. D． ‎【答案】D ‎【解析】由题意知f(3)＝≤1，f＝2＋1＝，∴f(f(3))＝f＝.‎ ‎【3-2】已知函数，若，则实数a的值为(　　)‎ A．－3 B．－3或1‎ C．1 D．－1或3‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，当a＞0时，lg a＝0，a＝1.‎ 当a≤0时，a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.‎ ‎【3-3】【2014浙江高考理第15题】设函数若，则实数的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ 解得，或，故．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．‎ ‎2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017江西师范附属3月模拟】已知函数，若 ‎，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当即时, ,解得，‎ 则；‎ 当即时, ，解得，舍去. ∴.‎ ‎【变式二】【2017广州调研】定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(3)的值为(　　)‎ A．－4 B．2‎ C．log213 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知函数 且），则的值域是 ( )‎ A． B． C． D．‎ 易错分析：本题易忽视定义域的重要作用，误选.‎ 正确解析：由已知得函数的定义域为,则,,,‎ ‎,所以函数的值域为.故正确答案为.‎ 温馨提醒：函数三要素是指定义域、值域、对应法则.当函数的定义域、对应法则确定后，其值域也随之确定.‎ ‎【数学素养提升之思想方法篇】‎ 分段函数求值妙招——分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．‎ 分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点：‎ ‎(1)明确分段函数的分段区间．‎ ‎(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．‎ ‎(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．‎ ‎【典例】已知实数，函数，若，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ 符合题意.故. ‎