2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二6月月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二6月月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二6月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设集合 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求出集合A，求函数的定义域得出集合B，再根据定义写出.‎ ‎【详解】‎ 集合 ，‎ ‎，‎ 则，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题所考查的是有关集合的运算，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，对数型函数的定义域的求法，以及集合的交集的定义，属于简单题目.‎ ‎2．已知为虚数单位，实数，满足，则（ ）‎ A． 4 B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得.‎ 得，解得 所以.‎ 故选D.‎ ‎3．下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是 (　　 )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据函数奇偶性的定义，判断函数是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题的结果.‎ ‎【详解】‎ 对于A项，是偶函数，但其在上单调递增，不合题意；‎ 对于B项，是奇函数，不合题意；‎ 对于C项，是偶函数，且当时，在上单调递减，符合题意；‎ 对于D项，，不是偶函数，递增，不合题意；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数奇偶性的定义以及所学的初等函数的单调区间，以及复合函数的单调性法则，在解题的过程中，需要逐项验证，即可求得结果.‎ ‎4．第十九届东北医疗器械展览将于2018年6月18至20日在哈尔滨举行,现将5名志愿者分配到4个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为 （ ）‎ A． 480 B． 240 C． 180 D． 150‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析将5人分成满足题意的4组有1，1,1,2，计算可得分成1,1,1,2时的分组情况种数，进而相加可得答案.‎ ‎【详解】‎ 将5个人分成满足题意的4组有1,1,1,2这一种情况，‎ 分成1,1,1,2时，有种分法；‎ 所以共有种方案，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关排列组合的综合题，在解题的过程中，需要明确解题的步骤是先组合后排列，5个人分到4‎ 个地方，每个地方都得有人，所以应该有两个人是作伴的，理清思路是解题的关键.‎ ‎5．“”是“”的 (　 　)‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据分式不等式的解法以及根据指数函数的单调性求解指数型不等式的解，之后从集合的包含关系来判断充分必要性即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由可得，解得，‎ 由可得，解得，‎ 根据，所以“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要明确从集合的角度如何处理，掌握当A是B的真子集时，A是B的充分不必要条件，同时B是A的必要不充分条件，从而得到结果.‎ ‎6．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为 （ ）‎ A． 28 B． 56 C． 84 D． 120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的条件，结合对应的程序框图，逐步模拟运行，可以求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,不满足,‎ ‎,不满足,‎ ‎,不满足,‎ ‎,不满足,‎ ‎,不满足,‎ ‎,不满足,‎ ‎,满足,‎ 输出,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关程序框图读取结果的问题，在解题的过程中，需要逐步模拟运行，即可求得结果.‎ ‎7．已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图： 四棱锥的一个侧面 与底面 垂直，过 作 ，垂足为， 底面 底面为边长为2的正方形， ∴几何体的体积 ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键．‎ ‎8．将函数图象向左平移个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果.‎ ‎【详解】‎ 将函数图象向左平移个单位长度，可得,‎ 即,令,解得,‎ 则平移后图像的对称轴方程为,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果.‎ ‎9．已知的展开式中的系数为，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】（1﹣ax）（1+x）5=（1+ax）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），‎ 其展开式中含x2项的系数为10﹣5a=5，解得a=1．故选A.‎ ‎10．函数定义域为，值域为，则实数取值范围是 (　 　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为对称轴为,对应函数值为；所以;当时,因此,综合可得的取值范围是，选C.‎ ‎11．定义在上的函数满足， ，且 时， ，则（ ）‎ A． 1 B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由，因为，所以， ，所以.故选C.‎ ‎【考点】本题考查函数的奇偶性，周期性 点评：解决本题的关键是由已知条件求出其周期，利用周期性、奇偶性求出函数值 ‎12．已知双曲线（， ）的左右焦点分别为， ，点在双曲线的左支上， 与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，设， ，则 ‎ 由双曲线的定义可知且 ‎ 解得，‎ ‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎ 即，‎ 所以，故选D．‎ 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为_______________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，解得，‎ 故函数的定义域是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关求函数的定义域的问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有偶次根式要求被开方式大于等于零，对数式要求真数大于等于零，列不等式组求解即可.‎ ‎14．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件知在上是减函数，，所以原不等式可变成 ‎，或，根据的单调性解这两个不等式组即得原不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 原不等式变成：（1），或（2），‎ 因为是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数；‎ 又，所以，‎ 所以有，解得，‎ 或，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数的奇偶性与函数的单调性的综合题，在解题的过程中，需要利用题中所给的条件，结合偶函数图像的对称性，得到函数在相应区间上的函数值的符号，之后将分式不等式转化，得到结果.‎ ‎15．设,当实数满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则的值是___________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由，得，因为，所以目标函数的斜率，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值，‎ 此时，‎ 由，解得，即，‎ 同时，A也在直线上，代入得，解得，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关简单的线性规划的问题，在解题的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后分析目标函数的特征，目标函数的类型分三类：截距型、距离型和斜率型，根据题中条件，正确解出结果即可.‎ ‎16．已知命题.若是真命题，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先写出命题p的否定，之后问题等价于能成立，再构造新函数，向最值靠拢，应用导数求出函数在对应区间上的最大值，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定是：，，所以能成立，‎ 令，则，‎ 令，得，并且可以得出在上单调增，在上单调减，‎ 所以的最大值也就是极大值为，所以，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关命题的否定，涉及到的知识点有全称命题的否定是特称命题，之后构造新函数，应用导数求得对应函数的最大值，求得结果.‎ 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中，曲线的方程为,以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出的极坐标方程，并求与的交点，的极坐标；‎ ‎（2）设是椭圆上的动点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）1‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用,把一般方程化为极坐标方程,解方程组求出交点坐标；(2)设出点的参数坐标,用点到直线的距离求出边上的高,用面积公式求出的面积,再算出最大值．‎ 试题解析:（1）因为，所以的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，联立方程组，解得或，所以点的极坐标分别为．‎ ‎（2）因为是椭圆上的点，设点的坐标为，则到直线的距离为，所以，‎ 当时，取得最大值．‎ ‎【考点】1．普通方程化为极坐标方程；2．点到直线距离公式．‎ ‎18．已知正项等比数列的前项和为，且，.‎ ‎（1)求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题中所给的条件,结合数列前n项和的特征，以及数列的通项公式，化简得到关于该数列的公比q的等量关系式，利用正项数列，作出取舍，进一步求得数列的首项，从而得到其通项公式；‎ ‎(2)利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，‎ 所以或（舍去）.又，故，‎ 所以数列的通项公式为. ‎ ‎（2）由（1）知，∴，①‎ ‎∴，②‎ ‎②①得，∴.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，项与和之间的关系，以及错位相减法求和，属于中档题目，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.‎ ‎19．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.‎ ‎（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；‎ ‎（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析， .‎ ‎【解析】试题解析:‎ ‎（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则 所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为 ‎（2）的可能取值为0，10，20，30， ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 所以， 的数学期望 ‎20．如图，三棱柱中，侧面 底面，‎ ‎,且,O为中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等腰三角形的特征以及面面垂直的性质，证得结果；‎ ‎（2）鉴于线面角的平面角不易作出，建立空间直角坐标系，应用空间向量来解决.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为，且O为AC的中点，所以又由题意可知，平面平面，交线为，平面，‎ ‎ 所以平面 ‎ ‎（2）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．‎ 由题意可知，又;．‎ 所以得:‎ 则有：‎ 设平面的一个法向量为，则有 ‎，令，得 所以 因为直线与平面所成角 和向量与所成锐角互余，所以 ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，面面垂直的判定以及线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，需要熟练应用空间向量解决问题.‎ ‎（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况 在300M∽400M之间，求的期望；‎ ‎（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；‎ ‎（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关 关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：‎ 折扣 ‎1折 ‎2折 ‎3折 ‎4折 ‎5折 销售份数 ‎50‎ ‎85‎ ‎115‎ ‎140‎ ‎160‎ 试建立关于的的回归方程.‎ 附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎， ‎ ‎【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ) .‎ ‎【解析】试题分析：（I）直接根据二项分布的期望公式求解即可；（II）根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意， ∽，故； ‎ ‎（Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为； ‎ ‎（Ⅲ)由题意可知， ‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 所以， 关于的回归方程为： .‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎22．设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.‎ ‎（1)求抛物线的方程及椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的方程为，运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得，进而得到椭圆的方程；再由焦点坐标可得，进而得到抛物线的方程；‎ ‎（2）记，运用向量共线的坐标表示和联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，及基本不等式，即可得到所求范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设椭圆的标准方程为，由题意得，解得 ‎∴椭圆的方程为 ‎∴点的坐标为，∴，∴抛物线的方程是 ‎ ‎(2)由题意得直线的斜率存在，设其方程为，‎ 由消去整理得（）∵直线与抛物线交于两点，∴，设，则①，②，‎ ‎∵，∴∴，③‎ 由①②③消去得.‎ ‎∴ ，即 ，将代入上式得， ‎ ‎，∵在上单调递减，‎ ‎∴，即，∴ ，‎ ‎∴，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关抛物线的简单性质，涉及到的知识点有椭圆方程的求解方法，直线与抛物线的综合问题，在解题的过程中，需要对基础知识牢固掌握，正确使用相关公式是解题的关键.‎