2020版高中数学 第3章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法 3

2020版高中数学 第3章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法 3

‎3.3　一元二次不等式及其解法 ‎1.掌握一元二次不等式的解法.(重点)‎ ‎2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.(难点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理1　一元二次不等式的概念 阅读教材P74～P74倒数第四行，完成下列问题.‎ ‎1.一元二次不等式的概念 一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.‎ ‎2.一元二次不等式的一般形式 ‎(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).‎ ‎(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).‎ ‎(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).‎ ‎(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).‎ ‎3.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.‎ 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)mx2－5x<0是一元二次不等式.(　　)‎ ‎(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.(　　)‎ ‎(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解.(　　)‎ ‎(4)x2－>0为一元二次不等式.(　　)‎ ‎【解析】　(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；‎ 当m≠0时，它是一元二次不等式.‎ ‎(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.‎ 9‎ ‎(3)√.因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立.故该说法正确.‎ ‎(4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有，故该说法错误.‎ ‎【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ 教材整理2　一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系 阅读教材P74倒数第三行～P78练习A以上内容，完成下列问题.‎ 三个“二次”的关系：‎ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－‎‎4ac 判别式 Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 求方程 f(x)＝0‎ 的解 有两个不等 的实数解 x1，x2‎ 有两个相等 的实数解 x1＝x2‎ 没有 实数解 解不等式f(x)＞0或 f(x)＜0的 步骤 画函数y＝f(x)‎ 的示意图 得等的集不式解 f(x)‎ ‎＞0‎ ‎{x|x＜x1_‎ 或x＞x2}‎ R f(x)‎ ‎＜0‎ ‎{x|x1＜‎ x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎1.不等式x2≤1的解集为________.‎ ‎【解析】　令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}.‎ ‎【答案】　{x|－1≤x≤1}‎ ‎2.不等式2x≤x2＋1的解集为________.‎ ‎【解析】　2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，‎ ‎∴x∈R.‎ ‎【答案】　R ‎3.设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________.‎ ‎【解析】　因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|06；‎ ‎(2)4x2－4x＋1≤0；‎ ‎(3)－x2＋7x>6.‎ ‎【精彩点拨】　‎ ‎【自主解答】　(1)由x2－5x>6，得 x2－5x－6>0.‎ ‎∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.‎ ‎∴原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}.‎ ‎(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，‎ 方程(2x－1)2＝0的根为x＝.‎ ‎∴4x2－4x＋1≤0的解集为.‎ ‎(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，‎ 而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.‎ ‎∴不等式x2－7x＋6<0的解集为 ‎{x|10；‎ ‎(2)－x2＋3x－5>0；‎ ‎(3)(5－x)(x＋1)≥0.‎ ‎【解】　(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，‎ 函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，‎ 与x轴无交点.‎ ‎∴原不等式的解集为R.‎ ‎(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，‎ ‎∵Δ＝62－40＝－4<0，‎ ‎∴原不等式的解集为∅.‎ ‎(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，‎ ‎∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.‎ 解含参数的一元二次不等式 ‎　解关于x的不等式x2－ax－‎2a2<0(a∈R).‎ ‎【精彩点拨】　→→ ‎【自主解答】　原不等式转化为(x－‎2a)(x＋a)<0.‎ 对应的一元二次方程的根为x1＝‎2a，x2＝－a.‎ ‎(1)当a>0时，x1>x2，‎ 不等式的解集为{x|－a0时，{x|－a0、y<0、y＝0时x 9‎ 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？‎ ‎【提示】　y＝x2－2x－3的图象如图所示.‎ 函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－10(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式.‎ 探究2　方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？‎ ‎【提示】　方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}.‎ 不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根.这说明：‎ 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x10的解集为{x|20的解集.‎ ‎【解】　由题意知 即 代入不等式cx2－bx＋a>0，‎ 得6ax2＋5ax＋a>0(a<0).‎ 即6x2＋5x＋1<0，‎ 解得－0的解集为{x|－12(x－1).‎ ‎【解】　(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4.‎ 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.‎ ‎(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，‎ 9‎ 因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，‎ 所以原不等式的解集为R.‎ 9‎