北京市石景山区2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

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高三数学试题第 1页（共 17页） 石景山区 2020—2021学年第一学期高三期末试卷 数 学 本试卷共 8页，满分为 150分，考试时间为 120分钟．请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡． 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题共 10小题，每小题 4 分，共 40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项． （ 1 ）已知集合  1,2,3A  ，  1,0,2,3B   ，则 A B  （A） 0,1,2 （B） 0,2 （C）{2,3} （D） 1,0,1,2,3 （ 2 ）复数 2(1 i)  （A） 0 （B）1 （C） 2i （D） 2i （ 3 ） 5( 1)x  的展开式中 x的系数为 （A） 1 （B）5 （C）10 （D）15 （ 4 ）某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 （A） 1 6 （B） 1 3 （C） 2 3 （D） 2 （ 5 ）若抛物线 2 4y x 上的点 A到焦点的距离为 10，则点 A到 y轴的距离是 （A） 6 （B）7 （C）8 （D）9 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 2 1 1 1 高三数学试题第 2页（共 17页） （ 6 ）“ π  ”是“函数 sin( )y x   为奇函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （ 7 ）直线 : 1l y kx  与圆 2 2: ( 1) 4C x y   的位置关系是 （A） 相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定 （ 8 ）等差数列{ }na 的首项为 1，公差不为 0，若 1 2 4, ,a a a 成等比数列，则{ }na 前 5项的和为 （A）10 （B）15 （C） 21 （D） 28 （ 9 ）已知函数 2 , 0, ( ) , 0, x x f x x x     ≥  则函数 | |( ) 2 xy f x  的零点个数是 （A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3 （10）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法 画出：如图，在黄金矩形 ABCD（ 5 1 2 AB BC   ）中作正方形 ABFE，以F 为圆心， AB长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE长 为半径作圆弧EG；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线． 记圆弧BE ，EG，GI 的长度分别为 , ,l m n，对于以下四个命题： ① l m n  ② 2m l n  ③ 2m l n  ④ 2 1 1 m l n   其中正确的是 （A） ①② （B）①④ （C）②③ （D）③④ 高三数学试题第 3页（共 17页） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分． （11）函数 ( ) 1 lnf x x x   的定义域为__________． （12）已知平面向量 (2,1)a ， (4, )yb ，且 ∥a b，则实数 y  __________． （13）已知双曲线C的两个焦点为    3,0 , 3,0 ，一个顶点是  6,0 ，则C的标准方程 为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________． （14）若函数 π( ) sin( ) cos( ) 3 f x x x    的一个周期是 π，则常数的一个取值可以为 __________． （15）从 4G到 5G通信，网络速度提升了 40倍．其中，香农公式 2log (1 )SC W N   是 被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最 大信息传递率C取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率 S、信道内部的高 斯噪声功率 N的大小，其中 S N 叫做信噪比． 根据香农公式，以下说法正确的是__________．（参考数据： lg5 0.6990 ） ①若不改变信噪比 S N ，而将信道带宽W 增加一倍，则C增加一倍； ②若不改变信道带宽W 和信道内信号的平均功率 S，而将高斯噪声功率 N降低 为原来的一半，则C增加一倍； ③若不改变带宽W ，而将信噪比 S N 从 255提升至 1023，C增加了 25%； ④若不改变带宽W ，而将信噪比 S N 从 999提升至 4999，C大约增加了 23.3%． 高三数学试题第 4页（共 17页） 三、解答题共 6小题，共 85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题 13分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方形， PA 平面 ABCD， ,M N 分别为棱 ,PD BC的中点， 2PA AB  ． （Ⅰ）求证：MN∥平面 PAB； （Ⅱ）求直线 MN与平面 PCD所成角的正弦值． （17）（本小题 13分） 在 ABC△ 中， 2c  ， 30C  ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一 个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： （Ⅰ） a的值； （Ⅱ） ABC△ 的面积． 条件①： 2 3b a ； 条件②： 45A  ； 条件③： 2 3b  . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 高三数学试题第 5页（共 17页） （18）（本小题 14分） 在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的 方法，从全校学生中抽取容量为 200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评 分，满分为 100分．调查结果显示：最低分为 51分，最高分为 100分．随后，兴趣小组 将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图， 图表如下： 为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应 关系如下： 分数 [50,  60） [60,  70） [70,  80） [80,  90） [90, 100] 满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 （Ⅰ）求 a的值； （Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50,70）的男生中随机抽取 3人进行座谈， 记这 3人中对食堂“不满意”的人数为 X，求 X的分布列； （Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂 “比较满意”的概率． 分数区间 频数 [50, 60） 3 [60, 70） 3 [70, 80） 16 [80, 90） 38 [90, 100] 20 男生评分结果的频数分布表 组距 频率 0.005 0.040 50 60 70 80 90 a 100 0.020 分数0 女生评分结果的频率分布直方图 高三数学试题第 6页（共 17页） （19）（本小题 15分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的离心率 3 2 e  ，且经过点 (0,1)D ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点 ( 1,0)A  和点 ( 4,0)B  ，过点 B的动直线 l交椭圆C于 ,M N 两点（M 在 N左 侧），试讨论 BAM 与 OAN 的大小关系，并说明理由． 高三数学试题第 7页（共 17页） （20）（本小题 15分） 设函数 1( ) ln ,f x a x a x   R ． （Ⅰ）设 l是 ( )y f x 图象的一条切线，求证：当 0a  时，l与坐标轴围成的三角形的面 积与切点无关； （Ⅱ）若函数 ( ) ( )g x f x x  在定义域上单调递减，求 a的取值范围． 高三数学试题第 8页（共 17页） （21）（本小题 15分） 对于数列{ }na ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{ }na 为 P 数列． （Ⅰ）数列{ }na 为 1,1,3,5,7 ，数列{ }nb 为 1 1 11, , , 2 4 8   ．判断数列{ }na ，{ }nb 是否为P数列， 并说明理由； （Ⅱ）设数列{ }na 是首项为 2的 P数列，其前 n项和为 nS （ *nN ）． 求证：当 2n≥ 时， 2nnS  ； （Ⅲ）设无穷数列{ }na 是首项为 a（a>0），公比为 q的等比数列，有穷数列{ }nb ，{ }nc 是 从{ }na 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 1T ， 2T ． 若 1 2T T ．判断{ }na 是否为 P数列，并说明理由． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 高三数学试题第 9页（共 17页） 石景山区 2020—2021学年第一学期高三期末 数学试卷参考答案 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 4分，共 40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C D A B B C A 二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 5分，共 25分． （11） (0, ) ； （12） 2； （13） 2 2 1 6 3 x y   ， 3； （14）2；（答案不唯一） （15）①③④． 三、解答题：本大题共 6个小题，共 85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． （16） （本小题 13分） 解：（Ⅰ）在四棱锥 P ABCD 中， 取 PA的中点 E，连接 EB、 EM ， 因为 M 是 PD的中点， 所以 EM∥ AD，且 1 2 EM AD . 又因为 底面 ABCD是正方形， N是 BC的中点， 所以 BN AD∥ ，且 1 2 BN AD . 所以 EM ∥= BN . 所以 四边形MNBE是平行四边形. 所以 MN EB∥ . 由于 EB 平面 PAB， MN 平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB . N M P D A B C E 高三数学试题第 10页（共 17页） 高三数学试题第 11页（共 17页） （II）因为 底面 ABCD是正方形，所以 AB  AD . 又因为 PA 平面 ABCD . 所以以点 A为坐标原点， AB、 AD、 AP分别为 x、 y、 z轴， 如图建立空间直角坐标系. (0,0,0)A ， (2,2,0)C ， (0,2,0)D , (0,0,2)P ， (0,1,1)M , (2,1,0)N . (2,2, 2), ( 2,0,0),PC CD       设平面 PCD的法向量为 ( , , )m x y z  . 有： 0, 0, m PC m CD           即 0, 0, x y z x      令 1y  ，则 =1z ， 所以 (0,1,1)m   . (2,0, 1)MN    . 设直线MN 与平面 PCD所成角为 . 有： sin cos ,MN m    = MN m MN m       0 2+1 0+1 1 10= = 102 5     （-） . 所以 直线MN 与平面 PCD所成角的正弦值为 10 10 . （17）（本小题 13分） 选择条件①： 2 3b a 解：（Ⅰ）在 ABC△ 中， 因为 2 3b a ， 所以 3 2 b a . 因为 2c  , 30C   . 根据余弦定理： 2 2 2 cos 2 a b cC ab    ，得 2 23( ) 4 32cos30 = = 232 2 a a a a     ， 整理，得 2 16a  ， 由于 0a  ， N M P DA B C x y z 高三数学试题第 12页（共 17页） 所以 =4a . （Ⅱ）由（I）可知， 3 2 3 2 b a  . 因为 4a  ， 2c  ， 所以 2 2 2a b c  . 所以 =90A . 因此， ABC△ 是直角三角形. 所以 1 1 2 3 2 2 3 2 2 S bc     . 选择条件②： 45A   . 解：（Ⅰ）在 ABC△ 中， 因为 45A   , 30C   , =2c . 根据正弦定理： sin sin a c A C  ， 所以 22sin 2sin 45 2= 2 2 1sin sin30 2 c Aa C      . （Ⅱ）在 ABC△ 中， 因为 sin sin( )B A C  . 所以 sin sin(30 45 )=sin30 cos45 cos30 sin 45B          6+ 2= 4 . 所以 1 sin 2 S ac B 1 6+ 2= 2 2 2 = 3+1 2 4    . 选择条件③：不给分 （18）（本小题 14分） 解：（Ⅰ）因为 0.005+ 0.020 0.040 0.020) 10 1a     （ ， 所以 0.015a  . （Ⅱ）依题意，随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3 . 0 3 3 3 3 6 1( 0) 20 C C P X C     ； 1 2 3 3 3 6 9( 1) 20 C C P X C     ； 2 1 3 3 3 6 9( 2) 20 C C P X C     ； 3 0 3 3 3 6 1( 3) 20 C C P X C     . 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 高三数学试题第 13页（共 17页） （Ⅲ）设事件 =A “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”. 因为样本人数 200人，其中男生共有80人， 所以样本中女生共有120人. 由频率分布直方图可知， 女生对食堂“比较满意”的人数共有：120 0.020 10=24  人. 由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人, 24 16 1 200 5   . 所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为 1( ) 5 P A  . （19）（本小题 15分） 解：（Ⅰ）由已知 1b  ， 3 2 ce a   ， 又 2 2 2a b c  ，解得 2, 1a b  . 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y  . （Ⅱ）依题意设直线 l的方程为 ( 4)y k x  ，设 1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y . 联立 2 2 4 ( 4), 1, y k x y x         消去 y，得 2 2 2 2(4 1) 32 64 4 0k x k x k     ， 则 216(1 12 ) 0k    ，解得 3 3 6 6 k   . （*） 则 2 1 2 2 32 4 1 kx x k     ， 2 1 2 2 64 4 4 1 kx x k    . 若 1 1x   ，则 1 3 2 y   ， 3 6 k   与（*）式矛盾，所以 1 1x   . 同理 2 1x   . 所以直线 AM 和 AN 的斜率存在，分别设为 AMk 和 ANk . 因为 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 4) ( 4) 3 32 1 1 1 1 1 1AM AN y y k x k x k kk k k x x x x x x                 P 1 20 9 20 9 20 1 20 高三数学试题第 14页（共 17页） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 2 2 2 2 3 ( 2) 3 ( 2)2 2 ( 1)( 1) 1 323 ( 2) 3 ( 24 2)1 42 2 0 64 4 32 36 31 1 4 1 4 k x x k x xk k x x x x x x kk k kkk k k k k k k                             所以 AM ANk k  . 所以 BAM  OAN . （20）（本小题 15分） 解：（Ⅰ）当 0a  时， 1( ) , 0f x x x   ， 2 1( )f x x    ， 设 ( )f x 图象上任意一点 0 0 1( , )P x x ， 切线 l斜率为 0 2 0 1( )k f x x    . 过点 0 0 1( , )P x x 的切线方程为 02 0 0 1 1 ( )y x x x x     . 令 0x  ，解得 0 2y x  ；令 0y  ，解得 02x x . 切线与坐标轴围成的三角形面积为 0 0 1 2| | | 2 | 2 2 S x x    . 所以 l与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关. （Ⅱ）由题意，函数 ( )g x 的定义域为 (0, ) . 因为 ( )g x 在 (0, ) 上单调递减， 所以 2 1( ) 1 0ag x x x     ≤ 在 (0, ) 上恒成立， 即当 (0, )x  ， 1a x x ≤ 恒成立， 所以 min 1)a x x ≤( 因为当 (0, )x  ， 1 2x x  ≥ ，当且仅当 1x  时取等号. 所以当 1x  时， min 1) 2x x  ( 所以 2a≤ . 所以 a的取值范围为 ( , 2] . 高三数学试题第 15页（共 17页） （21）（本小题 15分） 解：（Ⅰ）数列{ }na 不是 P数列，数列{ }nb 是 P数列. 对于数列{ }na ， 1 1 3 5 7     ，所以数列{ }na 不是 P数列； 对于数列{ }nb ， 1 1 1 1 1 11 , 1 , 1 2 2 4 2 4 8           ，所以数列{ }nb 是 P数列. 高三数学试题第 16页（共 17页） （Ⅱ）由题意知， 1n na S  ，即 1n n nS S S   ，即 1 2n nS S  . 又因为 1 1 2 0S a   ， 所以 0nS  . 所以 当 2n≥ 时， 1 2 1 1 2 1 2nn n n n n S S SS S S S S          命题得证. （Ⅲ）数列{ }na 不是 P数列. 假设数列{ }na 是 P数列，则 2a aq a  得 1q  ， 所以数列{ }na 是单调递增数列，且 0na  ， *nN . ⑴若数列{ }nb 中的元素都在数列{ }nc 中，则 1 2T T ； ⑵若数列{ }nc 中的元素都在数列{ }nb 中，则 1 2T T ； ⑶若数列{ }nb 和数列{ }nc 有部分公共元素，将数列{ }nb 和{ }nc 的公共元素去掉 得到新的数列{ '}nb 和{ '}nc ， 不妨设数列{ '}nb 和{ '}nc 中的最大元素 ma 在数列{ '}nc 中， 则数列{ }na 的前 1m  项和 1m mS a  . 因为 0na  ， *nN ， 所以数列{ '}nb 中的所有项和小于等于 1mS  . 所以数列{ '}nb 中的所有项和小于 ma . 所以 1 2T T . 综上⑴⑵⑶知 1 2T T .与已知 1 2T T 矛盾，所以数列{ }na 不是 P数列. 高三数学试题第 17页（共 17页）