辽宁省辽阳市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

辽宁省辽阳市2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

高三数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出集合，再根据交集的定义，即可得解.‎ ‎【详解】解：因为，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.‎ ‎2.复数上的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到计算虚部得到答案.‎ ‎【详解】，所以的虚部为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.‎ ‎3.若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实轴长得到，再根据渐近线公式得到答案.‎ ‎【详解】∵，∴，∴双曲线的渐近线方程为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题型.‎ ‎4.已知，是两个不同的平面，，，是两条不同的直线，且，，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.‎ ‎【详解】若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.‎ ‎5.一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 这组新数据的平均数为 B. 这组新数据的平均数为 C. 这组新数据的方差为 D. 这组新数据的标准差为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到新数据的平均数为，方差为，标准差为，结合选项得到答案.‎ ‎【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为，方差为，标准差为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.‎ ‎6.设函数若奇函数，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，再根据奇函数的性质，可得到的值，最后代入，可得到答案.‎ ‎【详解】∵是奇函数 ‎．‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.‎ ‎7.第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有10种,再找到《春潮》与《抵达之谜》至少有一部的情况,共有7部,求出概率即可 ‎【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》，（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》）（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为 故选：C ‎【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题 ‎8.将曲线向左平移个单位长度，得到的曲线关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相位变换规则求出变换后的解析式，由曲线关于直线对称，得到关于的关系式，即可求出最小值.‎ ‎【详解】解：由题意，将曲线向左平移个单位长度，‎ 可得，‎ 因为关于直线对称，‎ 所以，所以，则的最小值为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查正弦函数的相位变换，以及正弦函数的对称性，属于基础题.‎ ‎9.已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）‎ A. 16 B. 19 C. 20 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，，成等比数列求解 ‎【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题 ‎10.在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过证明，又，可得中点为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为，再利用球的面积公式求得.‎ ‎【详解】解：因为，，，所以.因为，所以，所以，则的中点为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为，其表面积为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，.若，，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出的值域，与的值域，由，，，可得两值域的包含关系，即可求得参数的取值范围.‎ ‎【详解】解：因为，，所以的值域为.‎ 因为，所以在上的值域为，依题意得，则 解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数方程思想的综合应用，属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设内切圆的半径为，根据题意化简得到，代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】设内切圆的半径为 则，，·‎ ‎∵，∴‎ 整理得.∵为椭圆上的点，∴，解得.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到是解得的关键.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设，满足则则的最小值是______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】解：作出可行域如图所示，‎ 当直线经过点时，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．‎ ‎14.若函数在上为减函数，则的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为导函数在上恒小于零，从而根据恒成立思想求解出的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知，即对恒成立，‎ 所以，所以即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围，难度一般.已知函数为指定区间的单调增(或减)函数，则在指定区间上恒成立.‎ ‎15.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出，结合向量投影的定义即可求解．‎ ‎【详解】解：由等面积法可得，依题意可得，，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量投影定义，属于基础题．‎ ‎16.在数列中，，且.‎ ‎（1）的通项公式为__________；‎ ‎（2）在、、、、这项中，被除余的项数为__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可求出；‎ ‎（2）设，可得出，由为奇数，可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数，求出两种情况下值的个数，相加即可得出答案.‎ ‎【详解】（1）且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ ‎，；‎ ‎（2）被整除且余数为的整数可表示为，‎ 令，可得，‎ ‎，且，则为奇数，‎ 则为的倍数，或者为的奇数倍且为偶数.‎ 当为的倍数时，的取值有：、、、、，共个；‎ 当为的奇数倍且为偶数时，的取值有：、、、、，共个.‎ 综上所述，在、、、、这项中，被除余的项数为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.‎ 购买金额（元）‎ 人数 ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（1）求购买金额不少于45元的频率；‎ ‎（2）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.‎ 不少于60元 少于60元 合计 男 ‎40‎ 女 ‎18‎ 合计 附：参考公式和数据：，.‎ 附表：‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎【答案】（1）（或0.5）；（2）列联表见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据统计表及古典概型的概率计算公式即可计算出不少于45元的频率；‎ ‎（2）完善列联表，计算出跟参考数据比较得出结论.‎ ‎【详解】解：（1）购买金额不少于45元的频率为.‎ ‎（2）列联表如下：‎ 不少于60元 少于60元 合计 男 ‎12‎ ‎40‎ ‎52‎ 女 ‎18‎ ‎20‎ ‎38‎ 合计 ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎，‎ 因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型的概率计算问题，属于基础题.‎ ‎18.在中，角，、的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求的面积.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.‎ ‎（2）化简得到，即，再计算得到 ‎，代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】（1）∵，∴.∵，∴.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，即.‎ ‎∵，∴.∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，，分别为棱，上一点，，且平面.‎ ‎（1）证明：为的中点.‎ ‎（2）若四棱锥体积为，求正方体的表面积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，可证，再由线面平行得到，又，所以四边形为平行四边形，即可得证.‎ ‎（2）设棱长为，易知到平面的距离为，由求出的值，即可求出表面积.‎ ‎【详解】解：（1）证明：取的中点，连接 因为，所以为的中点，又为的中点，所以.‎ 因为平面，平面，平面平面.‎ 所以，即.‎ 又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.‎ ‎（2）设，则，，的面积分别为，，，‎ 易知到平面的距离为，所以，‎ 解得，故所求正方体的表面积为.‎ ‎【点睛】本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.‎ ‎20.已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）当弦最长时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) . (2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案.‎ ‎（2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，‎ ‎，代入计算得到得到答案.‎ ‎【详解】（1）设，，，‎ 则两式相减得.‎ 因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 解得，所以点的坐标为.‎ ‎（2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为，‎ 则，即，所以直线的方程为.‎ 联立得，‎ 则，.‎ 由，可得，‎ 所以.‎ 设，令，‎ 可知，此时，即，‎ 所以当弦最长时，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）用表示，中的最大值，已知，求函数的零点的个数.‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）零点个数为1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出定义域、导函数，对分类讨论，可得单调区间；‎ ‎（2）由当时，，可知函数在上不存在零点，当，分别计算函数值，可知是的零点，由（1）知在上无零点.‎ ‎【详解】解：（1）函数定义域为，且.‎ 当时，对恒成立，所以在上单调递增.‎ 当时，令，得，‎ 当时，；当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）当时，，从而，所以在上无零点.‎ 当时，，，所以是的零点.‎ 当时，，所以在上的零点个数只需要考虑在上的零点个数.‎ 由（1）知，在上单调递减，‎ 所以，从而在上无零点 综上，的零点个数为1.‎ ‎【点睛】本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.‎ ‎（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）由，得，则，即.‎ 因为，，所以.‎ ‎（2）将代入，得.‎ 设，两点对应的参数分别为，，则，.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.‎ ‎（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到 ‎，解不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得，则；‎ 当时，，解得，则.‎ 综上所述：不等式的解集为.‎ ‎（2）‎ ‎，当时等号成立.‎ 若对任意，不等式恒成立，即，‎ 解得或.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎