【数学】2019届一轮复习人教A版第4章平面向量与复数第4课时复数学案

【数学】2019届一轮复习人教A版第4章平面向量与复数第4课时复数学案

第4课时　复　 数(对应学生用书(文)、(理)80 81页)‎ ‎① 理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.‎ ‎② 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算.‎ ‎③ 了解复数的几何意义，了解复数代数形式加、减运算的几何意义．‎ ‎　　能准确用复数的四则运算法则进行复数加减乘除的运算．‎ ‎1. 设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________．‎ 答案：3＋i 解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i.‎ ‎2. (2017·苏北三市(连云港、徐州、宿迁)第三次调研)设a，b∈R，＝a＋bi(i为虚数单位)，则b的值为________．‎ 答案：1‎ 解析：＝＝i，故a＋bi＝i，b＝1.‎ ‎3. 在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是__________．‎ 答案：2＋4i 解析：∵ A(6，5)，B(－2，3)，∴ 线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为 ＝2＋4i.‎ ‎4. 已知i为虚数单位，复数 满足＋4＝3i，则复数 的模为__________．‎ 答案：5‎ 解析： ＝－3－4i，则复数 的模为5.‎ ‎5. 已知▱ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D对应的复数为________．‎ 答案：5－3i 解析：对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，对应复数为 D－(3＋3i)．在▱ABCD中，＝，则 D－(3＋3i)＝2－6i，即 D＝5－3i.‎ ‎1. 复数的概念 ‎(1) 虚数单位i：i2＝－1；i和实数在一起，服从实数的运算律．　‎ ‎(2) 代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．‎ ‎2. 复数的分类 复数 ＝a＋bi(a，b∈R)中，‎ ‎ 是实数⇔b＝0， 是虚数⇔b≠0，‎ ‎ 是纯虚数⇔a＝0，b≠0．‎ ‎3. a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数．‎ ‎4. 复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，且b＝d.‎ 特殊的，a＋bi＝0(a，b∈R)⇔a＝0，且b＝0.‎ ‎5. 设复数 ＝a＋bi(a，b∈R)， 在复平面内对应点为 ，则的长度叫做复数 的模(或绝对值)，即| |＝||＝.‎ ‎6. 运算法则 ‎ 1＝a＋bi， 2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(1) 1± 2＝(a±c)＋(b±d)i；‎ ‎(2) 1· 2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(3) ＝＋i.[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　复数的运算)‎ ‎,　　　　　1)　(1) 已知复数 ＝(2－i)2(i为虚数单位)，则 的共轭复数为__________；‎ ‎(2) 若复数 满足( ＋i)(2＋i)＝5(i为虚数单位)，则 ＝__________；‎ 答案：(1) 3＋4i　(2) 2－2i 解析：(1) ＝3－4i，则 的共轭复数为3＋4i.‎ ‎(2) ＝－i＝2－2i.‎ 变式训练 ‎(1) (2017·苏锡常镇调研(二))已知i为虚数单位，复数 1＝3＋yi(y∈R)， 2＝2－i，且＝1＋i，则y＝________．‎ ‎(2) (2017·南京、盐城一模)设复数 满足 (1＋i)＝2，其中i为虚数单位，则 的虚部为________．‎ 答案：(1) 1　(2) －1‎ 解析：(1) ＝1＋i⇒3＋yi＝(2－i)(1＋i)⇒3＋yi＝3＋i，y∈R⇒y＝1.‎ ‎(2) (1＋i)＝2⇒ ＝1－i，所以虚部为－1.‎ ‎,　　　　　　　　　2　复数的有关概念)‎ ‎,　　　　　2)　(1) 若(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝__________；‎ ‎(2) (2017·第一次全国大联考江苏卷)已知复数(1＋2i) ＝2－i，其中i为虚数单位，则 的共轭复数的模为________．‎ 答案：(1) －3 　(2) 1‎ 解析：(1) ∵ (1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(‎2a＋1)i，‎ ‎∴ a－2＝‎2a＋1，解得a＝－3.‎ ‎(2) ∵ ＝＝－i， ＝i，则| |＝|i|＝1.‎ 本题若用模的性质，则能简化运算：| |＝| |＝||＝＝＝1.‎ 变式训练 ‎(1) 若复数 满足(1＋2i)· ＝3(i为虚数单位)，则复数 的实部为__________；‎ ‎(2) (2017·苏锡常镇调研(一))若复数 满足 ＋i＝(i为虚数单位)，则| |＝________．‎ 答案：(1) 　(2) 解析：(1) 由 ＝＝－i，则复数 的实部为.‎ ‎(2) ∵ ＝－i＝1－3i，∴ | |＝＝.‎ ‎,　　　　　　　　　3　复数的相等)‎ ‎,　　　　　3)　(1) 若复数 满足2 ＋ ＝3－2i，其中i为虚数单位，则 ＝__________；‎ ‎(2) 若复数 满足 (1－i)＝2i(i是虚数单位)， 是 的共轭复数，则 · ＝________．‎ 答案：(1) 1－2i　(2) 2‎ 解析：(1) 设 ＝a＋bi，(a，b∈R)，则由已知得2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，即‎3a＋bi＝3－2i，所以解得 故 ＝1－2i.‎ ‎(2) 因为 ＝＝＝－1＋i，所以 ＝－1－i，所以 · ＝(－1＋i)(－1－i)＝2.‎ 变式训练 ‎(1) 若复数 满足＝i，其中i为虚数单位，则 ＝__________；‎ ‎(2) 已知复数 满足 2＝－4.若 的虚部大于0，则 ＝__________．‎ 答案：(1) 1－i　(2) 2i 解析：(1) 设 ＝a＋bi(a，b∈R)．∵ ＝i，∴ ＝i，∴ a＋bi＝i(1－i)＝1＋i，∴ ＝1＋i，∴ ＝1－i.‎ ‎(2) 设复数 ＝x＋yi，则 2＝x2－y2＋2xyi＝－4, 得x2－y2＝－4，xy＝0，则x＝0，y＝±2.又∵ 的虚部大于0，∴ y＝2，∴ ＝2i.‎ ‎,　　　　　　　　　4　复数的几何意义)‎ ‎,　　　　　4)　(1) 如图，在复平面内，点A对应的复数为 1.若＝i(i为虚数单位)，则 2＝__________；‎ ‎(2) 已知复数 ＝x＋yi，且| －2|＝，则的最大值为__________．‎ 答案：(1) －2－i　(2) 解析：(1) 2＝ 1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.‎ ‎(2) ∵ | －2|＝＝，∴ (x－2)2＋y2＝3.‎ 由图可知＝＝.‎ ‎(1) 若复数 1， 2在复平面内的对应点分别为(1，1)，(0，－2)，则复数 ＝ 1· 2在复平面内的对应点位于第______象限；‎ ‎(2) 满足条件| －i|＝|3＋4i|的复数 在复平面内对应的点的轨迹是________．‎ 答案：(1) 三　(2) 以(0，1)为圆心，5为半径的圆 解析：(1) 由题意， 1＝1＋i， 2＝－2i，则 1＝1－i， 1· 2＝(1－i)·(－2i)＝－2i＋2i2＝－2－2i，即 ＝－2－2i，因而对应点位于第三象限．‎ ‎(2) 因为|3＋4i|＝5，根据复数的几何意义可得．‎ ‎1. (2016·江苏卷)复数 ＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则 的实部是__________．‎ 答案：5‎ 解析：因为 ＝5＋5i，所以 的实部是5.‎ ‎2. 已知复数 ＝(i是虚数单位)，则| |＝__________．‎ 答案： 解析： ＝＝＋i，| |＝＝.‎ ‎3. 设复数 ＝1＋i，若1，对应的向量分别为和，则||＝________．‎ 答案： 解析：＝－＝－1＝(1－i)－1＝－－i，||＝.‎ ‎4. 若 ＝4＋3i，则＝__________．‎ 答案：－i 解析： ＝4＋3i，| |＝5，＝－i.‎ ‎1. 设复数 满足 (1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数 的共轭复数为________．‎ 答案：3－i 解析： ＝＝＝3＋i， 的共轭复数是3－i.‎ ‎2. 设复数 ＝(m＞0，i为虚数单位)，若 ＝，则m的值为________．‎ 答案： 解析： ＝＝＝，它与其共轭复数相等，则其虚部为0.又m>0，所以m＝.‎ ‎3. 已知 ＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)， 1， 2∈C，定义：D( )＝|| ||＝|a|＋|b|，D( 1， 2)＝|| 1－ 2||.给出下列命题：‎ ‎① 对任意 ∈C，都有D( )>0；‎ ‎② 若 是复数 的共轭复数，则D( )＝D( )恒成立；‎ ‎③ 若D( 1)＝D( 2)( 1， 2∈C)，则 1＝ 2.‎ 其中，真命题是________．(填序号)‎ 答案：②‎ 解析：若 ＝0，则D( )＝0，所以①错误；因为D( )＝D(a－bi)＝|a|＋|－b|＝|a|＋|b|＝D( )，所以②正确；设 1＝1＋i， 2＝1－i，则有D( 1)＝D( 2)，但 1≠ 2，所以③错误．‎ ‎4. 若复数 ＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)满足| |＝3，则a的值为________．‎ 答案：± 解析：| |＝＝3，则a＝±.‎ ‎5. 已知集合A＝{1，2 2， i}，B＝{2，4}，i为虚数单位．若A∩B＝{2}，则纯虚数 为________．‎ 答案：－2i 解析：∵ A＝{1，2 2， i}，B＝{2，4}，且A∩B＝{2}．‎ ‎∴ 2 2＝2或 i＝2，解得 ＝±1(舍去)或 ＝－2i(此时2 2＝－8≠4)．则纯虚数 为－2i.‎ ‎1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．‎ ‎2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．‎ ‎3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．‎ ‎[备课札记]‎