【数学】2019届一轮复习人教A版（文）9-5-1椭Բ学案
9.5 椭 圆
最新考纲
考情考向分析
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a
b>0)
＋＝1 (a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
知识拓展
点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( × )
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
题组二 教材改编
2．[P68A组T3]椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8
C．4或8 D．12
答案 C
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3．[P42A组T5]过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，
则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4．[P42A组T6]已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案 或
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
题组三 易错自纠
5．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
答案 C
解析 由方程表示椭圆知
解得－3b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 ∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，
∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，
∴b＝＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.
故选A.
第1课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 A
解析 由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
2．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )
A．2 B．4
C．8 D．2
答案 B
解析 椭圆方程变形为＋＝1，
∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.
3．(2017·承德模拟)椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于( )
A. B.
C. D．4
答案 A
解析 F1(－，0)，∵PF1⊥x轴，
∴P，∴||＝，
∴||＝4－＝.
4．(2017·呼和浩特模拟)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
答案 6＋ 6－
解析 椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
思维升华椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程
典例 (1)(2018·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案 A
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为__________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 方法一 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝
＋，
解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 ∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
跟踪训练设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 D
解析 由题意得，椭圆的右焦点F为(c,0)，上顶点B为(0，b)．因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2经过右焦点F和上顶点B，所以解得b＝c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，解得a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝＝，故选D.
4．(2017·西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|
＝2，则∠F1PF2等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因为＋＝2，O为坐标原点，|＋|＝2，所以|PO|＝，又|OF1|＝|OF2|＝，
所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝.
5．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A．8 B．10
C．12 D．15
答案 D
解析 由椭圆方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，
而＝－，所以||＝|－|，
两边同时平方，得||2＝||2－2·＋||2，
所以||2＋||2＝||2＋2·＝16＋18＝34，
根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64，
所以34＋2|PF1|·|PF2|＝64，
所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.
6．(2017·湖南百校联盟联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵圆O与直线BF相切，∴圆O的半径为，即|OC|＝，∵四边形FAMN是平行四边形，∴点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，
∴5e2＋2e－3＝0，又00，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，
即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，
即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
9．(2017·湖北重点中学联考)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(－，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为________．
答案
解析 联立
两式相减得＝，又a≠b，
所以x2＝y2＝，
故四边形ABCD为正方形，＝，(*)
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，
所以椭圆C的离心率e＝.
10．(2017·湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．
答案
解析 由圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为
d＝＝
＝，
∵－1≤y≤1，∴当y＝－时，d取最大值，
∴P，Q两点间的最大距离为dmax＋＝.
11．(2017·陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意得因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以＝|yP|×2c＝×4×6＝12.
12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
13．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B．2－
C. D.
答案 A
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，
∴椭圆离心率e＝＝－1.
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C
为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，＝________.
答案 3
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
15．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 从椭圆上长轴端点P′向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的∠AP′B最小．
若椭圆C1上存在点P，
所作圆C2的两条切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，
即α＝∠AP′O≤45°，∴sinα＝≤sin45°＝.
又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2≥，即e≥.
又0
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