【数学】2020届一轮复习(文)北师大版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习(文)北师大版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.‎ 知 识 梳 理 ‎1.命题 可以判断真题、用文字或符号表述的语句叫作命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎[微点提醒]‎ ‎1.否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.‎ ‎2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同.‎ ‎3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2+2x-3<0”是命题.(  )‎ ‎(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.(  )‎ ‎(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(  )‎ ‎(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.(  )‎ 解析 (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(选修1-1P5练习引申)命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是(  )‎ A.若α≠,则tan α≠1 B.若α=,则tan α≠1‎ C.若tan α≠1,则α≠ D.若tan α≠1,则α= 解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠”.‎ 答案 C ‎3.(选修1-1P21B2改编)“若a,b都是偶数,则ab必是偶数”的逆否命题为________.‎ 解析 “a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数”,“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”,故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a,b不都是偶数”.‎ 答案 若ab不是偶数,则a,b不都是偶数 ‎4.(2018·天津卷)设x∈R,则“<”是“x3<1”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由<,得0b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.‎ 解析 a>b>c,取a=-2,b=-4,c=-5,‎ 则a+b=-61,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”‎ B.“若am24 x0成立 D.“若sin α≠,则α≠”是真命题 ‎(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.‎ 解析 (1)对于选项A,“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”,A错;‎ 对于B项,若“am23x,C错;‎ 对于D项,原命题的逆否命题为“若α=,则sin α=”是真命题,故原命题是真命题.‎ ‎(2)根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f(x)min=f(0).‎ 答案 (1)D (2)f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一 ,再如f(x)=)‎ 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:‎ ‎(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;‎ ‎(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.‎ ‎2.(1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.‎ ‎(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断.‎ ‎【训练1】 (1)(2018·肇庆一诊)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是(  )‎ A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”‎ B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”‎ C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”‎ D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”‎ ‎(2)命题p:若x>0,则x>a;命题q:若m≤a-2,则ma,则x>0,故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题,所以命题q为真命题,则a-2<-1,解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1).‎ 答案 (1)D (2)[0,1)‎ 考点二 充分条件与必要条件的判定 ‎【例2】 (1)(2018·北京卷)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)设函数f(x)=则“m>1是f[f(-1)]>4”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 (1)|a-3b|=|3a+b|⇔(a-3b)2=(3a+b)2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,又∵|a|=|b|=1,‎ ‎∴a·b=0⇔a⊥b,因此|a-3b|=|3a+b|是“a⊥b”的充要条件.‎ ‎(2)当m>1时,f [f(-1)]=f =f(2)=22m+1>4,‎ 当f[f(-1)]>4时,f [f(-1)]=f =f(2)=22m+1>4=22,‎ ‎∴2m+1>2,解得m>.‎ 故“m>1”是“f[f(-1)]>4”的充分不必要条件.‎ 答案 (1)C (2)A 规律方法 充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.‎ ‎(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.‎ ‎(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·浙江卷)已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)(2019·汉中质检)已知函数f(x)=3x-3-x,任意a,b∈R,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)若mα,nα,m∥n,由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α,mα,nα,不一定推出m∥n,直线m与n可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.‎ ‎(2)因为f(x)=3x-3-x,‎ 所以f′(x)=3xln 3-3-xln 3×(-1)=3xln 3+3-xln 3,‎ 易知f′(x)>0,‎ 所以函数f(x)=3x-3-x为(-∞,+∞)上的单调递增函数,从而由“a>b”可得“f(a)>f(b)”,由“f(a)>f(b)”可得“a>b”,即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件.‎ 答案 (1)A (2)C 考点三 充分条件、必要条件的应用典例迁移 ‎【例3】 (经典母题)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围.‎ 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,‎ ‎∴P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.‎ ‎∴解得m≤3.‎ 又∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.‎ 综上,m的取值范围是[0,3].‎ ‎【迁移探究1】 本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.‎ 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}.‎ 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,‎ ‎∴∴ 这样的m不存在.‎ ‎【迁移探究2】 设p:P={x|x2-8x-20≤0},q:非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.‎ 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎∵綈p是綈q的必要不充分条件,‎ p是q的充分不必要条件.‎ ‎∴p⇒q且q p,即PS.‎ ‎∴或 ‎∴m≥9,又因为S为非空集合,‎ 所以1-m≤1+m,解得m≥0,‎ 综上,实数m的取值范围是[9,+∞).‎ 规律方法 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.‎ ‎【训练3】 (2018·浏阳三校联考)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,a∈R;q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ 解 由p得(x-3a)(x-a)<0,当a<0时,3a0,则-2≤x≤3或x<-4或x>2,则x<-4或x≥-2.‎ 设p:A=(3a,a),q:B=(-∞,-4)∪[-2,+∞),‎ 又p是q的充分不必要条件.‎ 可知AB,∴a≤-4或3a≥-2,即a≤-4或a≥-.‎ 又∵a<0,∴a≤-4或-≤a<0,‎ 即实数a的取值范围为(-∞,-4]∪.‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系,并注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.‎ ‎2.充分、必要条件与集合的关系,p,q成立的对象构成的集合分别为A和B.‎ ‎(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.‎ ‎(2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.‎ ‎(3)若A=B,则p是q的充要条件.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提.‎ ‎2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2019·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是(  )‎ A.若a≤b,则a+c≤b+c B.若a+c≤b+c,则a≤b C.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c≤b+c 解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.‎ 答案 A ‎2.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由2-x≥0,得x≤2,由|x-1|≤1,得0≤x≤2.‎ 当x≤2时不一定有0≤x≤2,而当0≤x≤2时一定有x≤2,‎ ‎∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.‎ 答案 B ‎3.设a>b,a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.ac2>bc2 B.>1‎ C.a-c>b-c D.a2>b2‎ 解析 对于选项A,a>b,若c=0,则ac2=bc2,故A错;对于选项B,a>b,若a>0,b<0,则<1,故B错;对于选项C,a>b,则a-c>b-c,故C正确;对于选项D,a>b,若a,b均小于0,则a2b,则ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 解析 原命题:若c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题为:设a,b,c∈R,若“ac2>bc2,则a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴由不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,‎ ‎∴真命题共有2个.‎ 答案 C ‎6.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且綈q的一个充分不必要条件是 綈p,则a的取值范围是(  )‎ A.[1,+∞) B.(-∞,1]‎ C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]‎ 解析 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.‎ 答案 A ‎7.(2017·北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 存在负数λ,使得m=λn,则m·n=λn·n=λ|n|2<0;反之m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇒cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.‎ 答案 A ‎8.下列结论错误的是(  )‎ A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”‎ B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”‎ 解析 C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.‎ 若方程有实根,则Δ=1+4m≥0,‎ 即m≥-,不能推出m>0.所以不是真命题.‎ 答案 C 二、填空题 ‎9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).‎ 解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”,故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.‎ 答案 必要 ‎10.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).‎ ‎①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;‎ ‎②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;‎ ‎③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;‎ ‎④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.‎ 解析 ①不正确.由log2a>0,得a>1,∴f(x)=logax在其定义域内是增函数.‎ ‎②正确.由命题的否命题定义知,该说法正确.‎ ‎③不正确,原命题的逆命题为:“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4为偶数,但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题,因此两命题等价.‎ 答案 ②④‎ ‎11.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是________.‎ 解析 直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<,解之得-12S5等价d>0,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件.‎ 答案 C ‎14.(一题多解)(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>0,且綈q的一个必要不充分条件是綈p,则a的取值范围是(  )‎ A.[-3,0] B.(-∞,-3]∪[0,+∞)‎ C.(-3,0) D.(-∞,-3)∪(0,+∞)‎ 解析 法一 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1.‎ 则綈p对应的集合为A={x|-3≤x≤1}.‎ 命题q:x>a+1或x0}={x|x<-3或x>1},‎ q对应的集合D=={x|x>a+1或x
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