2021高考数学一轮复习专练23正弦定理和余弦定理含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练23正弦定理和余弦定理含解析理新人教版

专练23　正弦定理和余弦定理 命题范围：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．‎ ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝(　　)‎ A. B.π C. D.或π ‎2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是(　　)‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 ‎3．[2020·吉林舒兰测试]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝，则角C＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝，则b＝(　　)‎ A．14 B．6‎ C. D. ‎6．[2020·湖南师大附中高三测试]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎7．[2020·合肥一中高三测试]钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)‎ A．5 B. C．2 D．1‎ ‎8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)‎ A．‎50 m B．‎50 m C．‎25 m D. m ‎9．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A．4 B. C. D．2 二、填空题 ‎10．[2020·山东枣庄一中高三测试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________.‎ ‎11．[2020·四川泸州一中高三测试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝acosB，①则A＝________；②若sinC＝，则cos(π＋B)＝________.‎ ‎12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·吉林一中高三测试]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(　　)‎ A．a＝2b B．b＝‎‎2a C．A＝2B D．B＝‎‎2A ‎14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎15．[2019·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝‎2c，B＝，则△ABC的面积为________．‎ ‎16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于________．‎ 专练23　正弦定理和余弦定理 ‎1．C　由正弦定理得＝，∴sinA＝＝＝，又a1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．‎ ‎3．C　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，‎ 得cosC＝＝＝，又C为△ABC内角，∴C＝.‎ ‎4．C　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cosA＝1，cosA＝，∴sinA＝＝，∴S△ABC＝bcsinA＝×4×＝.‎ ‎5．D　∵bsinA＝3csinB，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝‎3c，又a＝3，∴c＝1，‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－‎2ac·cosB＝9＋1－2×3×＝6，‎ ‎∴b＝.‎ ‎6．B　∵bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sin‎2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．‎ ‎7．B　∵S△ABC＝AB×BC×sinB＝sinB＝，∴sinB＝，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝1＋2－2××＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos135°＝1＋2＋2××＝5，∴AC＝.‎ ‎8．A　由正弦定理得＝，‎ ‎∴AB＝＝＝50.‎ ‎9．A　∵cos＝，∴cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cosC＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.‎ ‎10.π 解析：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac得a2＋c2－b2＋ac＝0.‎ 由余弦定理得cosB＝＝－，又B为△ABC的内角，∴B＝π.‎ ‎11．①90°　②－ 解析：①∵c＝a·cosB，∴c＝a·，得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°；②∵cosB ‎＝cos(π－A－C)＝sinC＝.∴cos(π＋B)＝－cosB＝－sinC＝－.‎ ‎12. 解析：∵△ABC中，acosC＋ccosA＝b，‎ ‎∴2bcosB＝acosC＋ccosA可化为2bcosB＝b，‎ ‎∴cosB＝.‎ 又00，∴2sinB＝sinA，即a＝2b.‎ ‎14．C　因为a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝，‎ 所以S△ABC＝＝absinC，‎ 所以tanC＝1，又C∈(0，π)，‎ 所以C＝.故选C.‎ ‎15．6 解析：本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查方程思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．‎ 解法一：因为a＝‎2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(‎2c)2＋c2－2×‎2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin＝6.‎ 解法二：因为a＝‎2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(‎2c)2＋c2－2×‎2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.‎ ‎16. 解析：由余弦定理得2abcosC＝a2＋b2－c2，又6S＝(a＋b)2－c2，所以6×absinC＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝2abcosC＋2ab，化简得3sinC＝2cosC＋2，结合sin‎2C＋cos‎2C＝1，解得sinC＝，cosC＝，所以tanC＝.‎