【数学】2018届一轮复习人教A版第42讲数列应用题的解法学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第42讲数列应用题的解法学案

‎【知识要点】‎ 一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题 解决.‎ 二、与增长量和降低量有关的问题一般是等差数列，与增长率和降低率有关的问题一般是等比数列.‎ 三、单利问题：设本金为，期利率为，则期后本利和，对应的是等差数列；‎ 复利问题：设本金为，期利率为，则期后本利和，对应的是等比数列.‎ 四、数列的问题注意弄清数列的项数、首项、公差和公比等.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 等差数列 使用情景 与等差数列有关 解题步骤 一般先判断和证明数列是等差数列，再确定等差数列的相关元素，利用等差数列的性质解答.‎ ‎【例1】某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：‎ ‎2003年 ‎2004年 ‎2005年 新植亩数 ‎1000‎ ‎1400‎ ‎1800‎ 沙地亩数 ‎25200‎ ‎24000‎ ‎22400‎ 而一旦植完，则不会被沙化.‎ 问：（1）每年沙化的亩数为多少？（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？‎ ‎（2） 设2005年及其以后各年的造林亩数分别为、、、…，则 ‎【点评】（1）利用等差数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等差数列；（2）利用等差数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公差和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题.‎ ‎【反馈检测1】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年 ，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.‎ 请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后， 盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.‎ 方法二 等比数列 使用情景 与等比数列有关 解题步骤 一般先判断和证明数列是等比数列，再确定等比数列的相关元素，利用等比数列的性质解答.‎ ‎【例2】商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5 ‎ ‎，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．‎ ‎　　（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；‎ ‎　　（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：，＝1.4774）‎ ‎【解析】 依题意，公寓2002年底建成，2003年 使用．‎ ‎　　（1）设公寓投入使用后年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．‎ ‎　　依题意有　…．‎ ‎　　化简得．‎ ‎　　∴　．‎ ‎　　两边取对数整理得．∴　取＝12（年）．‎ ‎　　∴　到2014年底可全部还清贷款．‎ ‎【点评】（1）银行的单利问题和复利问题，要理解清楚.单利是一个等差数列问题，复利是一个等比数列问题.（2）利用等比数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等比数列；（3）利用等比数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公比和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题. 学 ‎ ‎【反馈检测2】为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：‎ 贷款期 (年数)‎ 公积金贷款 月利率(‰)‎ 商业性贷款 月利率(‰)‎ ‎……‎ ‎11‎ ‎……‎ ‎4.365‎ ‎……‎ ‎5.025‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎……‎ ‎4.455‎ ‎4.545‎ ‎4.635‎ ‎4.725‎ ‎……‎ ‎5.025‎ ‎5.025‎ ‎5.025‎ ‎5.025‎ ‎……‎ ‎ 汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)‎ ‎ ‎ 方法三 构造等差等比数列 使用情景 一般是非等差等比数列，但可以转化成等差等比数列.‎ 解题步骤 先通过题目构造一个等差或等比数列，再利用等差等比数列的性质解答.‎ ‎【例3】2008年底某县的绿化面积占全县总面积的 ，从2009年 ,计划每年将非绿化面积的8 绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2 被非绿化. ‎ ‎⑴设该县的总面积为1,2008年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示；‎ ‎⑵求数列的第项；‎ ‎⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60 (参考数据:)‎ ‎⑵.‎ 数列是公比为,首项的等比数列.‎ ‎∴.‎ ‎⑶‎ ‎ ‎ ‎【点评】（1）构造数列关键是从已知条件入手找到数列的递推关系；（2）构造数列的首项和末项要弄清.‎ ‎【反馈检测3】某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30 ．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16 的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4 又被侵蚀，变成了沙漠．‎ ‎（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将 的某一年，全县绿地面积超过80 ？‎ ‎（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60 ？‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第42讲：‎ 数列应用题的解法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）3年后 盈利；（2）采用方案一合算.‎ ‎【反馈检测2答案】（1）汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元；（2）当月共还款43880.12元．学 ‎ ‎【反馈检测2详细解析】设月利率为，每月还款数为元，总贷款数为元，还款期限为月 　　第1月末欠款数： 　　第2月末欠款数：　‎ ‎ 第3月末欠款数：‎ ‎　　…… 第月末欠款数　 得： ‎ 对于12年期的10万元贷款，4.455‰∴ 对于15年期的15万元贷款，，＝5.025‰ ∴ 由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元． (2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款 ‎ ‎　　　其中＝150000，＝1268.22，＝5.025‰ ‎ ‎ ∴＝41669.53 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．‎ ‎【反馈检测3答案】（1）对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80 ；（2）2005年底，全县绿地面积才 超过总面积的60 ．‎ 由题可知：，‎ 所以，当时，，两式作差得：‎ 又，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．‎ 所以， 由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80 ．‎ ‎（Ⅱ）令，得，‎ 由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从 验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求．‎ 验证可知：当时，均有，而当时，，‎ 由指数函数的单调性可知：当时，均有．‎ 所以，从2000年底 ，5年后，即2005年底，全县绿地面积才 超过总面积的60 ．‎