2018届二轮复习变化率与导数、导数的计算学案（全国通用）

2018届二轮复习变化率与导数、导数的计算学案（全国通用）

专题1 变化率与导数、导数的计算 变化率与导数、导数的计算 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ ‎1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，‎ 即f′(x0)＝li ＝li .‎ ‎2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．‎ ‎3．基本初等函数的导数公式 原函数 sin x cos x ax(a>0)‎ ex logax(a>0，且a≠1)‎ ln x 导函数 cos x ‎－sin_x axln_a ex ‎4.导数运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.‎ 对抽象函数求导的解题策略 在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f(x)＝f′(x0)x＋sin x＋ln x(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．　‎ ‎[例]　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(1－)；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝tan x；‎ ‎(4)y＝3xex－2x＋e；‎ ‎(5)y＝.‎ ‎[解]　(1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x，‎ ‎∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.‎ ‎(2)y′＝′＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎(3)y′＝′＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′‎ ‎＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′‎ ‎＝3x(ln 3)·ex＋3xex－2xln 2‎ ‎＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.‎ ‎(5)y′＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎1.(2016·济宁二模)已知函数f(x)＝x (2 017＋ln x)，f′(x0)＝2 018，则x0＝(　　)‎ A．e2　　　　B．‎1　‎　　　C．ln 2　　　　D．e ‎[解析]　(1)由题意可知f′(x)＝2 017＋ln x＋x·＝2 018＋ln x．由f′(x0)＝2 018，得ln x0＝0，解得x0＝1.‎ ‎2.已知f(x)＝x2＋2xf′(2 017)＋2 017ln x，则f′(1)＝________.‎ ‎3．函数f(x)＝(x＋‎2a)(x－a)2的导数为(　　)‎ A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)‎ C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)‎ 解析：选C　∵f(x)＝(x＋‎2a)(x－a)2＝x3－‎3a2x＋‎2a3，‎ ‎∴f′(x)＝3(x2－a2)．‎ ‎1. (2017·东北四市联考)已知y＝，则y′＝ (　　)‎ A. B．－ C. D．0‎ 解析：选D　因为常数的导数为0，又y＝是常数函数，所以y′＝0.‎ ‎2. (2016·大同二模)已知函数f(x)＝xsin x＋ax，且f′＝1，则a＝(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．4‎ 解析：选A　∵f′(x)＝sin x＋xcos x＋a，且f′＝1，∴sin＋cos＋a＝1，即a＝0.‎ ‎3. (2017·湖北重点中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)‎ A．－2 B．‎2 C．－ D. 解析：选C　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋‎3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋‎3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.故选C.‎ ‎4.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．‎ ‎5.求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x2sin x；‎ ‎(2)y＝ln x＋；‎ ‎(3)y＝；‎ ‎(4)y＝xsincos.‎ 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′‎ ‎＝2xsin x＋x2cos x.‎ ‎(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.‎ ‎(3)y′＝′＝＝－.‎ ‎(4)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，‎ ‎∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x ‎＝－sin 4x－2xcos 4x.‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎