2018届二轮复习平面向量一题多解举例学案（全国通用）

2018届二轮复习平面向量一题多解举例学案（全国通用）

平面向量一题多解举例 例1：已知等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，求 思路点拨：‎ 一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可;‎ 图(1)‎ 另一种方法是将用表示,然后用数量积的定义计算.‎ 方法一:坐标法 以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图(1)所示的 ‎ 平面直角坐标系，根据题设条件可知 ‎ 设，则 ‎ 由得：‎ ‎ ‎ ‎ ∴，∴点M的坐标为，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 方法二：基底法 由于 ‎ ‎ ‎ 又是边长为的等边三角形， ‎ ‎，‎ 例2：在正三角形ABC中，D是BC边上的点，AB=3，BD=1，求。‎ 方法一：定义法 如图所示，B=60°，‎ ‎ 由余弦定理得AD2=32+12-2×3×1×cos 60°=7, ∴AD=，‎ 再由余弦定理得cos ∠BAD=，‎ ‎ 所以.‎ 方法二：基底法 ‎∵‎ ‎ = ‎ ‎=9+3×1×.‎ 例3：在中，若对于任意，，求角 ‎ 解法1：（平方展开）由得：，‎ ‎，即，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即，，，又，‎ 所以，所以.‎ 解法2：（平方分解因式）由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，即，又，所以，，所以.‎ 解法3：（平方用余弦定理）由得：，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，，又，所以，‎ 所以.‎ 解法4：（几何作图）考虑的作图： ‎ 作向量，则，‎ 于是原题化为恒成立，根据垂线段最短 ，所以. ‎ 通过上面两种解法的比较可以看出，利用平面向量的三角形法则和共线向量的意义可以大大缩减运算量，提高解题效率.‎