2020届二轮复习随机变量及其分布阶段自测卷课件（46张）（全国通用）

2020届二轮复习随机变量及其分布阶段自测卷课件（46张）（全国通用）

阶段自测卷 ( 八 ) 第十二 章　 概率、随机变量及其分布 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1.(2019· 陕西四校联考 ) 将一颗质地均匀的骰子 ( 一种各个面分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具 ) 先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为大于 8 的偶数的概率为 解析　 将先后两次的点数记为有序实数对 ( x ， y ) ，则共有 6 × 6 ＝ 36( 个 ) 基本事件，其中点数之和为大于 8 的偶数有 (4,6) ， (6,4) ， (5,5) ， (6,6) ，共 4 种， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 2.(2019· 成都七中诊断 ) 若随机变量 X ～ N (3 ， σ 2 ) ，且 P ( X ≥ 5) ＝ 0.2 ，则 P (1< X <5) 等于 A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 ∵ 随机变量 X 服从正态分布 N (3 ， σ 2 ) ， ∴ 对称轴是 x ＝ 3. ∵ P ( X ≥ 5) ＝ 0.2 ， ∴ P (1 ＜ X ＜ 5) ＝ 1 － 2 P ( X ≥ 5) ＝ 1 － 0.4 ＝ 0.6. 故选 A. 3.(2019· 四省联考诊断 )2018 年国际山地旅游大会于 10 月 14 日在贵州召开，据统计有来自全世界的 4 000 名女性和 6 000 名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为 1 000 名和 2 000 名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份 . 若记者随机电话采访参与本次徒步运动的 1 名女性和 1 名男性徒步爱好者，其中恰好有 1 名徒步爱好者获得纪念品的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5. 设离散型随机变量 X 可能的取值为 1,2,3,4 ， P ( X ＝ k ) ＝ ak ＋ b ，又 X 的均值为 E ( X ) ＝ 3 ，则 a ＋ b 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 依题意可得 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P a ＋ b 2 a ＋ b 3 a ＋ b 4 a ＋ b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6. 某班级在 2018 年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有 6 名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为 7.(2019· 长春外国语学校月考 ) 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8.(2019· 青岛调研 ) 已知某运动员每次投篮命中的概率是 40%. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表示命中， 5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果 . 经随机模拟产生了如下 10 组随机数： 907 　 966 　 191 　 925 　 271 　 431 　 932 　 458 　 569 　 683. 则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 解析　 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了 10 组随机数，在 10 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有： 191,932,271 ，共 3 组随机数，故所求概率 为 . 故选 C. 9.(2019· 湖南五市十校联考 )— 只蚂蚁在三边长分别为 6,8,10 的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 1 的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 解析　 因为三角形三边长分别为 6,8,10 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 1 的部分是以三角形三个角分别为 圆心角， 1 为半径的扇形区域 ， 因为 三个圆心角之和为 180° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10.(2019· 长春质检 ) 要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到 A ， B ， C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到 A 班的分法种数 为 A.6 B.12 C.24 D.36 √ 11.(2019· 河北衡水中学模拟 ) 如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为 a ， b ， c 的正方形和一个直角三角形围成 . 现已知 a ＝ 3 ， b ＝ 4 ，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 解析　 ∵ a ＝ 3 ， b ＝ 4 ， ∴ c ＝ 5 ， 12.(2019· 衡水中学摸拟 ) 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了 “ 勾股圆方图 ” ，亦称 “ 赵爽弦图 ” ( 以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的 ). 类比 “ 赵爽弦图 ” ，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 DF ＝ 2 AF ＝ 2 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 解析　 在 △ ABD 中， AD ＝ 3 ， BD ＝ 1 ， ∠ ADB ＝ 120° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13. 从 1,2,3,4 这四个数中一次性随机地取出 2 个数，则所取 2 个数的 乘积为奇数 的 概率是 ___. 解析　 从 1,2,3,4 这 4 个数中随机地取 2 个数有 (1,2) ， (1,3) ， (1,4) ， (2,3) ， (2,4) ， (3,4) ，共 6 种情形， 其中满足所取 2 个数的乘积为奇数的有 (1,3) 共 1 种情形， 14. 一个不透明袋中装有大小、质地完全相同的四个球，四个球上分别标有数字 2,3,4,6. 现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成 等差数列的 概率 是 ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 其中能构成等差数列的三个数分别为 (2,3,4) ， (2,4,6) ，共 2 种不同的选法， 15.(2019· 衡水中学模拟 ) 由数字 0,1 组成的一串数字代码，其中恰好有 7 个 1,3 个 0 ，则这样的不同数字代码共有 _____ 个 . 解析　 依题意得，一串数字代码一共有 10 个数字，则取 7 个位置排 1 ，剩下的位置排 0 ，则不同数字的代码 有 ＝ 120( 个 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 120 16.(2019· 广州执信中学测试 ) 大正方形的面积为 13 ，四个全等的直角三角形围成中间的小正方形，较短的直角边长为 2 ，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖 落 在 中间小正方形内的概率是 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 又直角三角形的较短边长为 2 ， 得出四个全等的直角三角形的直角边分别是 3 和 2 ， 则小正方形的边长为 3 － 2 ＝ 1 ，面积为 1. 又大正方形的面积为 13 ， 三、解答题 ( 本大题共 70 分 ) 17.(10 分 )(2019· 凉山诊断 ) 从某市统考的学生数学考试试卷中随机抽查 100 份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到 如 右 的 频率分布直方图 . (1) 求这 100 份数学试卷成绩的中位数 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解　 记 这 100 份数学试卷成绩的中位数为 x (95< x <105) ， 则 0.002 × 10 ＋ 0.008 × 10 ＋ 0.013 × 10 ＋ 0.015 × 10 ＋ ( x － 95) × 0.024 ＝ 0.5 ， 解得 x ＝ 100 ，所以中位数为 100. (2) 从总分在 [55,65) 和 [135,145) 的试卷中随机抽取 2 份试卷，求抽取的 2 份试卷中至少有一份总分少于 65 分的概率 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解　 总分在 [55,65) 的试卷共有 0.002 × 10 × 100 ＝ 2( 份 ) ，记为 A ， B ， 总分在 [135,145) 的试卷共有 0.004 × 10 × 100 ＝ 4( 份 ) ，记为 a ， b ， c ， d ， 则从上述 6 份试卷中随机抽取 2 份的抽取结果为 { A ， B } ， { A ， a } ， { A ， b } ， { A ， c } ， { A ， d } ， { B ， a } ， { B ， b } ， { B ， c } ， { B ， d } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { a ， d } ， { b ， c } ， { b ， d } ， { c ， d } ， 共计 15 种结果，且每个结果是等可能的 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 至少 有一份总分少于 65 分的有： { A ， B } ， { A ， a } ， { A ， b } ， { A ， c } ， { A ， d } ， { B ， a } ， { B ， b } ， { B ， c } ， { B ， d } ，共计 9 种结果 ， 所以抽取的 2 份至少有一份总分少于 65 分的 概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18.(12 分 ) 将 4 名大学生随机安排到 A ， B ， C ， D 四个公司实习 . (1) 求 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率； 解　 将 4 人安排到四个公司中，共有 4 4 ＝ 256( 种 ) 不同排法 . 记 “ 4 个人恰好在四个不同的公司 ” 为事件 A ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 随机变量 X 表示分到 B 公司的学生的人数，求 X 的分布列和均值 E ( X ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解　 方法一　 X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 方法二　每个同学分到 B 公司的概率为 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 19.(12 分 ) 某市有 A ， B ， C ， D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 A 的概率 为 ， 游览 B ， C 和 D 的概率 都是 ， 且该游客是否游览这四个景点相互独立 . (1) 求该游客至多游览一个景点的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解　 记 “ 该游客游览 i 个景点 ” 为事件 A i ， i ＝ 0,1 ， (2) 用随机变量 X 表示该游客游览的景点的个数，求 X 的分布列和均值 E ( X ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解　 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20.(12 分 )(2019· 汉中质检 ) 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评 . 某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表如下： 表一： 男生 表二： 女生 (1) 求 x ， y 的值 ； 21 22 男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5 女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解　 设 从高一年级男生中抽取 m 人， 21 22 解得 m ＝ 25 ，则从女生中抽取 20 人， 所以 x ＝ 25 － 15 － 5 ＝ 5 ， y ＝ 20 － 15 － 3 ＝ 2. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2) 从表一、表二中所有尚待改进的学生中随机抽取 3 人进行交谈，记其中抽取的女生人数为 X ，求随机变量 X 的分布列及均值； 21 22 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解　 表 一、表二中所有尚待改进的学生共 7 人，其中女生有 2 人，则 X 的所有可能的取值为 0,1,2. 21 22 则随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3) 由表中统计数据填写下列 2 × 2 列联表，并判断是否有 90% 的把握认为 “ 测评结果优秀与性别有关 ” . 21 22   男生 女生 总计 优秀       非优秀       总计     45 参考数据： P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.01 0.05 0.01 k 0 2.706 3.841 6.635 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解　 2 × 2 列联表如下： 21 22 因为 1 － 0.9 ＝ 0.1 ， P ( K 2 ≥ 2.706) ＝ 0.10 ， 所以没有 90% 的把握认为 “ 测评结果优秀与性别有关 ”.   男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21.(12 分 )(2019· 长沙长郡中学调研 ) 为了响应全国文明城市建设的号召，某市文明办对本市市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查 . 每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1 000 人的得分 ( 满分： 100 分 ) 数据，统计结果如下表所示 . (1) 由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N ( μ ， 210) ， μ 近似为这 1 000 人得分的平均值 ( 同一组数据用该组区间的中点值作为代表 ) ，请利用正态分布的知识求 P (36 ＜ Z ≤ 79.5) ； 21 22 组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 25 150 200 250 225 100 50 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解　 根据 题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得 μ ＝ 35 × 0.025 ＋ 45 × 0.15 ＋ 55 × 0.2 ＋ 65 × 0.25 ＋ 75 × 0.225 ＋ 85 × 0.1 ＋ 95 × 0.05 ＝ 65 ， 21 22 ＝ 0.818 5. (2) 在 (1) 的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： (i) 得分不低于 μ 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 μ 的可以获赠 1 次随机话费； (ii) 每次赠送的随机话费及对应的概率 为 现市民小王要参加此次问卷调查，记 X ( 单位：元 ) 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列及均值 . 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 赠送的随机话费 ( 单位：元 ) 20 40 概率 ① P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ≈ 0.682 6 ； ② P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ≈ 0.954 4 ； ③ P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ≈ 0.997 4. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 解　 根据题意，可以得出所得话费的可能值有 20,40,60,80 元， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 得 60 元的情况为两次机会，一次 40 元一次 20 元， 得 40 元的情况为一次机会获 40 元或 2 次机会 2 个 20 元， 得 80 元的情况为两次机会，都是 40 元， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 所以 X 的分布列为 X 20 40 60 80 P 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22.(12 分 )(2019· 佛山禅城区调研 ) 一项研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗 2 000 株，株长均介于 185 mm ～ 235 mm ，从中随机抽取 100 株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图 . (1) 求样本平均株 长 和 样本方差 s 2 ( 同一组数据用该区间的中点值代替 ) ； 21 22 s 2 ＝ 20 2 × 0.02 ＋ 10 2 × 0.315 ＋ 10 2 × 0.275 ＋ 20 2 × 0.04 ＝ 83. 210 × 0.35 ＋ 220 × 0.275 ＋ 230 × 0.04 ＝ 210 ，