2018届二轮复习（文）函数与方程及函数的应用学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）函数与方程及函数的应用学案（全国通用）

专题2 函数与方程及函数的应用 ‎【2017年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ ‎ (1)①确定函数零点；‎ ‎②确定函数零点的个数；‎ ‎③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．‎ ‎(2)函数简单性质的综合考查．函数的实际应用问题．‎ ‎(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查．‎ 利用函数性质解决相关的最值．题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎1．函数的零点与方程的根 ‎(1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．‎ ‎(2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．‎ ‎(3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．$来&源：ziyuanku.com 注意以下两点：‎ ‎①满足条件的零点可能不唯一；‎ ‎②不满足条件时，也可能有零点．‎ ‎(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．‎ ‎2．应用函数模型解决实际问题的一般程序 ⇒⇒⇒ 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．‎ ‎3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.‎ ‎【题型示例】‎ 题型 1、函数与方程问题 ‎【例1】【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎ 【举一反三】(2015·湖南卷)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________． ‎ 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ 解析：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点．‎ ‎①若a<0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x＞a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图①实线部分所示，其图象与直线y＝b可能有两个公共点. ‎ ‎②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图②实线部分所示，其图象与直线y＝b至多有一个公共点. ‎ ‎③若a＞1，则a3＞a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图③实线部分所示，其图象与直线y＝b可能有两个公共点．‎ 综上知，a<0或a>1.‎ ‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎【变式探究】已知直线y＝mx与函数f(x)＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】(，＋∞)‎ ‎【解析】作出函数 f(x)＝的图象， ‎ 如图所示．直线y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的图象只有一个公共点资*源%库资*源%库 ziyuanku.com；当m>0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－x(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须有直线y＝mx与函数y＝x2＋1(x>0)的图象有两个公共点，即方程mx＝x2＋1，在x>0时有两个 不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2>0，且m>0，解得m> .故所求实数m的取值范围是.‎ ‎【特别提醒】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．‎ 题型二 函数的零点 例2、 (1)(2015·海南)已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎(2)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎(1)答案：C 解析：∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2<0，‎ f(2)＝ln 2－0<0Ziyuanku.com，‎ f(3)＝ln 3－1>0，‎ ‎∴x0∈ (2,资*源%库3)，故选C.‎ ‎(2)答案：B ‎ 【变式探究】(2014·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3,4]与y＝a的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当0＜a＜时满足题意．‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1．确定函数零点的常用方法 ‎(1)解方程判定法，若方程易求解时用此法．‎ ‎(2)零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识．‎ ‎(3)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解．‎ ‎2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，常用方法为：‎ ‎(1)利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解．‎ ‎(2)分离参数后转化为求某函数的值域或最值．‎ ‎(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系，从而构建不等式(组)求解．‎ 题型三、函数模型及应用 ‎【例1】 【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时。‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 由题意得：，所以时，.‎ ‎ 【变式探究】(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)‎ A. B. C. D.－1‎ ‎【命题意图】本题以实际应用为载体，主要考查增长率问题，结合方程思想和转化思想求年平均增长率，关键是得出方程(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1．应用函数知识解应用题的步骤 ‎(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．‎ ‎(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解．‎ ‎(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．‎ ‎2．对函数模型求最值的常用方法 单调性法、基本不等式法及导数法．‎ ‎【变式探究】‎ 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝ ‎(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；‎ ‎(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大．‎ ‎(注：年利润＝年销售收入一年总成本)‎ ‎ ‎ ‎(2)①当0＜x≤10时，‎ 由W′＝8.1－＝0，‎ 得x＝9.‎ 当x∈(0,9)时，W′＞0；‎ 当x∈(9,10]时，W′＜0，‎ ‎∴当x＝9时，‎ W取得最大值，‎ 即Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.‎ ‎②当x＞10时，‎ W＝98－≤98－2 ＝38，‎ 当且仅当＝2.7x，‎ 即x＝时，‎ W取得最大值38.‎ 综合①②知：当x＝9时，‎ W取得最大值38.6，‎ 故当年产量为9千件时，‎ 该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大．‎ ‎【规律方法】(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．‎ ‎(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．‎ ‎ ‎