2020届二轮复习16椭圆、双曲线、抛物线作业

2020届二轮复习16椭圆、双曲线、抛物线作业

专题能力训练16　椭圆、双曲线、抛物线 ‎　专题能力训练第38页　 ‎ 一、能力突破训练 ‎1.已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,且与椭圆x‎2‎‎12‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1有公共焦点,则C的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎8‎‎-‎y‎2‎‎10‎=1 B.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1‎ C.x‎2‎‎5‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1 D.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1‎ 答案:B 解析:由题意得ba‎=‎‎5‎‎2‎,c=3.因为a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,‎ 故C的方程为x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎5‎=1.‎ ‎2.已知以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.若|AB|=4‎2‎,|DE|=2‎5‎,则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 答案:B 解析:不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.‎ 因为|AB|=4‎2‎,所以可设A(m,2‎2‎).‎ 又因为|DE|=2‎5‎,‎ 所以R‎2‎‎=5+p‎2‎‎4‎,‎m‎2‎‎+8=R‎2‎,‎‎8=2pm,‎解得p2=16.‎ 故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.‎ ‎3.若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎3‎,则其渐近线方程为(　　)‎ A.y=±‎2‎x B.y=±‎3‎x ‎ C.y=±‎2‎‎2‎x D.y=±‎3‎‎2‎x 答案:A 解析:∵e=ca‎=‎‎3‎,∴c‎2‎a‎2‎‎=b‎2‎‎+‎a‎2‎a‎2‎=‎ba‎2‎+1=3.‎ ‎∴ba‎=‎‎2‎.∵双曲线焦点在x轴上,‎ ‎∴渐近线方程为y=±bax,‎ ‎∴渐近线方程为y=±‎2‎x.‎ ‎4.已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎12‎=1 B.x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1 ‎ C.x‎2‎‎3‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1 D.x‎2‎‎9‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1‎ 答案:C 解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E.‎ 由题易知EF为梯形ABCD的中位线,‎ 所以|EF|=‎1‎‎2‎(d1+d2)=3.‎ 又因为点F(c,0)到y=bax的距离为‎|bc-0|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=b,‎ 所以b=3,b2=9.‎ 因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,‎ 所以双曲线的方程为x‎2‎‎3‎‎-‎y‎2‎‎9‎=1.故选C.‎ ‎5.设双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若OP=mOA+nOB(m,n∈R),且mn=‎2‎‎9‎,则该双曲线的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎2‎ B.‎3‎‎5‎‎5‎ C.‎3‎‎2‎‎4‎ D.‎‎9‎‎8‎ 答案:C 解析:在y=±bax中,令x=c,得Ac,‎bca,Bc,-‎bca.在双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1中,令x=c,得Pc,±‎b‎2‎a.‎ 当点P的坐标为c,‎b‎2‎a时,由OP=mOA+nOB,‎ 得c=(m+n)c,‎b‎2‎a‎=mbca-nbca,‎则m+n=1,‎m-n=bc.‎ 由m+n=1,‎mn=‎2‎‎9‎,‎得m=‎2‎‎3‎,‎n=‎‎1‎‎3‎或m=‎1‎‎3‎,‎n=‎‎2‎‎3‎(舍去),‎ ‎∴bc‎=‎‎1‎‎3‎,∴c‎2‎‎-‎a‎2‎c‎2‎‎=‎‎1‎‎9‎,∴e=‎3‎‎2‎‎4‎.‎ 同理,当点P的坐标为c,-‎b‎2‎a时,e=‎3‎‎2‎‎4‎.‎ 故该双曲线的离心率为‎3‎‎2‎‎4‎.‎ ‎6.已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴ba=1,即a=b.∵|OB|=2‎2‎,∴c=2‎2‎.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(2‎2‎)2,可得a=2.‎ ‎7.已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.‎ 答案:‎‎2‎‎3‎‎3‎ 解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b.‎ ‎∵∠MAN=60°,‎ ‎∴|AP|=‎3‎‎2‎b,|OP|=‎|OA‎|‎‎2‎-|PA‎|‎‎2‎‎=‎a‎2‎‎-‎‎3‎‎4‎b‎2‎.‎ 设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ,‎ 则tanθ=‎|AP|‎‎|OP|‎‎=‎‎3‎‎2‎ba‎2‎‎-‎‎3‎‎4‎b‎2‎.‎ ‎∵tanθ=ba,∴‎3‎‎2‎ba‎2‎‎-‎‎3‎‎4‎b‎2‎‎=‎ba,解得a2=3b2,‎ ‎∴e=‎1+‎b‎2‎a‎2‎‎=‎1+‎‎1‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎8.如图,已知抛物线C1:y=‎1‎‎4‎x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.‎ ‎(1)求点A,B的坐标;‎ ‎(2)求△PAB的面积.‎ 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.‎ 解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).‎ 由y=k(x-t),‎y=‎‎1‎‎4‎x‎2‎消去y,整理得x2-4kx+4kt=0.‎ 由于直线PA与抛物线相切,得k=t.‎ 因此,点A的坐标为(2t,t2).‎ 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).‎ 由题意知,点B,O关于直线PD对称,‎ 所以y‎0‎‎2‎‎=-x‎0‎‎2t+1,‎x‎0‎t-y‎0‎=0,‎解得x‎0‎‎=‎2t‎1+‎t‎2‎,‎y‎0‎‎=‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎.‎ 因此,点B的坐标为‎2t‎1+‎t‎2‎‎,‎‎2‎t‎2‎‎1+‎t‎2‎.‎ ‎(2)由(1)知|AP|=t·‎1+‎t‎2‎和直线PA的方程tx-y-t2=0.‎ 点B到直线PA的距离是d=t‎2‎‎1+‎t‎2‎.‎ 设△PAB的面积为S(t),‎ 所以S(t)=‎1‎‎2‎|AP|·d=t‎3‎‎2‎.‎ ‎9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程;‎ ‎(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求‎|PR|‎‎|PQ|‎的取值范围.‎ 解:(1)设点M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;‎ 当x=1时,直线MB的斜率不存在.‎ 于是x≠1,且x≠-1.‎ 此时,MA的斜率为yx+1‎,MB的斜率为yx-1‎.‎ 由题意,有yx+1‎‎·‎yx-1‎=4.‎ 整理,得4x2-y2-4=0.‎ 故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).‎ ‎(2)由y=x+m,‎‎4x‎2‎-y‎2‎-4=0‎消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①‎ 对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,‎ 而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.‎ 结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.‎ 设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),‎ 则xQ,xR为方程①的两根,‎ 因为|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.‎ 因为xQ=m-2‎m‎2‎‎+3‎‎3‎,xR=m+2‎m‎2‎‎+3‎‎3‎,且Q,R在同一条直线上,‎ 所以‎|PR|‎‎|PQ|‎‎=xRxQ=‎‎2‎1+‎‎3‎m‎2‎+1‎‎2‎1+‎‎3‎m‎2‎-1‎=1+‎2‎‎2‎1+‎‎3‎m‎2‎-1‎.此时‎1+‎‎3‎m‎2‎>1,且‎1+‎‎3‎m‎2‎≠2,‎ 所以1<1+‎2‎‎2‎1+‎‎3‎m‎2‎-1‎<3,‎ 且1+‎2‎‎2‎1+‎‎3‎m‎2‎-1‎‎≠‎‎5‎‎3‎,‎ 所以1<‎|PR|‎‎|PQ|‎‎=‎xRxQ<3,且‎|PR|‎‎|PQ|‎‎=xRxQ≠‎‎5‎‎3‎.‎ 综上所述,‎|PR|‎‎|PQ|‎的取值范围是‎1,‎‎5‎‎3‎‎∪‎‎5‎‎3‎‎,3‎.‎ ‎10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA‎+‎MB|=OM·(OA‎+‎OB)+2.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)点Q(x0,y0)(-20,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=‎6‎|OP|,则C的离心率为(　　)‎ A.‎5‎ B.2 C.‎3‎ D.‎‎2‎ 答案:C 解析:如图所示,由题意可知,|PF2|=b,|OP|=a.由题意,得|PF1|=‎6‎a.‎ 设双曲线渐近线的倾斜角为θ.‎ ‎∴在△OPF1中,由余弦定理知cos(180°-θ)=a‎2‎‎+c‎2‎-(‎6‎a‎)‎‎2‎‎2ac‎=‎c‎2‎‎-5‎a‎2‎‎2ac=-cosθ.∵cosθ=ac,‎ ‎∴c‎2‎‎-5‎a‎2‎‎2ac=-ac,‎ 解得c2=3a2.∴e=‎3‎.‎ ‎13.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则|FN|=　　　　　. ‎ 答案:6‎ 解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).‎ 又M为线段FN的中点,则M‎1,‎a‎2‎.‎ 因为点M在抛物线C上,‎ 所以a‎2‎‎4‎=8,即a2=32,即a=±4‎2‎.‎ 所以N(0,±4‎2‎).‎ 所以|FN|=‎(2-0‎)‎‎2‎+(0±4‎‎2‎‎)‎‎2‎=6.‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　. ‎ 答案:y=±‎2‎‎2‎x 解析:抛物线x2=2py的焦点为F‎0,‎p‎2‎,准线方程为y=-p‎2‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p‎2‎+y2+p‎2‎=y1+y2+p=4|OF|=4·p‎2‎=2p.‎ 所以y1+y2=p.‎ 联立双曲线与抛物线方程得x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1,‎x‎2‎‎=2py,‎ 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.‎ 所以y1+y2=‎2pb‎2‎a‎2‎=p,所以b‎2‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎.‎ 所以该双曲线的渐近线方程为y=±‎2‎‎2‎x.‎ ‎15.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C1的方程;‎ ‎(2)设M‎0,‎‎1‎‎5‎,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.‎ 解:(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2‎5‎>2=|BC|,‎ 所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2‎5‎,2c=2.‎ 动点P的轨迹C1的方程为x‎2‎‎5‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)设N(t,t2),则PQ的方程为 y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.‎ 联立方程组y=2tx-t‎2‎,‎x‎2‎‎5‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,‎ 则有Δ=80(4+20t‎2‎-t‎4‎)>0,‎x‎1‎‎+x‎2‎=‎20‎t‎3‎‎4+20‎t‎2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=‎5t‎4‎-20‎‎4+20‎t‎2‎.‎ 而|PQ|=‎1+4‎t‎2‎×|x1-x2|=‎1+4‎t‎2‎‎×‎‎80(4+20t‎2‎-t‎4‎)‎‎4+20‎t‎2‎,‎ 点M到PQ的距离为h=‎1‎‎5‎‎+‎t‎2‎‎1+4‎t‎2‎.‎ 由S△MPQ=‎1‎‎2‎|PQ|h代入化简,得 S△MPQ=‎5‎‎10‎‎-(t‎2‎-10‎)‎‎2‎+104‎‎≤‎5‎‎10‎×‎104‎=‎‎130‎‎5‎,当且仅当t2=10时,S△MPQ取最大值‎130‎‎5‎.‎ ‎16.已知动点C是椭圆Ω:x‎2‎a+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=‎9‎‎4‎的一条直径(A,B是端点),CA‎·‎CB的最大值是‎31‎‎4‎.‎ ‎(1)求椭圆Ω的方程.‎ ‎(2)设椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)设点C的坐标为(x,y),则x‎2‎a+y2=1.‎ 连接CG,由CA‎=CG+GA,CB=CG+GB=CG-‎GA.‎ 因为G(0,2),CG=(-x,2-y),‎ 所以CA‎·CB=CG‎2‎-‎GA‎2‎=x2+(y-2)2-‎9‎‎4‎=a(1-y2)+(y-2)2-‎9‎‎4‎=-(a-1)y2-4y+a+‎7‎‎4‎,其中y∈[-1,1].‎ 因为a>1,所以当y=‎4‎‎2(1-a)‎≤-1,即1-1,即a>3时,CA‎·‎CB的最大值是‎4(1-a)a+‎‎7‎‎4‎-16‎‎4(1-a)‎.‎ 由条件得‎4(1-a)a+‎‎7‎‎4‎-16‎‎4(1-a)‎‎=‎‎31‎‎4‎,‎ 即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).‎ 综上所述,椭圆Ω的方程是x‎2‎‎5‎+y2=1.‎ ‎(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足x‎1‎‎2‎‎5‎‎+‎y‎1‎‎2‎=1,x‎2‎‎2‎‎5‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1,两式相减,‎ 整理,得y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎=-x‎2‎‎+‎x‎1‎‎5(y‎2‎+y‎1‎)‎=-x‎0‎‎5‎y‎0‎,‎ 从而直线PQ的方程为y-y0=-x‎0‎‎5‎y‎0‎(x-x0).‎ 又右焦点F2的坐标是(2,0),‎ 将点F2的坐标代入PQ的方程得 ‎-y0=-x‎0‎‎5‎y‎0‎(2-x0).‎ 因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-x‎0‎‎2‎=5y‎0‎‎2‎>0,从而0

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