【数学】2018届一轮复习人教A版 三角函数的图象与性质 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 三角函数的图象与性质 学案

第3讲　三角函数的图象与性质 最新考纲　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{x 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.(　　)‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)‎ ‎(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)‎ ‎(5)y＝sin|x|是偶函数.(　　)‎ 解析　(1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.‎ ‎(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)‎ A.y＝sin B.y＝cos C.y＝sin 2x＋cos 2x D.y＝sin x＋cos x 解析　y＝sin＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数；y＝sin 2x＋cos 2x＝sin是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝sin是最小正周期为2π的非奇非偶函数.‎ 答案　B ‎3.(2017·郑州模拟)若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝.‎ 答案　C ‎4.函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)‎ A.－1 B.－ C. D.0‎ 解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.‎ 答案　B ‎5.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.‎ 解析　因为y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，‎ 所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，‎ 得＋＜x＜＋(k∈Z)，‎ 所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).‎ 答案　(k∈Z)‎ ‎6.(2017·绍兴调研)设函数f(x)＝2sin(ω>0，x∈R)，最小正周期T＝π，则实数ω＝________，函数f(x)的图象的对称中心为________，单调递增区间是________.‎ 解析　由T＝＝π，∴ω＝2，f(x)＝2sin，令2sin＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－，对称中心为(k∈Z)，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴单调递增区间为(k∈Z).‎ 答案　2　(k∈Z)　(k∈Z)‎ 考点一　三角函数的定义域及简单的三角不等式 ‎【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________.‎ ‎(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________.‎ 解析　(1)由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，‎ 即x≠＋(k∈Z)，故选D.‎ ‎(2)由＋2cos x≥0，得cos x≥－，‎ 由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，‎ 不等式cos x≥－的解集为，‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎(3)由题意，得 由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________.‎ 解析　(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)法一　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得f(x)的增区间是(k∈Z).‎ 因为f(x)在上是增函数，‎ 所以⊆.‎ 所以－≥－且≤，所以ω∈.‎ 法二　因为x∈，ω>0.‎ 所以ωx∈，‎ 又f(x)在区间上是增函数，‎ 所以⊆，则又ω>0，得0<ω≤.‎ 法三　因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.‎ 答案　(1)(k∈Z)　(2) 规律方法　(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.‎ 命题角度三　三角函数的对称轴或对称中心 ‎【例3－3】 (1)(2017·浙江适应性测试)若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图象关于直线x＝对称，则φ的最大值为(　　)‎ A.－ B.－ C.－ D.－ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)‎ A.11 B‎.9 ‎ C.7 D.5‎ 解析　(1)由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.‎ ‎(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.‎ 答案　(1)B　(2)B 规律方法　(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.‎ ‎(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.‎ ‎【训练3】 (1)(2017·昆明二检)函数f(x)＝cos的图象关于(　　)‎ A.原点对称 B.y轴对称 C.直线x＝对称 D.直线x＝－对称 ‎(2)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)因为f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x，f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以f(x)＝－sin 2x是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称.故选A.‎ ‎(2)函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，‎ 则(k∈Z)，‎ 解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，‎ 又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，‎ 得k＝1，所以ω∈.‎ 答案　(1)A　(2)D ‎[思想方法]‎ ‎1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.‎ ‎2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质.‎ ‎3.数形结合是本讲的重要数学思想.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.‎ ‎2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆. ‎