2019届二轮复习圆的方程学案（全国通用）
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
圆的方程
掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
2014•新课标II. 20;
2016•新课标II. 4,;
2017•新课标I. 20.
2018•新课标I.15， 22；II.20；III. 8;
1.考查圆的标准方程、普通方程的互化..
2.待定系数法求圆的方程．
3.圆的综合问题.
4.高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.
5.备考重点：
(1)掌握两种形式圆的方程；
(2)掌握待定系数法.
【知识清单】
1 求圆的方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
2．圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
3．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：.
①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；
②若，则方程只表示一个点，；
③若，则方程不表示任何图形．
4.点与⊙C的位置关系
(1)|AC|
r⇔点A在圆外⇔.
2 圆的方程综合应用
1. 圆的标准方程为：
2．圆的一般方程．：（）.
3.点到直线的距离：.
【重点难点突破】
考点1 求圆的方程
【1-1】【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 .
【答案】
【解析】设，则，故圆C的方程为
【1-2】已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程．
【答案】
法二、由点斜式可得线段的垂直平分线的方程为：.
因为圆心在上，所以线段的垂直平分线与直线的交点就是圆心.
解方程组得，所以圆心为.
圆的半径，
所以所求圆的标准方程为：.
【1-3】的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程．
【答案】
【解析】设所求圆的方程为：，则
，解之得.
所以所求圆的标准方程为：.
【领悟技法】
1.求圆的方程，采用待定系数法：
①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．
②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．
2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
【触类旁通】
【变式一】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式二】【2016高考浙江文数】已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 .
【答案】；5．
【解析】由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为，不表示圆．
【综合点评】
求圆的标准方程，可用待定系数法，也可直接求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；求圆的一般方程，一般都用待定系数法．
考点2 圆的方程综合应用
【2-1】【2018年全国卷Ⅲ理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【2-2】在圆上移动，试求的最小值．
【答案】
【解析】由已知得，则，即()min.所以的最小值为.
【2-3】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程．
【答案】或
【解析】设圆心为，半径为r，由条件①：.
【领悟技法】
1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆的方程；
2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；
3．解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.
【触类旁通】
【变式一】【2018届吉林省长春市普通高中一模】已知圆的圆心坐标为，则（ ）
A. 8 B. 16 C. 12 D. 13
【答案】D
【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即. 故选D.
【变式二】在圆x2+y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差，那么n的取值集合为]
A． {4，5，6，7} B． {4，5，6} ]
C． {3，4，5，6} D． {3，4，5}
【答案】A 学 ]
【解析】
圆x2+y2=5x的圆心为C ，半径为r=
【变式三】一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是 .
【答案】
【解析】先作出已知圆关于轴对称的圆，问题转化为求点到圆上的点的最短路径.结合图形可知，最短距离为点到圆心的距离与半径之差，即．
【综合点评】
在圆的综合性问题中，往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径，根据图形应用圆的几何性质.应用距离公式及基本不等式等，解决最值问题.
【易错试题常警惕】
易错典例：一条直线过点，且圆的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
易错分析：忽视斜率不存在而致误．
正确解析：圆的圆心为原点，显然原点到直线的距离为3.
温馨提醒：求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题．在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误．
【学 素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：
【典例1】【四川省宜宾县第二中学校2018届高考适应性】若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段的中点为，且，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
因为动点在直线上，动点Q在直线上，
直线与直线狐仙平行，
动点在直线上，动点在直线上，
所以的中点在与平行，且到的距离相等的直线上，
设该直线为，其方程为，
因为线段的中点为，且，
点在圆的内部或在圆上，
【典例2】已知圆方程.
（1）求的取值范围；
（2）若圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值；
（3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程.
【答案】(1)；(2) ；（3）.
【解析】
试题分析：(1)圆的方程化为标准方程,利用半径大于,可得的取值范围；(2)直线方程与圆方程联立,利用韦达定理及,建立方程,可求的值；(3)写出以为直径的圆的方程,代入条件可得结论.
试题解析：（1）由，得：，
，；
（3）圆心为，
，半径，
圆的方程.
