2018届二轮复习不等式选讲课件（全国通用）

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第十二章　选做题 1 . 绝对值不等式 (1) 含绝对值的不等式 | x |< a 与 | x |> a 的解集 : (2)|| a |-| b ||≤| a ± b |≤| a |+| b | 绝对值三角不等式的向量形式及几何意义 : 当 a , b 不共线时 , 几何意义就是三角形的两边之和大于第三边 , 三角形的两边之差小于第三边 . 2 . | ax + b |≥ c ( c >0) 和 | ax + b |≤ c ( c >0) 型不等式的解法 (1)| ax + b |≥ c ( c >0)⇔ ax + b ≤- c 或 ax + b ≥ c ; (2)| ax + b |≤ c ( c >0)⇔- c ≤ ax + b ≤ c. 第 3 节 不等式选讲 不等式 a >0 a= 0 a <0 | x |< a { x |- a < x < a } ∅ ∅  | x |> a { x | x > a   或 x < -a  } { x | x ∈R 且 x≠0} R 3 . 证明不等式的基本方法 (1) 比较法 :① 作差比较法 ;② 作商比较法 . (2) 综合法 . (3) 分析法 . (4) 放缩法 . (5) 反证法 . 4 . 基本不等式 定理 1: 如果 a , b ∈R, 那么 a 2 + b 2 ≥2 ab ( 当且仅当 a=b 时 , 等号成立 ) 定理 2: 如果 a , b ∈R + , 那么 ( 当且仅当 a=b 时 , 等号成立 ) 定理 3: 如果 a , b , c ∈R + , 那么 当且仅当 a = b = c 时 , 等号成立 ) 【 例 1】 (2014 全国新课标 (Ⅱ)) 设函数 f ( x )=| x + |+| x - a |( a >0). (1) 证明 : f ( x )≥2; (2) 若 f (3)<5, 求 a 的取值范围 . 1 . (2014 全国新课标 (Ⅰ)) 若 a >0, b >0, 且 (1) 求 a 3 + b 3 的最小值 ; (2) 是否存在 a , b , 使得 2 a +3 b =6? 并说明理由 . 2 . (2013 全国新课标 (Ⅱ)) 设 a , b , c 均为正数 , 且 a + b + c =1, 证明 : (1) ab + bc + ac ≤ (2) 3 . (2012 全国新课标 (Ⅱ)) 已知函数 f ( x )=| x + a |+| x -2| . (1) 当 a =-3 时 , 求不等式 f ( x )≥3 的解集 ; (2) 若 f ( x )≤| x- 4| 的解集包含 [1,2], 求 a 的取值范围 . 【解析】 (1)当 a =-3时, f ( x )= 当 x ≤2时,由 f ( x )≥3得 - 2 x +5≥3, 解得 x ≤1;当2< x <3时, f ( x )≥3无解;当 x ≥3时,由 f ( x )≥3得2 x- 5≥3,解得 x ≥4 . 所以 f ( x )≥3的解集为{ x | x ≤1或 x ≥4} . (2) f ( x )≤| x- 4|⇔| x- 4|-| x- 2|≥| x + a |.当 x ∈[1,2]时, | x- 4|-| x- 2|≥| x + a |⇔4 -x- (2 -x )≥| x + a |⇔-2 -a ≤ x ≤2 -a , 由条件得: - 2 -a ≤1且2 -a ≥2,即 - 3≤ a ≤0,所以满足条件的 a 的取值范围是[ - 3,0] . 4 . (2011 全国新课标 (Ⅱ)) 设函数 f ( x )=| x-a |+3 x , 其中 a >0 . (1) 当 a= 1 时 , 求不等式 f ( x )≥3 x +2 的解集 . (2) 若不等式 f ( x )≤0 的解集为 { x | x ≤-1}, 求 a 的值 . 5 . (2010 全国新课标 (Ⅱ)) 设函数 f ( x )=|2 x -4|+1 . (1) 画出函数 y=f ( x ) 的图象 ; (2) 若不等式 f ( x )≤ ax 的解集非空 , 求 a 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 由于 f ( x )= 则函数 y = f ( x ) 的图象如图所示 . (2) 由函数 y = f ( x ) 与函数 y = ax 的图象可知 , 当且仅当 a <-2 或 a ≥ 时 , 函数 y=f ( x ) 与函数 y=ax 的图象有交点 . 故不等式 f ( x )≤ ax 的解集非空时 , a 的取值范围为 (-∞,-2)∪[ ,+∞) . 6 . (2013 全国新课标 (Ⅰ)) 已知函数 f ( x )=|2 x- 1|+|2 x + a |, g ( x )= x +3 . (1) 当 a =-2 时 , 求不等式 f ( x )< g ( x ) 的解集 ; (2) 设 a >-1, 且当 x ∈ 时 , f ( x )≤ g ( x ), 求 a 的取值范围 . 7 . (2016 高考新课标 Ⅰ 文数 ) 已知函数 f ( x )=| x +1|-|2 x -3|. (1) 画出 y = f ( x ) 的图象 ; (2) 求不等式 | f ( x )|>1 的解集 . 8 . (2016 高考新课标 Ⅲ 文数 ) 已知函数 f ( x )=|2 x-a |+ a . (1) 当 a =2 时 , 求不等式 f ( x )≤6 的解集 ; (2) 设函数 g ( x )=|2 x -1| . 当 x ∈R 时 , f ( x )+ g ( x )≥3, 求 a 的取值范围 . 【解析】 (1)当 a =2时, f ( x )=|2 x -2|+2 . 解不等式|2 x -2|+2≤6,得 - 1≤ x ≤3,因此, f ( x )≤6的解集为{ x | - 1≤ x ≤3} . (2)当 x ∈R时, f ( x )+ g ( x )=|2 x-a |+ a +|1-2 x |≥|2 x-a +1-2 x |+ a =|1 -a |+ a ,当 x = 时等号成立,所以当 x ∈R时, f ( x )+ g ( x )≥3等价于|1 -a |+ a ≥3 . ① 当 a ≤1时,①等价于1- a + a ≥3,无解;当 a >1时,①等价于 a- 1+ a ≥3,解得 a ≥2,所以 a 的取值范围是[2,+∞). 10 . (2014 江苏 ) 已知 x >0, y >0, 证明 :(1+ x + y 2 )(1+ x 2 + y )≥9 xy. 11 . (2015 新课标全国 Ⅰ) 已知函数 f ( x )=| x +1|-2| x-a |, a >0 . (1) 当 a =1 时 , 求不等式 f ( x )>1 的解集 ; (2) 若 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6, 求 a 的取值范围 . 12 . (2015 陕西 ) 已知关于 x 的不等式 | x + a |< b 的解集为 { x |2< x <4} . (1) 求实数 a , b 的值 ; (2) 求 的最大值 . 14 . (2017 年全国 Ⅰ 卷 23) 已知函数 f ( x )=- x 2 + ax +4, g ( x )=| x +1|+| x -1|. (1) 当 a =1 时 , 求不等式 f ( x )≥ g ( x ) 的解集 ; (2) 若不等式 f ( x )≥ g ( x ) 的解集包含 [ - 1,1], 求 a 的取值范围 . 15 . (2017 年全国 Ⅱ 卷 23) 已知 a >0, b >0, a 3 + b 3 =2, 证明 : (1)( a + b )( a 5 + b 5 )≥4; (2) a + b ≤2 . 【证明】 (1)∵( a + b )( a 5 + b 5 )= a 6 + ab 5 + a 5 b + b 6 =( a 3 + b 3 ) 2 - 2 a 3 b 3 + ab ( a 4 + b 4 )=4+ ab ( a 2 -b 2 ) 2 ≥4 . (2)∵( a + b ) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 ab 2 + b 3 =2+3 ab ( a + b )≤2+ ( a + b )=2+ , ∴( a + b ) 3 ≤8,即 a + b ≤2 . 16 . (2017 年全国 Ⅲ 卷 23) 已知函数 f ( x )=| x +1|-| x- 2|. (1) 求不等式 f ( x )≥1 的解集 ; (2) 若不等式 f ( x )≥ x 2 -x + m 的解集非空 , 求 m 的取值范围 .