2018届二轮复习三角变换与解三角形学案
第 2 讲 三角变换与解三角形
正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：
1．边和角的计算．
2．三角形形状的判断．
3．面积的计算．
4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高
考的一个关注点，不可轻视．
热点一 三角恒等变换
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β 等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
例 1 (1)(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知 sin α－2cos α＝ 10
2 ，则 tan 2α 等于( )
A.4
3 B．－3
4
C.3
4 D．－4
3
答案 C
解析 ∵sin α－2cos α＝ 10
2 ，
∴sin2α－4sin α·cos α＋4cos2α＝5
2，
即1－cos 2α
2 －2sin 2α＋4×1＋cos 2α
2 ＝5
2，
化简得 4sin 2α＝3cos 2α，
∴tan 2α＝sin 2α
cos 2α＝3
4，故选 C.
(2)已知 sin α＝ 5
5 ，sin(α－β)＝－ 10
10 ，α，β 均为锐角，则角 β 等于( )
A.5π
12 B.π
3
C.π
4 D.π
6
答案 C
解析 因为 α，β 均为锐角，所以－π
2<α－β<π
2.
又 sin(α－β)＝－ 10
10 ，所以 cos(α－β)＝3 10
10 .
又 sin α＝ 5
5 ，所以 cos α＝2 5
5 ，
所以 sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝ 5
5 ×3 10
10 －2 5
5 ×(－ 10
10 )＝ 2
2 .
所以 β＝π
4.
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三
角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒
等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变
换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
跟踪演练 1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若 α∈(π
2，π )，且 3cos 2α＝sin(π
4－α )，则 sin 2α
的值为( )
A．－ 1
18 B. 1
18 C．－17
18 D.17
18
答案 C
解析 由 3cos 2α＝sin(π
4－α)，
可得 3(cos2α－sin2α)＝ 2
2 (cos α－sin α)，
于是 3(cos α＋sin α)＝ 2
2 ，
所以 1＋2sin αcos α＝ 1
18，
所以 sin 2α＝－17
18，故选 C.
(2)(2017 届山东省师大附中模拟)已知 sin(π
6－α )－cos α＝1
3，则 cos(2α＋π
3)＝_______.
答案 7
9
解析 ∵sin(π
6－α )－cos α＝1
2cos α－ 3
2 sin α－cos α＝－sin(α＋π
6 )＝1
3，
∴sin(α＋π
6 )＝－1
3.
则 cos(2α＋π
3)＝1－2sin2(α＋π
6 )＝7
9.
热点二 正弦定理、余弦定理
1．正弦定理：在△ABC 中， a
sin A＝ b
sin B＝ c
sin C＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝ a
2R，sin B＝ b
2R，sin C＝ c
2R，a∶b∶c＝sin
A∶sin B∶sin C 等．
2．余弦定理：在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋c2－a2
2bc .
例 2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A＋ 3cos A＝
0，a＝2 7，b＝2.
(1)求 c；
(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积．
解 (1)由已知可得 tan A＝－ 3，所以 A＝2π
3 .
在△ABC 中，由余弦定理，得 28＝4＋c2－4c·cos 2π
3 ，
即 c2＋2c－24＝0，解得 c＝－6(舍去)或 c＝4.
所以 c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝π
2，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π
6.
故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为
1
2AB·AD·sinπ
6
1
2AC·AD
＝1.
又△ABC 的面积为1
2×4×2sin∠BAC＝2 3，
所以△ABD 的面积为 3.
思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三
角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一
函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
跟踪演练 2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，且满足 acos C＝(2b－c)cos A.
(1)求角 A；
(2)若 a＝7，△ABC 的面积 S△ABC＝10 3，求 b＋c 的值．
解 (1)由 acos C＝(2b－c)cos A，
得 sin Acos C＝(2sin B－sin C)cos A，
即 sin Acos C＋cos Asin C＝2sin Bcos A，
即 sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即 sin B＝2sin Bcos A.
∵sin B≠0，∴cos A＝1
2，而 0
0，x∈R)，且函数 y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π
4.
(1)求 ω 的值及 f(x)的对称轴方程；
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分別为 a，b，c.若 f(A)＝ 3
4 ，sin C＝1
3，a＝ 3，求 b 的值.
解 (1)f(x)＝cos ωx(1
2sin ωx－ 3
2 cos ωx)＋ 3cos2ωx－ 3
4
＝1
2sin ωxcos ωx＋ 3
2 cos2ωx－ 3
4 ＝1
4sin 2ωx＋ 3
4 (1＋cos 2ωx)－ 3
4
＝1
4sin 2ωx＋ 3
4 cos 2ωx＝1
2sin(2ωx＋π
3)，
由函数 y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π
4，得 1
4T＝π
4，2π
2ω＝π，求得 ω＝1.
当 ω＝1 时，f(x)＝1
2sin(2x＋π
3).
由 2x＋π
3＝π
2＋kπ(k∈Z)，求得 x＝ π
12＋kπ
2 (k∈Z)．
即 f(x)的对称轴方程为 x＝ π
12＋kπ
2 (k∈Z)．
(2)由(1)知 f(A)＝1
2sin(2A＋π
3)＝ 3
4 ，即 sin(2A＋π
3)＝ 3
2 .
所以 2A＋π
3＝2kπ＋π
3或 2A＋π
3＝2kπ＋2π
3 ，k∈Z，
解得 A＝kπ 或 A＝π
6＋kπ，k∈Z，又 A∈(0，π)，所以 A＝π
6.
由 sin C＝1
3，C∈(0，π)，sin A＝1
2知，C<π
6，
求得 cos C＝2 2
3 .
所以 sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝ 3＋2 2
6 ，
又 a＝ 3，由正弦定理得 b＝asin B
sin A ＝
3 × 3＋2 2
6
1
2
＝3＋2 6
3 .
思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或
范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．
跟踪演练 3 (2017 届青岛市统一质量检测)已知函数 f(x)＝sin (2x＋π
3)＋cos(2x＋π
6)＋msin
2x(m∈R)，f ( π
12 )＝2.
(1)求 m 的值；
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b＝2，f (B
2 )＝ 3，△ABC 的面
积是 3，求△ABC 的周长．
解 (1)∵f ( π
12 )＝2，
∴f ( π
12 )＝sin(2 × π
12＋π
3)＋cos(2 × π
12＋π
6)＋msin(2 × π
12)＝sin π
2＋cos π
3＋m
2＝2，
解得 m＝1.
(2)由(1)知
f(x)＝sin(2x＋π
3)＋cos(2x＋π
6)＋sin 2x
＝sin 2xcos π
3＋cos 2xsin π
3＋cos 2xcos π
6－sin 2xsin π
6＋sin 2x
＝ 3cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x＋π
3)，
∴f (B
2 )＝2sin(B＋π
3 )＝ 3.
∵00)的最小正周期为2π
3 .
(1)求 ω 的值；
(2)在△ABC 中，sin B，sin A，sin C 成等比数列，求此时 f(A)的值域．
押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三
角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较
高．
解 (1)f(x)＝ 3
2 sin 2ωx－1
2(cos 2ωx＋1)＝sin(2ωx－π
6)－1
2，
因为函数 f(x)的周期为 T＝2π
2ω＝2π
3 ，
所以 ω＝3
2.
(2)由(1)知 f(x)＝sin(3x－π
6)－1
2，
易得 f(A)＝sin(3A－π
6)－1
2.
因为 sin B，sin A，sin C 成等比数列，
所以 sin2A＝sin Bsin C，
所以 a2＝bc，
所以 cos A＝b2＋c2－a2
2bc ＝b2＋c2－bc
2bc ≥2bc－bc
2bc ＝1
2(当且仅当 b＝c 时取等号)．
因为 00，sin α－cos α＝－7
5，
因此 sin α＝－3
5，cos α＝4
5，
tan α
2＝
sin α
2
cos α
2
＝
sin α
2cos α
2
cos2α
2
＝ sin α
1＋cos α＝
－3
5
1＋4
5
＝－1
3，故选 C.
4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos C＝2 2
3 ，bcos A＋
acos B＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( )
A．4π B．8π
C．9π D．36π
答案 C
解析 ∵bcos A＋acos B＝2，
∴b·b2＋c2－a2
2bc ＋a·a2＋c2－b2
2ac ＝2，
∴c＝2，由 cos C＝2 2
3 ，
得 sin C＝1
3，∴2R＝ c
sin C＝2
1
3
＝6，R＝3，
S＝π×32＝9π，故选 C.
5．若 sin 2α＝ 5
5 ，sin(β－α)＝ 10
10 ，且 α∈[π
4，π ]，β∈[π，3π
2 ]，则 α＋β 的值是( )
A.7π
4 B.9π
4
C.5π
4 或7π
4 D.5π
4 或9π
4
答案 A
解析 ∵sin 2α＝ 5
5 ，α∈[π
4，π ]，
∴cos 2α＝－2 5
5 且 α∈[π
4，π
2 ]，
又∵sin(β－α)＝ 10
10 ，β∈[π，3π
2 ]，
∴cos(β－α)＝－3 10
10 ，
∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]
＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α
＝ 10
10 ×(－2 5
5 )＋(－3 10
10 )× 5
5 ＝－ 2
2 ，
cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝(－3 10
10 )×(－2 5
5 )－ 10
10 × 5
5 ＝ 2
2 ，
又 α＋β∈[5π
4 ，2π]，∴α＋β＝7π
4 ，故选 A.
6．(2017·全国Ⅰ)已知 α∈(0，π
2 )，tan α＝2，则 cos(α－π
4 )＝________.
答案 3 10
10
解析 cos(α－π
4 )＝cos αcos π
4＋sin αsin π
4＝ 2
2 (cos α＋sin α)．
又由 α∈(0，π
2 )，tan α＝2 知，sin α＝2 5
5 ，cos α＝ 5
5 ，
∴cos(α－π
4 )＝ 2
2 ×( 5
5 ＋2 5
5 )＝3 10
10 .
7．(2017 届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九
章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十
四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三
边分别为 13 里，14 里，15 里，假设 1 里按 500 米计算，则该沙田的面积为____平方千米.
答案 21
解析 设△ABC 的对应边边长分别为 a＝13 里，b＝14 里，c＝15 里，
cos C＝132＋142－152
2 × 13 × 14＝ 5
13⇒sin C＝12
13⇒S＝1
2×13×14×12
13×250 000＝21×106(平方米)
＝21(平方千米)．
8. (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形 ABCD 中，AD＝1，CD＝2，
AC＝ 7，cos∠BAD＝－ 7
14 ，sin∠CBA＝ 21
6 ，则 BC 的长为________．
答案 3
解析 因为 cos∠BAD＝－ 7
14 ，
故 sin∠BAD＝ 1－(－ 7
14 )2＝3 21
14 ，
在△ADC 中运用余弦定理，可得
cos∠CAD＝1＋7－4
2 7
＝2 7
7 ，
则 sin∠CAD＝ 1－(2 7
7 )2＝ 21
7 ，
所以 sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝3 21
14 ×2 7
7 ＋ 7
14 × 21
7 ＝6 3＋ 3
14 ＝ 3
2 ，
在△ABC 中运用正弦定理，可得
BC
sin∠BAC＝ 7
sin∠CBA⇒BC＝ 3
2 × 7× 6
21
＝3.
9．(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(A＋C)＝8sin2B
2.
(1)求 cos B；
(2)若 a＋c＝6，△ABC 面积为 2，求 b.
解 (1)由题设及 A＋B＋C＝π，得 sin B＝8sin2B
2，
故 sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得 17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得 cos B＝1(舍去)或 cos B＝15
17.
故 cos B＝15
17.
(2)由 cos B＝15
17，得 sin B＝ 8
17，
故 S△ABC＝1
2acsin B＝ 4
17ac.
又 S△ABC＝2，则 ac＝17
2 .
由余弦定理及 a＋c＝6，
得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2×17
2 ×(1＋15
17)＝4，
所以 b＝2.
10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知 f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω > 0，|φ| < π
2)满足 f (x＋π
2 )＝－f(x)，
若其图象向左平移π
6个单位长度后得到的函数为奇函数．
(1)求 f(x)的解析式；
(2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足(2c－a)cos B＝bcos A，求 f(A)
的取值范围．
解 (1)∵f (x＋π
2 )＝－f(x)，
∴f(x＋π)＝－f (x＋π
2 )＝f(x)，
∴T＝π，∴ω＝2，
则 f(x)的图象向左平移π
6个单位长度后得到的函数为 g(x)＝sin(2x＋π
3＋φ)，而 g(x)为奇函数，
则有π
3＋φ＝kπ，k∈Z，而|φ|<π
2，则有 φ＝－π
3，
从而 f(x)＝sin(2x－π
3).
(2)∵(2c－a)cos B＝bcos A，
由正弦定理得 2sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C，
又 C∈(0，π
2 )，∴sin C≠0，
∴cos B＝1
2，∴B＝π
3.
∵△ABC 是锐角三角形，C＝2π
3 －A<π
2，
∴π
6
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