2019-2020学年山东济南高二上数学月考试卷
2019-2020学年山东济南高二上数学月考试卷
一、选择题
1. 已知全集U={1,2,3,4} ,集合A={1,4}，集合B={2,4}，则∁U(A∪B)=( )
A.3 B.{3} C.{1,2,4} D.{1,2,3}
2. 函数y=lg(2x+1)的定义域为( )
A.{x|x<−12} B.{x|x≠−12} C.{x|x≥−12} D.{x|x>−12}
3. 在数学考试中，小强的成绩不低于90分的概率是0.1，分数在[80,90)之间的概率是0.5，在[70,80)之间的概率是0.2，则小强的数学成绩不低于70分的概率为( )
A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.5
4. 已知向量a→=(2, 0)，向量b→=(−1, 1)，则向量2a→−b→的坐标是( )
A.(5,−1) B.(−1,5) C.(3,1) D.(1,3)
5. 已知直线2x+y−7=0与直线4x−my+1=0平行，则m的值等于( )
A.−8 B.2 C.−2 D.8
6. 下列函数中，图象经过点(1, 0)的是（ ）
A.y=2x B.y=x2 C.y=x12 D.y=log2x
7. 已知向量a→与b→满足|a→|=2，|b→|=3，a→与b→的夹角为2π3，则a→⋅b→=( )
A.3 B.−3 C.−33 D.33
8. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递减的是（ ）
A.y=−x2+1 B.y=e−x C.y=1x D.y=lg|x|
9. 已知某高中学校共3000人，其中高一年级1200人，高二年级1000，高三年级800.用分层抽样的方法从中抽取300人进行体质健康检测，那么从高一年级应抽取的人数为( )
A.80 B.100 C.120 D.140
10. 函数y=cos2x−sin2x是( )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π2的奇函数
C.周期为π的偶函数 D.周期为π2的偶函数
11. 从甲乙丙丁戊5位老师中选2位代表去参观博物馆，其中老师甲被选中的概率是( )
A.14 B.15 C.310 D.25
12. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，则函数y=(12)x−1的图象大致是( )
A. B.
C. D.
13. 为得到函数y=sin(2x−π6)的图象，只需将函数y=sin2x图象上所有点( )
A.向右平移π12个单位 B.向左平移π12个单位
C.向右平移π6个单位 D.向左平移π6个单位
14. 圆x2+y2−6x=0和圆x2+y2=1的位置关系是（ ）
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A.相离 B.外切 C.内切 D.相交
15. 某校1000名学生的高中数学合格考考试成绩的频率分布直方图如图所示.规定60分以上(含60分)为合格，则该校合格考的合格率为( )
A.0.3 B.0.65 C.0.9 D.0.95
16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=263，c=2，A=45∘，则C 等于( )
A.60∘ B.120∘ C.60∘或120∘ D.30∘或150∘
17. 已知0
0，2x,x<0， 若f(f(m))=12，则实数m的值为________
三、解答题
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1，求证：AC⊥平面 BB1D1D．
已知函数f(x)=2cos2x．
(1)求f(π6)；
(2)求函数f(x)的最大值.
已知函数f(x)=−x2+2ex+m−1，g(x)=x+e2x(x>0).
(1)证明函数g(x)在[e,+∞)上单调递增；
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(2)确定m的取值范围，使得关于x的方程g(x)−f(x)=0有两个相异实数根.
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参考答案与试题解析
2019-2020学年山东济南高二上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ A={1,4}，B={2，4},
∴ A∪B={1,2,4}.
∵ U={1,2,3,4},
∴ ∁U(A∪B)={3}.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得：2x+1>0，
即x>−12.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
概率的意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：小强数学成绩不低于70分的概率为0.1+0.5+0.2=0.8.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
由已知中向量a→=(−1, 2)，b→=(1, 0)，根据数乘向量坐标运算公式及向量减法坐标运算公式，可求出向量3b→−a→的坐标．
【解答】
解：∵ a→=(2, 0)，b→=(−1, 1)，
∴ 向量2a→−b→=2(2, 0)−(−1, 1)=(5, −1).
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
利用直线l1:2x+(m+1)y+4=0和直线l2:mx+3y−2=0平行，2m=m+13≠4−2，即可求出m的值．
【解答】
解：∵ 直线2x+y−7=0和直线4x−my+1=0平行，
∴ 24=1−m≠−71，
解得：m=−2.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选项A，把x=1代入可得y=2，图象不过(1, 0)，故错误；
选项B，把x=1代入可得y=1，图象不过(1, 0)，故错误；
选项C，把x=1代入可得y=1，图象不过(1, 0)，故错误；
选项D，把x=1代入可得y=0，图象过(1, 0)，故正确.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
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【解析】
利用向量数量积的定义即可得出．
【解答】
解：∵ 向量a→与b→满足|a→|=2，|b→|=3，a→与b→的夹角为2π3，
∴ a→⋅b→=|a→||b→|cosθ=2×3cos2π3=−3.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
【解答】
解：A中，y=−x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在(0, +∞)上单调递减；
B中，y=e−x为非奇非偶函数，故排除B；
C中，y=1x为奇函数，故排除C；
D中，y=lg|x|为偶函数，在x∈(0, +∞)上单调递增，故排除D．
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得，12003000×300=120(人).
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
二倍角的余弦公式
求二倍角的余弦
三角函数的周期性及其求法
【解析】
把函数关系式利用二倍角的余弦函数公式变形后，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的周期，根据余弦函数为偶函数得到已知函数为偶函数，即可得到正确的选项．
【解答】
解：函数y=cos2x−sin2x=cos2x，
∵ ω=2，∴ T=2π2=π，
又y=cos2x为偶函数，
则函数函数y=cos2x−sin2x是周期为π的偶函数．
故选C.
11.
【答案】
D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
根据题意，用列举法可得从4名选手中选取2人的情况数目以及甲被选中的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，从甲、乙、丙、丁、戊中选取2人，
有（甲、乙）（甲、丙）（甲、丁）（甲、戊）（乙、丙）
（乙、丁）（乙、戊）（丙、丁）（丙、戊）（丁、戊），
共10种不同的取法，
甲被选中的有（甲、乙）（甲、丙）（甲、丁）（甲、戊），共4种，
则甲被选中的概率是410=25.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
指数函数的图象
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
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解：由题意可知，y=(12)x−1，
当x=0时，y=(12)0−1=1−1=0，
即函数图象经过原点，故排除A，C；
由指数函数图象的性质可知，0<12<1，
则y=(12)x−1图象在R上为单调递减函数，
故选B.
13.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
根据函数y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：将函数y=sin2x的图象向右平移π12个单位长度，可得函数y=sin2(x−π12)=sin(2x−π6)的图象.
故选A.
14.
【答案】
D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距MN等于两圆的半径之和，可得两圆相外切．
【解答】
解：圆x2+y2−6x=0即(x−3)2+y2=9，表示以M(3, 0)为圆心、半径等于3的圆，
圆x2+y2=1表示以N(0, 0)为圆心、半径等于1的圆，
由于两圆的圆心距3−1n>1.
故选B．
18.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若α⊥γ,β⊥γ，则α与β可能平行可能相交，故A错误；
若m⊥β,l⊥m，则l//β或l⊂β，故B错误；
若m⊥γ,n⊥γ，则n//m，垂直于同一平面的两条直线互相平行，故C正确；
若m⊥γ,l⊥m，则l//γ或l⊂γ，故D错误.
故选C.
19.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
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三角形的形状判断
【解析】
通过已知表达式，利用余弦定理转化为边的关系，即可判断三角形的形状．
【解答】
解：∵ sinAcosB=sinC，
∴ sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴ cosAsinB=0，
∴ cosA=0或sinB=0，
即A=90∘或B=180∘(舍).
所以三角形是直角三角形．
故选A.
20.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据已知表中数据，可计算出数据中心点(X¯, Y¯)的坐标，根据数据中心点一定在回归直线上，将(X¯, Y¯)的坐标代入回归直线方程y=0.7x+0.35，解方程可得m的值
【解答】
解：由表格中的数据可得：
x¯=(0+1+3+4)÷4=2，
y¯=(2.5+3.5+4.5+5.5)÷4=4.
∵ 数据中心点(x¯, y¯)一定在回归直线上，
∴ 4=0.8×2+a，
解得a=2.4.
故选B.
二、填空题
【答案】
32
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：cos(−330∘)=cos(30∘−360∘)=cos30∘=32.
故答案为：32.
【答案】
83
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：样本3，5，7的平均数是3+5+73=5，
样本3，5，7的方差为(3−5)2+(5−5)2+(7−5)23=83.
故答案为：83.
【答案】
16π
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：绕AC旋转，则旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AC为高的圆锥，
所以圆锥的体积为V=13πr2h=13π×42×3=16π．
故答案为：16π.
【答案】
(2,−2)或(−2,2)
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设向量c→的坐标为(x,y)，
∵ c→//a→，
则x1=y−1，即x=−y，
又|c→|=22，
∴ x2+y2=22，
解得x=−2，y=2或x=2，y=−2.
故答案为：(2,−2)或(−2,2).
【答案】
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12.
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 函数f(x)=1x,x>0，2x,x<0， 且f(f(m))=12，
∴ 若m>0时，f(m)=1m>0，
f(f(m))=11m=m=12；
若m<0时，f(m)=2m>0，
f(f(m))=12m=12，
解得m=1>0，舍去.
综上m=12.
故答案为：12.
三、解答题
【答案】
证明：在正方体 ABCD−AB1C1D1中，
底面四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，
又∵ BB1⊥ 平面ABCD，且AC⊂平面ABCD
∴ BB1⊥AC，
又∵ BB1∩BD=B，
∴ AC⊥ 平面 BB1D1D．
【考点】
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：在正方体 ABCD−AB1C1D1中，
底面四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，
又∵ BB1⊥ 平面ABCD，且AC⊂平面ABCD
∴ BB1⊥AC，
又∵ BB1∩BD=B，
∴ AC⊥ 平面 BB1D1D．
【答案】
解：(1)f(π6)=2cos2π6=2×(32)2
=32；
(2)f(x)=2cos2x=cos2x+1，
所以，当cos2x=1，即2x=2kπ(k∈Z)，
也就是x=kπ(k∈Z)时，函数f(x)有最大值2．
【考点】
二倍角的余弦公式
三角函数的最值
余弦函数的定义域和值域
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f(π6)=2cos2π6=2×(32)2
=32；
(2)f(x)=2cos2x=cos2x+1，
所以，当cos2x=1，即2x=2kπ(k∈Z)，
也就是x=kπ(k∈Z)时，函数f(x)有最大值2．
【答案】
(1)证明：任取 x1,x2∈[e,+∞)，且ee2，即e2−x1x2<0，
所以g(x2)−g(x1)>0即g(x2)>g(x1)，
所以函数g(x)在[e,+∞)上单调递增.
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(2)解：因为f(x)=−x2+2ex+m−1=−(x−e)2+m−1+e2，
所以f(x)的图象开口向下，对称轴为x=e，值域(−∞,e2+m−1]，
当且仅当x=e时f(x)max=e2+m−1.
因为函数g(x)是对号函数，在(0,e]上单调递减，在[e,+∞)上单调递增，
所以g(x)的值域为[2e,+∞)，当且仅当x=e时g(x)min=2e，
g(x)−f(x)=0 有两个相异实数根，
⇔函数y=g(x)和y=f(x)的图象有两个不同的交点
⇔g(x)mine2，即e2−x1x2<0，
所以g(x2)−g(x1)>0即g(x2)>g(x1)，
所以函数g(x)在[e,+∞)上单调递增.
(2)解：因为f(x)=−x2+2ex+m−1=−(x−e)2+m−1+e2，
所以f(x)的图象开口向下，对称轴为x=e，值域(−∞,e2+m−1]，
当且仅当x=e时f(x)max=e2+m−1.
因为函数g(x)是对号函数，在(0,e]上单调递减，在[e,+∞)上单调递增，
所以g(x)的值域为[2e,+∞)，当且仅当x=e时g(x)min=2e，
g(x)−f(x)=0 有两个相异实数根，
⇔函数y=g(x)和y=f(x)的图象有两个不同的交点
⇔g(x)min
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