- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习北师大版第二节三角恒等变换与解三角形学案
第二节 三角恒等变换与解三角形 【高考考情解读】 1、和差角公式、二倍角公式是高考的热点,常与三角函数式的求值、化简交汇命题.既有选择题、填空题,又有解答题,难度适中,主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力. 2、正、余弦定理及解三角形是每年高考的热点问题之一,是解答题的第一题,主要考察三角形中的边角关系的互化、三角形面积的计算等问题。 【主干知识】 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式; 2、 倍角公式; 3、 半角公式; 4、 正、余弦定理; 5、 三角形面积公式; 6、 解三角形基本题型:(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解:(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况不唯一;(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解;(4)已知三边,利用余弦定理求解。 【专项研究】 专项一 三角恒等变换 “变”是解决三角问题的主题,变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是,强化变换意识,抓住万变不离其宗——即公式不变,方法不变,要通过分析、归类把握其规律。 需要关注的易错易混点: (1)三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪个角,条件中有没有这些角,在审题中必须认真观察和分析.常见的变角方式有: α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α;α可视为的倍角;±α可视为(±2α)的半角等等.当然变换形式不惟一,应因题而异. (2)解题前要善于分析题目中所给式子的结构,掌握结构的特点,通过降幂、升幂、常数代换等手段,为使用公式创造条件,这是三角变换的重要策略. 例1、 (2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________. 例2、设α∈,β∈,且tan α=,则( ) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= :学_ _ ] 例3、若sin2α= ,sin(β-α)= ,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是( ) A B C 或 D 或 课堂练习: 1、已知sin(α+)=,则cos(-2α)的值等于____________。 2、已知cos α=,则cos2α+sin2α的值为________。 3、已知α为锐角,且cos=,则sin α=________。 4、设α为锐角,若cos=,则sin的值为________。 5、已知α∈,sin α=,(1)求sin的值;(2)求cos的值. 课后作业: 1、【2015高考新课标1,理2】 =( ) A B C D 2、【2015高考重庆,理9】若,则( ) A、1 B、2 C、3 D、4 3、【2016年全国III高考】若 ,则 ( ) A B C 1 D 4、【2016年全国II高考】若,则( ) A B C D 5、已知tan(π-α)=,则=( ) A B C - D - 6、已知cos( +α)= ,且-π<α<-,则cos (-α)等于( ) A B - C D - 7、若α∈(0,),且cos2α+cos(+2α)= ,则tanα=( ) A B C D 8、已知cos(α-)+sinα= ,则sin(α+ )的值为( C ) A B C - D- 9、【2016陕西二检】已知tanα= ,则sin4α-cos4α的值为( ) A - B C D - 10、【2016沈阳三模】已知θ∈(-,)且sinθ+cosθ=a,其中a∈(0,1),则tanθ的可能取值是( ) A -3 B 3或 C - D -3或- 答案:【2016陕西二检】已知tanα= ,则sin4α-cos4α的值为( ) A - B C D - 例1、 解:将θ-转化为(θ+ )-。由题意知sin(θ+ )= ,θ是第四象限角, ∴cos(θ+ )>0,∴cos(θ+ )= ,tan(θ-)=tan(θ+ -)=- ==- 例2、解:由tanα= 得 = ,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)= cosα,又cosα=sin(-α),所以sin(α-β)= sin(-α),又因为α∈(0,),β∈(0,),所以-<α-β<,0<-α<,所以α-β= -α,所以2α-β= 。故选C。 例3、解:因为α∈[,π],所以2α∈[,2π],又sin2α= ,故2α∈[,π],α∈[,],所以cos2α= - 。又β∈[π,],故β-α∈[,],于是cos(β-α)=- ,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)= - ×(- )-×= ,且α+β∈[,2π],故α+β=。所以选A。 课堂练习:1、- 2、 3、 4、 5、解:(1)因为α∈,sin α=,所以cos α=-=-. 故sin=sincos α+cossin α=×+×=-. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=, 所以cos=coscos 2α+sinsin 2α=×+×=-. 课后作业:DCADC DBCCC 专项二 解三角形 熟练掌握正、余弦定理及以下变形: (1)正弦定理的各种形式: 形式一:===2R; 形式二:sin A=;sin B=;sin C=;(角到边的转换) 形式三:a=2R·sin A,b=2R·sin B,c=2R·sin C; (边到角的转换) 形式四:S=absin C=bcsin A=acsin B;(求三角形的面积). (2)余弦定理的各种形式: 形式一:a2=b2+c2-2bc·cos A,b2=a2+c2-2ac·cos B,c2=a2+b2-2ab·cos C; 形式二:cos A=,cos B=,cos C=.(角到边的转换) (3)解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图 帮助理解”. 例1、【2015高考安徽,理16】在中,,点D在边上,,求的长。 例2、【2016年全国I高考】的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (1)求C; (2)若的面积为,求的周长. 例3、【2016年浙江高考】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知b+c=2a cos B. (1)证明:A=2B; (2)若△ABC的面积,求角A的大小。 例4、【2014浙江卷】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B. (1)求角C的大小; (2)若sin A=,求△ABC的面积. [ : ] 课堂练习: 1、已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边.若cos B=,a=10,△ABC的面积为42,则b+的值为________. 2、【2014·安徽卷】 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a的值;(2)求sin的值. 3、【2014·全国卷】 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B. 课后作业: 1、.【2014·天津卷】 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为________. 2、【2014·广东卷】 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=_______. 3、【2014·福建卷】在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 ,则△ABC的面积等于________. 4、【2015江苏高考,15】(本小题满分14分)在中,已知AB=2,AC=3,A=60º。 (1)求的长; (2)求的值. 5、【2016年四川高考】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且. (I)证明:; (II)若,求. A B C D 6、【2014·北京卷】 如图12,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=. (1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC的长. 例1、 解:如图,设的内角所对边的长分是,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos∠BAC =(3)2+62-2×3×6×cos=18+36―(―36)=90, 所以。又由正弦定理得。 由题设知,所以。在中,由正弦定理得。 例2、解:(1)由正弦定理得: ∵,∴ ∴,∵∴ ⑵ 由余弦定理得: 即 ∴∴ ∴周长为 例3、解:(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAsinB,故 2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B)。又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B。因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B。 (2)由得,故有, 因,得.又,,所以. 当时,;当时,.综上,或. 例4、解:(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=。 (2)由c=,sin A=,=,得a=.由a查看更多