高中数学第二章数列专题数列求和课时作业含解析新人教A版必修5

高中数学第二章数列专题数列求和课时作业含解析新人教A版必修5

课时作业17　数列求和 时间：45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　C　)‎ A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1‎ C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2‎ 解析：Sn＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝2n＋1＋n2－2.‎ ‎2．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 012等于(　A　)‎ A．1 006 B．－1 006‎ C．2 012 D．－2 012‎ 解析：S2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006.‎ ‎3．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为(　C　)‎ A．11 B．99‎ C．120 D．121‎ 解析：∵an＝＝－，‎ ‎∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎＝(－1)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝－1，‎ 令－1＝10，得n＝120.‎ ‎4．数列1，，，…，的前n项和为(　B　)‎ A． B． C． D． 解析：该数列的通项为an＝，分裂为两项差的形式为an＝2，令n＝1,2,3，…，则 Sn＝2，‎ ‎∴Sn＝2＝.‎ ‎5．数列1×，2×，3×，…的前n项和为(　B　)‎ 5‎ A．2－－ B．2－－ C．(n2＋n－2)－ D．n(n＋1)＋1－ 解析：∵Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，①‎ ‎∴Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×.②‎ 由①－②，得Sn＝＋＋＋…＋－n× ‎＝－n× ‎＝1－－，‎ ‎∴Sn＝2－－.‎ ‎6．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于(　A　)‎ A．1 006 B．2 012‎ C．503 D．0‎ 解析：∵函数y＝cos的周期T＝＝4，‎ ‎∴可分四组求和：a1＋a5＋…＋a2 009＝0，‎ a2＋a6＋…＋a2 010＝－2－6－…－2 010‎ ‎＝＝－503×1 006，‎ a3＋a7＋…＋a2 011＝0，‎ a4＋a8＋…＋a2 012＝4＋8＋…＋2 012‎ ‎＝＝503×1 008.‎ 故S2 012＝0－503×1 006＋0＋503×1 008‎ ‎＝503×(－1 006＋1 008)＝1 006.‎ 二、填空题 ‎7．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝(10n－1)＋n2.‎ 解析：数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．‎ 所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.‎ ‎8．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝153.‎ 解析：∵an＝2n－7，‎ 5‎ ‎∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，a5＝3，…，a15＝23，‎ ‎∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.‎ ‎9．数列，，，，…的前n项和等于－.‎ 解析：∵an＝＝，‎ ‎∴Sn＝ ‎＝ ‎＝－.‎ 三、解答题 ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝n2＋n.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设的前n项和为Tn，求证Tn<1.‎ 解：(1)∵Sn＝n2＋n，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，‎ 又a1＝2满足上式，∴an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：∵Sn＝n2＋n＝n(n＋1)，‎ ‎∴＝＝－，‎ ‎∴Tn＝＋＋…＋ ‎＝1－.‎ ‎∵n∈N*，∴>0，即Tn<1.‎ ‎11．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解：(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.‎ 而a1＝2，符合上式，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.‎ ‎(2)由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，　①‎ 5‎ 从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.　②‎ ‎①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，‎ 即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋sin2，则该数列的前18项和为(　D　)‎ A．2 101 B．2 012‎ C．1 012 D．1 067‎ 解析：由题意可得a3＝a1＋1，a5＝a3＋1＝a1＋2，所以奇数项组成以公差为1，首项为1的等差数列，共有9项，因此S奇＝＝45.偶数项a4＝2a2，a6＝2a4＝22a2，因此偶数项组成以2为首项，2为公比的等比数列，共有9项，所以S偶＝＝－2＋210＝1 022.故数列{an}的前18项和为1 022＋45＝1 067.‎ ‎13．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为(　A　)‎ A．4(1－) B．4(－)‎ C．1－ D．－ 解析：∵an＝＝＝，‎ ‎∴bn＝＝＝4(－)．‎ ‎∴Sn＝4(1－＋－＋－＋…＋－)‎ ‎＝4(1－)．‎ ‎14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝2，S2k＝18，则S4k＝(　C　)‎ A．24 B．28‎ C．92 D．54‎ 解析：由等差数列的性质知Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k仍成等差数列，所以新的公差为14，所以Sk＋S3k－S2k＝2(S2k－Sk)，所以S3k＝3(S2k－Sk)＝48，S2k－Sk＋S4k－S3k＝2(S3k－S2k)，所以S4k＝3(S3k－S2k)＋Sk＝92.‎ ‎15．在等差数列{an}中，公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ 5‎ ‎(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.‎ 解：(1)根据题意，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，‎ 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ ‎(2)bn＝a＝n(n＋1)．‎ Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．‎ bn＋1－bn＝2(n＋1)．‎ 当n为偶数时，‎ Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1)＋bn ‎＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝.‎ 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)‎ ‎＝－n(n＋1)＝－.‎ 所以Tn＝ 5‎