【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1节学案
第1节 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
知 识 梳 理
1.函数的基本概念
(1)函数的定义
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.
(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.
(3)表示函数的常用方法有：列表法、图像法和解析法.
(4)分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数.
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
2.函数定义域的求法
类型
x满足的条件
，n∈N＋
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)
f(x)＞0
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
[常用结论与微点提醒]
1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.
2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像有0个或1个交点.
3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)f(x)＝＋是一个函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.
(3)错误.f(x)＝＋中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材习题改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图像不表示函数；D中函数值域不是[0，2].
答案 B
3.(2018·西安模拟)函数y＝的定义域为( )
A.(－2，1) B.[－2，1] C.(0，1) D.(0，1]
解析 由解得0
1，
∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，
因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
答案 C
5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图像过点(－1，4)，则a＝________.
解析 由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax3－2x的图像上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.
答案 －2
考点一 求函数的定义域
【例1】 (1)(2018·九江七校联考)函数y＝的定义域是( )
A.(－1，3) B.(－1，3]
C.(－1，0)∪(0，3) D.(－1，0)∪(0，3]
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________.
解析 (1)由题意得⇒－11，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞).
(2)易知f [f(x)]＝f [lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，
则解得－91)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，
则2ax＋a＋b＝x－1，
∴即∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)在f(x)＝2f ·－1中，
将x换成，则换成x，
得f ＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
答案 (1)lg(x>1) (2)x2－x＋2 (3)＋
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与f 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
【训练2】 (1)已知f(x)是一次函数，且f [f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )
A.x＋1 B.2x－1
C.－x＋1 D.x＋1或－x－1
(2)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________.
解析 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f [f(x)]＝x＋2，
得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2.
∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1，则f(x)＝x＋1.
(2)当x∈(－1，1)时，
有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).①
将x换成－x，则－x换成x，
得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1).
答案 (1)A (2)lg(x＋1)＋lg(1－x)(－11，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2(a＋1－1)，
解得a＝，∴f ＝f(4)＝2(4－1)＝6.
答案 C
命题角度2 求参数的值或自变量取值范围
【例3－2】 (1)设函数f(x)＝若f ＝4，则b＝( )
A.1 B. C. D.
(2)(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________.
解析 (1)f ＝3×－b＝－b，
若－b<1，即b>时，
则f ＝f ＝3－b＝4，
解之得b＝，不合题意舍去.
若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
(2)当x≤0时，f(x)＋f ＝(x＋1)＋，
原不等式化为2x＋>1，解得－1，该式恒成立，
当x>时，f(x)＋f ＝2x＋2x－，
又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，
综上可知，不等式的解集为.
答案 (1)D (2)
规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，
但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A.－ B.－
C.－ D.－
(2)(2018·厦门模拟)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，
即2a－1＝－1，不成立，舍去；
当a>1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，
即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，
此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.
(2)当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解得0≤a<.
答案 (1)A (2)
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.函数g(x)＝＋log2(6－x)的定义域是( )
A.{x|x>6} B.{x|－3－3} D.{x|－3≤x<6}
解析 由解得－3≤x<6，故函数的定义域为{x|－3≤x<6}.
答案 D
2.设f(x)＝则f(f(－2))等于( )
A.－1 B. C. D.
解析 因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f(f(－2))＝f ＝1－＝1－＝.
答案 C
3.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
解析 取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A.
答案 B
4.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y＝x B.y＝lg x
C.y＝2x D.y＝
解析 函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B；D中y＝的定义域、值域均为(0，＋∞).
答案 D
5.(2018·石家庄质检)设函数f(x)＝若f ＝2，则实数a为(
)
A.－ B.－ C. D.
解析 易得f ＝2×＋a＝＋a.
当＋a<1时，f ＝f ＝3＋3a，
所以3＋3a＝2，a＝－不满足＋a<1，舍去.
当＋a≥1时，即a≥－时，
f ＝log2＝2，解得a＝.
答案 D
6.(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.若f ＝f，则f(5a)的值是( )
A. B.
C.－ D.
解析 由题意f ＝f ＝－＋a，
f ＝f ＝＝，
∴－＋a＝，则a＝，
故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案 C
7.设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A.|x|＝x|sgn x| B.|x|＝xsgn|x|
C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x
解析 当x>0时，|x|＝x，sgn x＝1，则|x|＝xsgn x；
当x<0时，|x|＝－x，sgn x＝－1，则|x|＝xsgn x；
当x＝0时，|x|＝x＝0，sgn x＝0，则|x|＝xsgn x.
答案 D
8.(2018·汉中调研)已知函数f(x)满足f ＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝( )
A.－ B. C. D.－
解析 令x＝2，可得f ＋f(－2)＝4，①
令x＝－，可得f(－2)－2f ＝－1，②
联立①②解得f(－2)＝.
答案 C
二、填空题
9.函数f(x)＝ln＋的定义域为________.
解析 要使函数f(x)有意义，
则⇒⇒00，且x＝log2t，
∴f(t)＝3＋log2t，即f(x)＝3＋log2x，x>0.
则有log2a＋3＝5，解之得a＝4.
答案 4
11.已知函数f(x)满足f ＝log2，则f(x)的解析式是________.
解析 根据题意知x>0，所以f ＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
答案 f(x)＝－log2 x
12.设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________.
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝2－.
故x的集合为.
答案
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A.(2，3) B.(2，4]
C.(2，3)∪(3，4] D.(－1，3)∪(3，6]
解析 要使函数f(x)有意义，应满足
∴则22时，f(x)＝f(x＋5)，
∴f(2 017)＝f(2 012)＝…＝f(2)＝e2.
答案 e2
16.(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝则f[f(x)]<2的解集是________.
解析 当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，则f[f(x)]<2解集为∅.
当x<1时，f(x)＝2ex－1<2.
所以f[f(x)]<2等价于f(x)<1，则2ex－1<1，得x<1－ln 2.
故f[f(x)]<2的解集为(－∞，1－ln 2).
答案 (－∞，1－ln 2)
