福建省南平市邵武市第四中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com 福建省南平市邵武市第四中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题数学试卷 一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知全集，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行补集、交集的运算即可．‎ ‎【详解】由题意，.故选C ‎【点睛】本题主要考查集合的交集与补集运算，属于基础题．‎ ‎2.设函数=则 ( )‎ A. B. C. 1 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式得到=，.‎ ‎【详解】函数=,=,.‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】这个题目考查了分段函数的解析式和性质，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;‎ 求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎3.函数的定义域是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数成立的条件建立不等式关系即可求函数的定义域．‎ ‎【详解】解：要使函数有意义，则，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 即函数的定义域为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．‎ ‎4.函数的零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：‎ ‎，‎ 利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：三个防范　一是严格把握零点存在性定理的条件，；‎ 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；‎ 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.‎ ‎5.三个数 之间的大小关系是 ( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的性质、对数函数的性质确定所在的区间，从而可得结果.‎ ‎【详解】由对数函数的性质可知，‎ 由指数函数的性质可知，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2-x，则f（1）=（　　）‎ A. 1 B. 3 C. D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得f（-1）=3，利用奇函数性质可得f（1）．‎ ‎【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），‎ 又当x≤0时，f（x）=2x2-x，∴f（-1）=3，‎ ‎∴f（1）=-f（-1）=-3，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法及函数奇偶性的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎7.若偶函数在（-∞，-1）上是增函数,则下列关系式中成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为是偶函数,所以,又因为在（-∞，-1）上是增函数, ,所以有,即.‎ 故选A ‎8.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为 的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：‎ 那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：‎ 考点：三视图 ‎9.函数y＝的图象大致是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；‎ 取x＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；‎ 当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C.‎ ‎10.若函数不是单调函数，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题二次函数的性质，要使得函数在不是单调函数，得到，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴的方程为的抛物线，‎ 要使得函数在不是单调函数，‎ 则满足，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记一元二次函数的图象与性质，列出不等关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.函数在上是减函数，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解 ‎【详解】解：依题意，，解得，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点处函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全．‎ ‎12.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案．‎ ‎【详解】解：∵对任意的恒成立，‎ ‎∴在上是减函数，‎ 又，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ 又是偶函数，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴的解为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知幂函数的图象经过点，则的值为______．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数的解析式为，代入点，求得，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】设幂函数的解析式为，‎ 因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，以及解析式的求解与应用，其中解答中熟记幂函数的概念，求得幂函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知集合，，且，则实数的值是______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由相等集合，则集合间元素相同，又由集合元素的互异性可得 ，求解即可.‎ ‎【详解】解：由，结合集合元素的互异性可得 ，解得，‎ 故答案为0.‎ ‎【点睛】本题考查了由集合相等求参数的值，重点考查了集合元素的互异性，属基础题.‎ ‎15.函数的单调递减区间为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据真数大于0，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间．‎ ‎【详解】解：由得：，‎ 故函数的定义域是；‎ 令，则，‎ ‎∵减函数，‎ 在上增函数，在上为减函数；‎ 故函数的单调递减区间为是．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的图象和性质，难度中档．‎ ‎16.用一个边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为 ___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题易知圆柱的底面面的周长为2R，求得体积，再半圆弧为圆锥的底面圆的周长，易求得，即可得出答案.‎ ‎【详解】由题，圆柱的底面面的周长为2R，设底面圆的半径为，可得 圆柱的高为2R，所以体积为： ‎ 用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面,易知半圆弧为圆锥的底面圆的周长：，设圆锥下底面圆半径，可得，圆锥的高： ‎ 所以圆锥的体积： ‎ 所以 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了立体几何的圆柱以及圆锥，熟悉图形的构造是解题的关键，一定要清楚知道下底面的圆的周长，属于中档题.‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.不用计算器计算：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）设求的值；‎ ‎【答案】（1）(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：（1）原式 ‎ ‎（2）‎ ‎18.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|23时,A∩C≠，‎ 所以,所求实数a的取值范围是(3,+∞)｡‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交并补运算，由集合的运算结果确定参数取值范围的方法，数轴表示集合的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；‎ ‎（2）由函数的单调性即可得函数最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：在区间上是增函数.‎ 证明如下：‎ 任取，且，‎ ‎.‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴函数在区间上是增函数.‎ ‎（2）由（1）知函数在区间上是增函数，‎ 故函数在区间上的最大值为，‎ 最小值为.‎ 点睛： 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；‎ ‎（4）下结论.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求函数的解析式．‎ ‎（2）若关于的方程有两个实根，其中一个实根在区间 内，另一个实根在区间内，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数满足，可得，即可求解函数的解析式；‎ ‎（2）由，得，设，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数满足，‎ 因为，‎ 所以函数的解析式为.‎ ‎（2）因为，整理得，‎ 又因为方程有两个实根，且，，‎ 设，由二次函数的图象与性质，‎ 可得，解得 则实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用配方法求解解析式，以及熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）判断的奇偶性并给予证明；‎ ‎（3）求关于x的不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由函数的分析式分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，由函数的分析式分析可得，结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；‎ ‎（3）根据题意，分与两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．‎ ‎【详解】解：（1）根据题意，函数，‎ 则有，解可得，‎ 即函数的定义域为；‎ ‎（2）首先，定义域关于原点对称，函数，‎ 则 则函数为奇函数，‎ ‎（3）根据题意，即，‎ 当时，有，解可得，此时不等式的解集为；‎ 当时，有，解可得，此时不等式的解集为；‎ 故当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要依据有：‎ ‎（1）分式的分母不为零；（2）偶次被开方式不小于零；（3）对数的真数大于零等.‎ 解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若是定义在上的偶函数，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，求函数的零点．‎ ‎【答案】（1）；（2）有两个零点，分别为和 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由函数为偶函数得即可求实数的值；‎ ‎（2），计算令，则即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)解：∵是定义在上的偶函数.‎ ‎∴，即 故.经检验满足题意 ‎（2）依题意 ‎.‎ 则由，得，‎ 令，则 解得.‎ 即.‎ ‎∴函数有两个零点，分别为和.‎ ‎ ‎