2020届二轮复习三角函数（二）学案（全国通用）
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
三角函数（二）
教学目的
教学内容
第三节 三角函数的图像与性质
（一）高考目标
考纲解读
1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
考向预测
1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点．
2．三角函数图像的对称性也是高考的一个热点．
3．主要以选择题、填空题的形式考查．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．“五点法”作图原理
在确定正弦函数y=sinx在上的图像形状时，起关键的五点是：
、 、 、 、 。
余弦函数呢？
2．三角函数的图像和性质
3．周期函数及最小正周期
一般地对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0且为常数)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝.
（三）基础自测
1．(2018·湖北文)函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为( )
A. B．π C．2π D．4π
[答案] D
[解析] 本题主要考查三角函数中的周期性．∵ω＝，T＝＝4π.
2．(理)(2018·陕西理)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递增的 B．f(x)的图像关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
[答案] B
[解析] 本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π，最大值为1，故C、D错；
f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx，为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；函数的递增区间为
，(k∈Z)排除A.
(文)(2018·陕西文)函数f(x)＝2sinxcosx是( )
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
[答案] C
[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．
f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，最小正周期T＝＝π，且f(x)是奇函数．
3．已知－≤x<，cosx＝，则m的取值范围是( )
A．m<－1 B．3
3 D．33.
4．已知函数y＝tanωx在内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1
[答案] B
[解析] 根据已知条件：ω<0，且|ω|≤1，因此－1≤ω<0
5．(2018·湖洲中学月考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，f＝－，则f(0)＝________.
[答案]
[解析] 由图可知，＝，∴T＝，∴ω＝3，故f(x)＝Acos(3x＋φ)．
∵f＝－，∴Acos＝－，∴Asinφ＝－.
又∵f＝0，∴Acos＝0，∴sinφ＝－cosφ，∴f(0)＝Acosφ＝－Asinφ＝.
6．sin1，sin2，sin3的大小关系为________．
[答案] sin30，ω>0时，由于U＝ωx＋φ是增函数，故y＝AsinU单增(减)时，复合函数y＝Asin(ωx＋φ)单增(减)．从而解不等式2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求出x取值范围，即该函数的增区间，解不等式2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)可得该函数的单调减区间．
(2)当A>0，ω<0时，∵U＝ωx＋φ为减函数，故再如(1)的解法，求出单调区间则会导致错误，同样A<0，ω<0时也有类似情况，这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进行．余弦、正切函数都有类似情形
一般地，求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，若ω<0，先用诱导公式化为x的系数为正的，然后利用复合函数判单调性的方法，解关于ωx＋φ的一个不等式即可求得．
4．函数＝Asin(ωx＋φ)(ωx≠0)为奇函数的充要条件为φ＝kπ，k∈Z，为偶函数的充要条件为
φ＝kπ＋，k∈Z.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝kπ＋，k∈Z.为偶函数的充要条件为φ＝kπ，k∈Z.函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝，k∈Z.它不可能是偶函数．
5．三角函数的周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期T＝，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期T＝
(2)y＝A|sin(ωx＋φ)|、y＝A|cos(ωx＋φ)|、y＝A|tan(ωx＋φ)|的周期都为T＝.
6．直线y＝a与函数y＝tanx的图像交点中任两点距离的最小值为周期．
函数y＝sinx(y＝cosx)相邻两个最大(小)值点之间距离为半周期，与x轴相邻两交点之间距离为半周期．
（六）课后强化作业
一、选择题
1．(2018·江西文)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )
A．[－1,1] B．[－，－1] C．[－，1] D．[－1，]
[答案] C
[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sinx＝t换元转化为t的一元二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1，(－1≤t≤1)，显然－≤y≤1，选C.
2．函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－对称，则a的值为( )
A. B．－ C．1 D．－1
[答案] D
[解析] 解法1：由y＝sin2x＋acos2x可联想到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．又知其对称轴为x＝－，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x＝－代入原式，可使函数取最大值或最小值．
即－＋a＝±，∴a＝－1.
解法2：由于函数图像关于直线x＝－对称
∴f(0)＝f(－)，∴a＝－1，故选D.
3．(2018·重庆文)下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( )
A．y＝sin (2x＋) B．y＝cos (2x＋) C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
[答案] A
[解析] 本题考查三角函数的周期性、单调性以及诱导公式．
选项A：y＝sin(2x＋)＝cos2x，周期为π，在[，]为减函数；
选项B：y＝cos(2x＋)＝－sin2x，周期为π.在[，]为增函数；
选项C：y＝sin(x＋)＝cosx，周期为2π；
选项D：y＝cos(x＋)＝－sinx，周期为2π.故选A.
4．已知函数f(x)＝sin图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] D
[解析] f(x)的周期T＝＝2R，f(x)的最大值是，结合图形分析知R>，则2R>2>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.
5．函数y＝的图像关于( )
A．点对称 B．点对称 C．直线x＝－对称 D．直线x＝对称
[答案] B
[解析] y＝＝＝－tan2x.
函数图像大致如下图，显见它不是轴对称图形，而是关于点对称的中心对称图形，故选B.
6．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y＝2的交点的横坐标为x1、x2，若|x1－x2|的最小值为π，则( )
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
[答案] A
[解析] y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数且0<θ<π，
所以θ＝，y＝2cosωx，
∴y∈[－2,2]．又∵|x1－x2|min＝π，
故y＝2与y＝2cosωx的交点为最高点，于是最小正周期为π.即＝π，所以ω＝2.故选A.
7．(2018·新课标理)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为( )
[答案] C
[解析] 本小题考查了任意角的三角函数的概念、三角函数的图像，结合物理学的角速度问题，考查学科知识交汇点，解答此题的关键是找到点P运动后对应的坐标．
方法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为，排除A、D，由角速度为1知，当t＝或t＝时，P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C.
方法二：由题意知P，
∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2，
当t＝0时，d＝；当t＝时，d＝0.故选C.
8．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则θ等于( )
A．kπ (k∈Z) B．kπ＋ (k∈Z) C．kπ＋ (k∈Z) D．kπ－ (k∈Z)
[答案] D
[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得
f(x)＝2sin.
由f(x)是奇函数得＋θ＝kπ(k∈Z) ⇒θ＝kπ－(k∈Z)．故选D.
解法2：∵函数f(x)为奇函数，定义域为R.
∴f(0)＝0，即cosθ＋sinθ＝0，
∴sin＝0，∴θ＋＝kπ，
∴θ＝kπ－(k∈Z)．
二、填空题
9．比较大小：(1)sin________sin. (2)cos________cos.
[答案] (1)> (2)<
[解析] (1)∵－<－<－<，y＝sinx在上是增函数，
∴sinsin.
(2)cos＝cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos.
∵0<<<π，
且函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，
∴cos>cos，即cos>cos，
即cos0，
即sin>0，
从而得2kπ0，ω>0)的图像可以看作由下面的方法得到的：先把正弦曲线上所有的点 (当φ>0时)或 (当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标 (当ω>1时)或 (当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标 (当A>1时)或 (当00，ω>0，x∈(0，＋∞))表示一个振动时，A叫做 ，T＝叫做 ，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做 ，φ叫做 ．
4．三角函数模型的应用
(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像．
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．
（三）、基础自测
1．(2018·重庆理)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
[答案] D
[解析] 由图可知＝π－＝，T＝π，
即＝π，∴ω＝2，又因为图像向左平移了－＝，∴φ＝－.(或利用＋φ＝解也可)
2．将函数y＝sin2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )
A．y＝cos2x B．y＝2cos2x C．y＝1＋sin D．y＝2sin2x
[答案] B
[解析] 本小题主要考查了三角函数图像的平移，同时考查了学生应用诱导公式化简三角函数式的能力．
3．函数y＝sin在区间的简图是( )
[答案] A
[解析] 当x＝0时，y＝sin＝－，排除B、D.而x＝时，y＝0，排除C，故选A.
4．(2018·江苏宿迁)一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为________．
[答案] y＝－4cos2.5πx
[解析] 设y＝Acos(ωx＋φ)，则A＝4，T＝0.8，
∴ω＝2.5π，代入最高点(0.4,4)，得φ＝π，所以y＝－4cos2.5πx.
5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式为____________．
[答案] f(x)＝2sinx
[解析] 由图知：T＝8，∴＝8，∴ω＝，A＝2.
∴f(x)＝2sin，令x＝2，
∴2＝2sin.∴sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝0，∴f(x)＝2sinx.
6．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x)，x∈R.
(1)若f(x)＝1－且x∈，求x；
(2)若函数y＝2sin2x的图像按向量c＝(m，n)平移后得到函数y＝f(x)的图像，求实数m、n的值．
[解析] f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin＋1.
(1)由2sin＋1＝1－，得sin＝－，k∈Z
∴2x＋＝2kπ－或2x＋＝2kπ－，k∈Z.
即x＝kπ－或x＝kπ－.
∵x∈，∴x＝－.
(2)y＝2sin2x图像按(m，n)平移得到y＝2sin＋1的图像，∴m＝－，n＝1.
（四）、典型例题
1.命题方向：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
[例1] 作出函数y＝3sin，x∈R的简图，说明它与y＝sinx图像之间的关系．
[分析] 利用五点作图法作出函数图像，然后判断图像间的关系．
[解析] 按“五点法”，令2x＋分别取0，，π，π，2π时，x相应取－，，，，，所对应的五点是函数y＝3sin，x∈的图像上起关键作用的点
列表：
描点画图．
利用函数的周期性，可以把简图向左、右扩展，
就得到y＝3sin，x∈R的简图．
从图可以看出，y＝3sin的图像，是用下面方法得到的．
方法一：
方法二：
[点评] 方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移．表面上看，两种变换方法中的平移分别是和，
是不同的，但由于平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．
跟踪练习1
已知函数y＝sin＋cos(x∈R)．
(1)用“五点法”画出它的图像；
(2)求它的振幅、周期及初相；
(3)说明该函数的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换而得到？
[解析] (1)y＝2sin(＋)，令X＝＋，
列表如下：
X
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
描点连线得图像如图
(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为.
(3)将y＝sinx图像上各点向左平移个单位，得到y＝sin(x＋)的图像，再把y＝sin(x＋)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin(＋)的图像．最后把y＝sin(＋)的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，即得函数y＝2sin(＋)的图像．
[点评] 用“五点法”作图应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(wx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点.
2.命题方向：求三角函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式
[例2] 下图为y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一段，求其解析式．
[分析] 首先确定A.若以N为五点法作图中的第一零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y＝－sinx的图像)，所以A<0；若以M点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y＝sinx的图像)，所以A>0.而ω＝，φ可由相位来确．
[解析] 解法1：以N为第一个零点，则
A＝－，T＝2＝π，
∴ω＝2，此时解析式为y＝－sin(2x＋φ)，
∵点N在图像上，
∴－×2＋φ＝0⇒φ＝，
∴所求解析式为y＝－sin.
解法2：以点M为第一个零点，
则A＝，ω＝＝2，解析式为y＝sin(2x＋φ)，
将点M代入得：2×＋φ＝0⇒φ＝－，
∴所求解析式为y＝sin.
跟踪练习2
函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图像如图所示，则函数表达式为________．
[答案] y＝－4sin
[解析] 由图像可以看出，A＝4，＝6＋2，∴T＝16.
则ω＝＝.将点(－2,0)代入y＝4sin中得sin＝0.
∴－＋φ＝π，φ＝
∴y＝4sin.又∵|φ|<.
∴函数表达式y＝4sin＝－4sin.
[点评] 三角函数图像中，图像上与x轴相邻两个交点之间的距离为半个周期，相邻两对称轴之间的距离为半个周期.
3.命题方向：三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用
[例4] (2018·山东理)已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，其图像过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
[分析] 本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力．可直接利用公式化简求值．
[解析] (1)因为已知函数图像过点，所以有
＝sinsinφ＋cos2cosφ－sin(0<φ<π)，
即有1＝sinφ＋cosφ－cosφ(0<φ<π)，
所以sin＝1，
所以φ＋＝，解得φ＝.
(2)由(1)知φ＝，所以f(x)＝sin2xsin＋cos2xcos－sin(0<φ<π)
＝sin2x＋cos2x－＝sin2x＋×－＝sin，
所以g(x)＝sin，因为x∈，
所以4x＋∈，
所以当4x＋＝时，g(x)取最大值；
当4x＋＝时，g(x)取最小值－.
[点评] 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中，需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．
跟踪练习3
(2018·营口一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，的图像与x轴的交点中，
相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈，求f(x)的值域．
[解析] 本小题主要考查三角函数的图像和性质等基础知识及基本运算能力．
(1)由最低点为M得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为得＝，即T＝π，
∴ω＝＝＝2.
由点M在图像上得2sin＝－2，即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－.
又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，
∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
（五）、思想方法点拨
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
(1)用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像应注意的问题．
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像关键是点的选取，一般令ωx＋φ＝0，，π，，2π，即可得到
所画图像的关键点坐标．其中的横坐标成等差数列，公差为.
(2)图像变换．
①平移变换
(ⅰ)沿x轴平移，按“左加右减”法则；
(ⅱ)沿y轴平移，按“上加下减”法则．
注：平移变换时，系数不为1，应先提取，再判断．
②伸缩变换
(ⅰ)沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的倍(纵坐标y不变)；
(ⅱ)沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(00)的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图像重合，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 本题考查正切函数的图像的平移变换．
将函数y＝tan(ω>0)的图像向右平移个单位长度，得到的函数为
y＝tan＝tan，
由题意，得－＋＝，∴ω＝.
6．已知函数f(x)＝sinωx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为( )
A．y＝f B．y＝f(2x－1) C．y＝f D．y＝f
[答案] B
[解析] 由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，即y＝
f(x)→y＝f(x－1)→y＝f(2x－1)．
7．(2018·四川)设f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( )
A．f(0)＝1 B．f(0)＝0 C．f ′(0)＝1 D．f ′(0)＝0
[答案] D
[解析] 函数f(x)是偶函数，则φ＝kπ＋ k∈Z，
f(0)＝±1，故排除A、B.
又f ′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，φ＝＋kπ，k∈Z，
f ′(0)＝0，选D.
也可走特殊化思路，取ω＝1，φ＝±验证．
8．四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y＝sin2x，y＝sin(x＋)，y＝sin(x－)的图像如下．结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是( )
[答案] C
[解析] 本题考查了三角函数的图像及性质，可采用排除法或取一个特殊点来观察，如当y＝sin2x的图象取最高点时，y＝sin(x＋)或y＝sin(x－)对应的点一定不是最值点或零点，而C不适合，故选C.
二、填空题
9．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为________．
[答案] y＝2sin
[解析] A＝2，＝－＝，T＝，
∵＝π，∴ω＝，∴y＝2sin.
∵当x＝π时，y＝2，∴2＝2sin，
即sin＝1，∴φ＋π＝，φ＝－，
∴y＝2sin.
10．函数y＝3sin的对称中心是________．
[答案] ，k∈Z
[解析] 由－＝kπ，k∈Z得＝＋kπ.
∴x＝＋2kπ，k∈Z.∴对称中心是.
11．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)是定义域为R的奇函数，且当x＝2时，f(x)取得最大值2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.
[答案] 2±2
[解析] 由题意知：φ＝0，A＝2，
∴f(x)＝2sinωx
又当x＝2时，f(x)取得最大值2，
∴2ω＝＋2kπ，∴ω＝＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，令k＝2n，则f(x)＝2sinx，
∵n∈Z，x∈Z，∴f(x)＝2sinx.
由函数周期性可得：f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2
同理，当k为奇数时可得：f(1)＋f(2)＋…f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2－2.
三、解答题
12．求函数y＝2sin的单调区间．
[分析] 思路1：由y＝sinx的单调区间来求本题的单调区间．思路2：将y＝2sin看作复合函数来求其单调性．
[解析] 解法1：y＝2sin化成y＝－2sin.
∵y＝sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为
(k∈Z)，(k∈Z)，
∴函数y＝－2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定．
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解上两式得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为(k∈Z)，
(k∈Z)．
解法2：y＝2sin可看作是由y＝2sinu与u＝－x复合而成的．
又∵u＝－x为减函数，
∴由2kπ－≤u≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤－x≤2kπ＋(k∈Z)得
－2kπ－≤x≤－2kπ＋(k∈Z)，
即(k∈Z)为y＝2sin的递减区间．
由2kπ＋≤u≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤－x≤2kπ＋(k∈Z)得－2kπ－≤x≤－2kπ－(k∈Z)，
即(k∈Z)为y＝2sin的递增区间．
综上可知：y＝2sin的递增区间为(k∈Z)；
递减区间为(k∈Z)．
[点评] (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝，单调区间利用ωx＋φ∈，解出x的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y＝f(v)，v＝φ(x)，其单调性判定方法是：若y＝f(v)和v＝φ(x)同为增(减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为减函数．
13．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图像不相切．
[解析] (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，
又－π<φ<0，则－0，函数f(x)＝m·n，若f(x)相邻两对称轴间的距离为.
(1)求ω的值，并求f(x)的最大值及相应x的集合；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，△ABC的面积S＝5，b＝4，f(A)＝1，求边a的长．
[解析] (1)f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＋2sinωxcosωx＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，
由题意可得T＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin.
当sin＝1时，f(x)有最大值2，
∴2x＋＝2kπ＋，∴x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
(2)f(A)＝2sin＝1
∴sin＝ 0时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin.
当0≤θ≤时，上述关系式也适合．
(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t.
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．
(3)
θ
0°
30°
60°
90°
120°
150°
180°
h(m)
0.8
1.4
3.2
5.6
8.0
9.8
10.4
t(s)
0
5
10
15
20
25
30
h(m)
0.8
1.4
3.2
5.6
8.0
9.8
10.4
