【数学】2018届一轮复习人教B版第十二章　算法初步、推理与证明学案

【数学】2018届一轮复习人教B版第十二章　算法初步、推理与证明学案

第十二章　算法初步、推理与证明 ‎1.算法的含义、程序框图 ‎(1)了解算法的含义，了解算法的思想．‎ ‎(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．‎ ‎2．基本算法语句 了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．‎ ‎3．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎4．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．‎ ‎5．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点．‎ ‎6．了解反证法的思考过程和特点．‎ ‎7．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ ‎12．1　算法初步 ‎1．算法的概念及特点 ‎(1)算法的概念 在数学中，算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤．‎ ‎(2)算法的特点之一是具有______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效地执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有______性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题．‎ ‎2．程序框图 ‎(1)程序框图的概念 程序框图又称流程图，是一种用______、______及______来表示算法的图形．‎ ‎(2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能 图形符号 名　　称 功　　能 ‎①　　　　　‎ 表示一个算法的起始和结束 ‎②　　　　　‎ 表示一个算法输入和输出的信息 ‎③　　　　　‎ 赋值、计算 ‎④　　　　　‎ 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”‎ ‎⑤　　　　　‎ 连接程序框 ‎○‎ ‎⑥　　　　　‎ 连接程序框图的两部分 ‎3.算法的基本逻辑结构 ‎(1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行的．它是由若干个__________的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式．‎ ‎(2)条件结构 在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向．常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式．‎ ‎(3)循环结构 在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是______．反复执行的步骤称为．______‎ 循环结构有如下两种形式：‎ ‎①如图1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为____________．‎ ‎②如图2表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为____________．‎ ‎4．输入(INPUT)语句 输入语句的一般格式：_________.‎ 要求：‎ ‎(1)输入语句要求输入的值是具体的常量；‎ ‎(2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；‎ ‎(3)一个输入语句可以给多个变量赋值，‎ 中间用“，”分隔．‎ ‎5．输出(PRINT)语句 输出语句的一般格式：_________.‎ 功能：实现算法输出信息(表达式)．‎ 要求：‎ ‎(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息；‎ ‎(2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开；‎ ‎(3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔．‎ ‎6．赋值语句 赋值语句的一般格式：_________.‎ 赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样．‎ 作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量．‎ 要求：‎ ‎(1)赋值语句左边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．如：2＝x是错误的．‎ ‎(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．如“A＝B”“B＝A”的含义和运行结果是不同的，如x＝5是对的，5＝x是错的，A＋B＝C是错的，C＝A＋B是对的．‎ ‎(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)．‎ ‎7．条件语句 ‎(1)“IF—THEN”语句 格式：‎ ‎____________________．‎ 说明：当计算机执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END IF之后的语句．‎ ‎(2)“IF—THEN—ELSE”语句 格式：‎ ‎____________________．‎ 说明：当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2.‎ ‎8．循环语句 ‎(1)直到型循环语句 直到型(UNTIL型)语句的一般格式为：‎ ‎______________．‎ ‎(2)当型循环语句 当型(WHILE型)语句的一般格式为：‎ ‎________________．‎ 自查自纠：‎ ‎1．(1)规则　明确　有限　(2)确定　有序　有穷 ‎2．(1)程序框　流程线　文字说明 ‎(2)①终端框(起止框)　②输入、输出框　‎ ‎③处理框(执行框)　④判断框　⑤流程线 ⑥连接点 ‎3．(1)从上到下　依次执行　(3)循环结构　循环体 ‎①直到型循环结构　②当型循环结构 ‎4．INPUT　“提示内容”；变量 ‎5．PRINT　“提示内容”；表达式 ‎6．变量＝表达式 ‎7．(1)　　‎ ‎(2)‎ IF　条件　THEN ‎　语句体1‎ ELSE ‎　语句体2‎ END IF ‎8. (1)　‎ ‎(2) ‎ 下列各式中的S值不可以用算法求解的是(　　)‎ A．S＝1＋2＋3＋4‎ B．S＝12＋22＋32＋…＋1002‎ C．S＝1＋＋＋…＋ D．S＝1＋2＋3＋4＋…‎ 解：由算法的有限性知，D不正确，而A，B，C都可以通过有限步骤操作，输出确定结果，故选D.‎ ‎ 下面程序运行后输出结果是3，则输入的x值一定是(　　)‎ INPUT　x IF　x>0　THEN ‎　y＝x ELSE ‎　y＝－x END IF PRINT　y END A．3 B．－‎3 C．3或－3 D．0‎ 解：该程序语句是求函数y＝|x|的函数值，因为y＝3，所以x＝±3.故选C.‎ ‎ ()执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是(　　)‎ A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤ 解：第一次循环，得k＝2，s＝；‎ 第二次循环，得k＝4，s＝＋＝；‎ 第三次循环，得k＝6，s＝＋＝；‎ 第四次循环，得k＝8，s＝＋＝，‎ 此时退出循环，输出k＝8，所以判断框内可填入的条件是s≤.故选C.‎ ‎ 下列循环语句，循环终止时，n＝____________．‎ 解：该循环语句是当型循环语句，循环终止时，条件n≤7开始不成立，故填8.‎ ‎ ()执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为____________．‎ 解：输入a＝0，b＝9，第一次循环：a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，i＝1＋1＝2；‎ 第二次循环：a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6， i＝2＋1＝3；‎ 第三次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a>b成立，故输出i的值为3.故填3.‎ 类型一　算法的概念 ‎　下列语句是算法的个数为(　　)‎ ‎①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；‎ ‎②统筹法中“烧水泡茶”的故事；‎ ‎③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；‎ ‎④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积．‎ A．1　　　　B．‎2　‎　　　C．3　　　　D．4‎ 解：①中勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任务；②中节约时间，烧水泡茶完成了任务；③中对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法构造；④是纯数学问题，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．故选C.‎ 点拨：‎ 算法过程要做到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果．‎ ‎　下列叙述能称为算法的个数为(　　)‎ ‎①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；‎ ‎②顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…，99＋1＝100；‎ ‎③从宜昌乘火车到武汉，从武汉乘飞机到北京；‎ ‎④3x>x＋1；‎ ‎⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ 解：①②③可称为算法，④⑤不是，故选B.‎ 类型二　经典算法 ‎　“韩信点兵”问题．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵时采用下述方法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就知道了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．‎ 解：在本题中，士兵从1～3报数，最后一个士兵报2，说明士兵的总人数是除以3余2，其他两种情况依此类推．‎ ‎(算法一)步骤如下：‎ 第一步：先确定最小的满足除以7余4的数是4；‎ 第二步：依次加7就得到所有满足除以7余4的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，…；‎ 第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：18；‎ 第四步：依次加上35，得18，53，88，…；‎ 第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以3余2的正整数：53，这就是我们要求的数．‎ ‎(算法二)步骤如下：‎ 第一步：先确定最小的满足除以3余2的数是2；‎ 第二步：依次加3就得到所有满足除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，…；‎ 第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8；‎ 第四步：然后依次加15就得8，23，38，53，…，不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3；‎ 第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以7余4的最小数是53，这就是我们要求的数．‎ 点拨：‎ 给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法；(2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法．对于同一问题，可以设计不同的算法，其最终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法．‎ ‎　一位商人有9枚银元，其中有一枚略轻的是假银元．请设计一种算法，用天平(不用砝码)将假银元找出来．‎ 解：算法如下：‎ 第一步：把银元分成3组，每组3枚；‎ 第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组内；‎ 第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．‎ 类型三　顺序结构 ‎　已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋ By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图．‎ 解：算法如下：‎ 第一步：输入x0，y0及直线方程的系数A，B，C.‎ 第二步：计算z1＝Ax0＋By0＋C.‎ 第三步：计算z2＝A2＋B2.‎ 第四步：计算d＝.‎ 第五步：输出d.‎ 流程图如图所示．‎ 点拨：‎ 顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，画出程序框图．注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的．‎ ‎　阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21，32，75，则输出的a，b，c分别是(　　)‎ A．75，21，32 B．21，32，75‎ C．32，21，75 D．75，32，21‎ 解：该程序框图的执行过程是：输入21，32，75；x＝21；a＝75；c＝32；b＝21；输出75，21，32.故选A.‎ 类型四　条件结构 ‎　()阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ 解：第一次循环，S＝8，n＝2；第二次循环，S＝2，n＝3；第三次循环，S＝4，n＝4，故输出S的值为4.故选B.‎ 点拨：‎ 条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．‎ ‎　()如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(　　)‎ A．0 B．‎2 C．4 D．14‎ 解：执行该程序，输入a，b的值依次为a＝14，b＝18；a＝14，b＝4；a＝10，b＝4；a＝6，b＝4；a＝2，b＝4；a＝b＝2，此时退出循环，输出的a＝2.故选B.‎ 类型五　循环结构 ‎　()中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝(　　)‎ A．7 B．‎12 C．17 D．34‎ 解：由题意，当x＝2，n＝2，k＝0，s＝0时，输入a＝2，则s＝0×2＋2＝2，k＝1，循环；输入a＝2，则s＝2×2＋2＝6，k＝2，循环；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3＞2，结束．故输出的s＝17.故选C.‎ 点拨：‎ 解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．‎ ‎　()秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，‎ 至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为(　　)‎ A．9 B．‎20 C．18 D．35‎ 解：该程序框图的执行过程如下：i＝2，v＝1×2＋2＝4，i＝1；v＝4×2＋1＝9，i＝0；v＝9×2＋0＝18，i＝－1，此时输出v＝18.故选C.‎ 类型六　输入、输出和赋值语句 ‎　请写出下面运算输出的结果．‎ ‎(1)a＝5‎ b＝3‎ c＝(a＋b)/2‎ d＝c*c PRINT　“d＝”；d ‎(2)a＝1‎ b＝2‎ c＝a＋b b＝a＋c－b PRINT　“a＝，b＝，c＝”；a，b，c ‎(3)a＝10‎ b＝20‎ c＝30‎ a＝b b＝c c＝a PRINT　“a＝，b＝，c＝”；a，b，c 解：(1)语句“c＝(a＋b)/‎2”‎是将a，b之和的一半赋值给变量c，语句“d＝c*c”是将c的平方赋值给d，最后输出d的值．故输出结果为d＝16.‎ ‎(2)语句“c＝a＋b”是将a，b之和赋值给c，语句“b＝a＋c－b”是将a＋c－b的值赋值给了b.故输出结果为a＝1，b＝2，c＝3.‎ ‎(3)经过语句“a＝b”后a，b，c的值是20，20，30，经过语句“b＝c”后a，b，c的值是20，30，30，经过语句“c＝a”后a，b，c的值是20，30，20.故输出结果为a＝20，b＝30，c＝20.‎ 点拨：‎ ‎①将一个变量的值赋给另一个变量，前一个变量的值保持不变；②可先后给一个变量赋多个不同的值，但变量的取值总是最后被赋予的值．‎ ‎　阅读下列两个程序，回答问题：‎ ‎①　② ‎①中程序输出的x值为__________，②中程序输出的y值为__________．‎ 解：程序①中的x＝y是将y的值4赋给x，赋值后x的值变为4；②中y＝x是将x的值3赋给y，赋值后y的值为3.故填4；3.‎ 类型七　条件语句 ‎　已知函数y＝画出程序框图并编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值．‎ 解：程序框图如下．‎ 程序如下．‎ INPUT　“x＝”；x IF　x>＝0　THEN ‎ 　 y＝x^2－1‎ ELSE ‎ 　 y＝2*x^2－5‎ END　IF PRINT　“y＝”；y END 点拨：‎ 条件语句：“IFTHEN”及“IFTHENELSE”的用法在“考点梳理”栏有说明，需要注意的是，若是三段或三段以上的分段函数，通常需用条件语句的嵌套结构．‎ ‎　编写程序，使得任意输入的3个整数按从小到大的顺序输出．‎ 解：算法分析：‎ 用a，b，c表示输入的3个整数，为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≤b≤c.具体操作步骤如下．‎ 第一步：输入3个整数a，b，c.‎ 第二步：将a与b比较，并把大者赋给b，小者赋给a.‎ 第三步：将a与c比较，并把大者赋给c，小者赋给a(此时a已是三者中最小的)．‎ 第四步：将b与c比较，并把大者赋给c，小者赋给b(此时a，b，c已按从小到大的顺序排列好)．‎ 第五步：按顺序输出a，b，c.‎ 上述操作步骤可以用程序框图直观地表达出来．‎ 程序框图如图．‎ 根据程序框图，写出计算机程序为：‎ INPUT　“a，b，c＝”；a，b，c IF　b100‎ PRINT S END ‎　　　　　　　‎ ‎1．设计算法时，要根据题目进行选择，以简单、程序短、易于在计算机上执行为原则．‎ ‎2．画程序框图首先要进行结构选择，套用格式．若求只含有一个关系式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断才能执行后继步骤的，就必须引入条件结构；如果问题涉及的运算进行了许多重复的步骤，有规律，就可引入变量，应用循环结构．当然，应用循环结构一定要用到顺序结构与条件结构．‎ ‎3．循环结构的循环控制 通过累加变量记录循环次数，通过判断框决定循环终止与否．用循环结构来描述算法，在画出算法程序框图之前，需要确定的三件事是：(1)确定循环变量与初始条件；(2)确定循环体；(3)确定终止条件．注意直到型循环与当型循环的区别，二者判断框内的条件表述在解决同一问题时恰好相反．解决循环结构框图问题，当循环次数比较少时，可依次列出；当循环次数较多时，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误．‎ ‎4．在具体绘制程序框图时，要注意以下几点：‎ ‎(1)流程线上要标有执行顺序的箭头．‎ ‎(2)判断框后边的流程线应根据情况标注“是(Y)”或“否(N)”．‎ ‎(3)框图内的内容包括累加(积)变量初始值，计数变量初始值，累加值，前后两个变量的差值都要仔细斟酌，不能有丝毫差错．‎ ‎(4)判断框内条件常用“>”“≥”“<”“≤”“＝”等符号，它们的含义是各不相同的，要根据所选循环结构的类型，正确地进行选择．‎ ‎5．当型循环与直到型循环的区别 ‎(1)WHILE型是先判断条件，后执行循环体，而UNTIL型则是先执行循环体，后判断条件；‎ ‎(2)WHILE型是当条件满足时执行循环体，不满足时结束循环，而UNTIL型则是条件不满足时执行循环体，条件满足时结束循环；‎ ‎(3)UNTIL型至少执行一次循环体，而WHILE型执行循环体的次数可能为0.‎ ‎1．结合下面的算法：‎ 第一步：输入x.‎ 第二步：判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步．‎ 第三步：输出x－1.‎ 当输入的x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为(　　)‎ A．－1，0，1 B．－1，1，0‎ C．1，－1，0 D．0，－1，1‎ 解：根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为1，－1，0，故选C.‎ ‎2．如图的程序框图输出的结果是(　　)‎ A．4 B．‎3 C．2 D．0‎ 解：该算法首先将1，2，3三个数分别赋给x，y，z；然后先让x取y的值，即x变成2，再让y取x的值，即y的值是2，接着让z取y的值，即z的值为2，从而最后输出z的值为2.故选C.‎ ‎3．读程序回答问题．‎ 甲 i＝1‎ S＝0‎ WHILE　i＜＝1000‎ S＝S＋i i＝i＋1‎ WEND PRINT　S END 乙 i＝1000‎ S＝0‎ DO S＝S＋i i＝i－1‎ LOOP UNTIL　i＜1‎ PRINT　S END 对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是(　　)‎ A．程序不同，结果不同 ‎ B．程序不同，结果相同 C．程序相同，结果不同 ‎ D．程序相同，结果相同 解：甲、乙两程序显然不同，但都是求1＋ 2＋…＋1000的和，所以结果相同，故选B.‎ ‎4．下列程序语句是求函数y＝|x－4|＋1的函数值，则①处为(　　)‎ INPUT　“x＝”；x IF　x>＝4　THEN ‎　y＝x－3‎ ELSE ‎①‎ END　IF PRINT　y END A．y＝3－x B．y＝x－5‎ C．y＝5－x D．y＝x＋5‎ 解：y＝|x－4|＋1＝故选C.‎ ‎5．()执行如图的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)‎ A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x 解：当x＝0，y＝1，n＝1时，x＝0＋＝0，y＝1×1＝1，不满足x2＋y2≥36；‎ n＝2，x＝0＋＝，y＝2×1＝2，不满足x2＋y2≥36；‎ n＝3，x＝＋＝，y＝3×2＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝，y＝6，则输出的x，y的值满足y＝4x.故选C.‎ ‎6．()执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ 解法一：执行程序，S＝，m＝，n＝1； S＝，m＝，n＝2；S＝，m＝，n＝3；S＝，m＝，n＝4；S＝，m＝，n＝5；S＝， m＝，n＝6；S＝6，故n＝7.故选C.‎ ‎7．运行如图所示的程序，输出的结果是______．‎ 解：a＝1，b＝2，则a＋b＝3，根据赋值语句的含义，有a＝3.故填3.‎ ‎8．()如图是一个算法的程序框图，‎ 则输出的a的值是____________．‎ 解：第一次循环，a＝5，b＝7；第二次循环，a＝9，b＝5，结束循环，故输出的a的值为9.故填9.‎ ‎9．某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜三者之一，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜．请设计安全过河的算法．‎ 解：第一步，人带羊过河．‎ 第二步，人自己返回．‎ 第三步，人带青菜过河．‎ 第四步，人带羊返回．‎ 第五步，人带狼过河．‎ 第六步，人自己返回．‎ 第七步，人带羊过河．‎ ‎10．求下面程序的运行结果．‎ n＝10‎ s＝0‎ DO ‎　s＝s＋n n＝n－1‎ LOOP　UNTIL　s>＝40‎ PRINT　n END 解：n＝10，s＝0直接进入循环体后，s＝10，n＝9；s＝19，n＝8；s＝27，n＝7；s＝34，n＝6；s＝40，n＝5，这时s≥40，跳出循环，输出结果为5.‎ ‎11．设计一个算法计算＋＋ ＋…＋的值，并画出程序框图．‎ 解：算法步骤如下：‎ 第一步，令S＝0，k＝1.‎ 第二步，若k<2 017成立，则执行第三步，否则输出S.‎ 第三步，计算S＝S＋，k＝k＋2，返回第二步．‎ 程序框图如图所示：‎ ‎ 意大利数学家斐波那契，在1202年出版的《算盘全书》一书里提出了这样一个问题：一对兔子饲养到第二个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔．问这样下去到年底应有多少对兔子？试画出解决此问题的程序框图．‎ 解：根据题意可知，第一个月有1对小兔，第二个月有1对成年兔子，第三个月有两对兔子，从第三个月开始，每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和，设第N个月有F对兔子，第N－1个月有S对兔子，第N－2个月有Q对兔子，则有F＝S＋Q，一个月后，即第N＋1个月时，式中变量S的新值应变为第N个月兔子的对数(F的旧值)，变量Q的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S的旧值)，这样，用S＋Q求出变量F的新值就是N＋1个月兔子的对数，依此类推，可以得到一个数序列，数序列的第12项就是年底应有兔子对数，我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1，以此为基准，构造一个循环程序，让表示“第x(x≥3)个月的i从3逐次增加1，一直变化到12，再循环一次得到的F”就是所求结果．流程图如图所示．‎ ‎12．2　合情推理与演绎推理 ‎1．两种基本的推理 推理一般包括____________和____________两类．‎ ‎2．合情推理 ‎(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．‎ ‎(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．‎ ‎(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．‎ ‎3．演绎推理 ‎(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．‎ ‎(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎“三段论”可以表示为：‎ 大前提：M是P.‎ 小前提：S是M.‎ 结论：S是P.‎ 自查自纠：‎ ‎1．合情推理　演绎推理 ‎2．(1)部分　个别　(2)特殊　特殊　(3)归纳　类比 ‎3．(1)一般　特殊　(2)三段论 ‎ 下列说法正确的是(　　)‎ A．归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理 B．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 C．“所有9的倍数都是3的倍数，某数m是9的倍数，则m一定是3的倍数”，这是三段论推理 D．在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确 解：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，故A错；平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适，故B错；在演绎推理中，不仅要符合演绎推理的形式，还要大前提正确，推理过程正确，结论才正确，故D错；只有C正确．故选C.‎ ‎ 由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是(　　)‎ A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．以上都不是 解：类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．故选B.‎ ‎ ()命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)‎ A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解：三段论的大前提必须是全称命题，此推理过程是三段论，但大前提是特称命题．故选C.‎ ‎ ()有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是____________．‎ 解：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以甲、乙的卡片中必有一张写有1和3，而丙的卡片又不可能写有2和3(和不是5)，则丙的卡片上写的只能是1和2.从而知乙卡片上写有2和3(与丙相同数字不是1)，则甲卡片上写有1和3.故填1和3.‎ ‎ 如图是武汉东湖灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是____________．(填写对应图形的序号)‎ 解：由前三个图形呈现出来的规律可知，下一个图形可视作上一图形顺时针旋转144°得到的，由第三个图形顺时针旋转144°得到的图形应为①.故填①.‎ 类型一　归纳推理 ‎　根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的一个通项公式．‎ ‎(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；‎ ‎(2)a1＝a，an＋1＝.‎ 解：(1)由已知有a1＝3＝22－1，‎ a2＝‎2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，‎ a3＝‎2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，‎ a4＝‎2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.‎ 由此猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.‎ ‎(2)由已知有a1＝a，a2＝＝，‎ a3＝＝，a4＝＝.‎ 由此猜想an＝，n∈N*.‎ 点拨：‎ 本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题．‎ ‎　(1)给出下面的数表序列：‎ ‎ 　　表1　　　表2　　　表3‎ ‎ 　　1　　　　1　3　　1　3　5　…‎ ‎　　　　　 4　　　 4　8‎ ‎ 　　　　　　　　 　 12‎ 其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．‎ 解：表4为 ‎1　3　5　7‎ ‎　　　　　　　　4　8 12‎ ‎　　　　　　　 12 20‎ ‎32‎ 它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．对于表n(n≥3)，各行中的平均数分别是n，2n，4n，8n，…，它们构成首项为n，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)()观察下列各式：‎ C＝40；‎ C＋C＝41；‎ C＋C＋C＝42；‎ C＋C＋C＋C＝43；‎ ‎……‎ 照此规律，当n∈N*时，‎ C＋C＋C＋…＋C＝____________．‎ 解：观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.故填4n－1.‎ 类型二　类比推理 ‎　在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则＝＋.在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由．‎ 解：如图，在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则 ＝＋＋.‎ 证明如下：连接BH并延长交CD于E，连接AE.‎ 因为AB，AC，AD两两垂直，所以AB⊥平面ACD.‎ 又因为AE⊂平面ACD，所以AB⊥AE.‎ 在Rt△ABE中，有＝＋.①‎ 又易证CD⊥AE，所以在Rt△ACD中，＝＋.②‎ 将②式代入①式得＝＋＋.‎ 点拨：‎ 本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：‎ 平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 ‎…‎ 空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 ‎…‎ ‎　在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________________．‎ 解：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.故填S＋S＋S＝S.‎ 类型三　演绎推理 ‎　指出下面推理中的错误：‎ ‎(1)自然数是整数 大前提 ‎－5是整数 小前提 所以，－5是自然数 结论 ‎(2)指数函数y＝ax是增函数 大前提 y＝是指数函数 小前提 所以，y＝是增函数 结论 ‎(3)三角函数是周期函数 大前提 y＝sinx(0b>0)的面积S＝πab D．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 解：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些性质，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，只有B是归纳推理，故选B.‎ ‎2．()正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 解：因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．故选C.‎ ‎3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；‎ ‎④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；‎ ‎⑥“＝”类比得到“＝”．‎ 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 解：由向量的数量积的定义及运算律知，①②正确，③④⑤⑥错误．故选B.‎ ‎4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3， a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．28 B．‎76 C．123 D．199‎ 解：归纳推理：因为1＋3＝4，3＋4＝7， 4＋7＝11，7＋11＝18，11＋18＝29，18＋29＝47，29＋47＝76，所以a10＋b10＝47＋76＝123，故选C.‎ ‎5．()已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是(　　)‎ A．(7，5) B．(5，7) ‎ C．(2，10) D．(10，1)‎ 解：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n＋1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有个整数，注意到＜60＜，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个整数对是(5，7)．故选B.‎ ‎6．如图，椭圆的中心在坐标原点，F为其左焦点，当⊥时，椭圆的离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为(　　)‎ A. B. C.－1 D.＋1‎ 解：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，则＝(c，b)，＝(－a，b)．‎ 因为⊥，所以·＝－ac＋b2＝0.‎ 又因为b2＝c2－a2，所以c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0.‎ 解得e＝.又e>1，所以e＝.故选A.‎ ‎7．观察等式：＝，＝1，＝.照此规律，对于一般的角α，β，有等式____________．‎ 解：根据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发现tan＝，tan＝1，tan＝，故对于一般的角α，β的等式为＝tan.‎ 故填＝tan.‎ ‎8．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.‎ ‎(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是__________；‎ ‎(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋‎ bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝____________(用数值作答)．‎ 解：(1)由定义知，四边形DEFG为一个直角梯形，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S四边形DEFG＝3，所以S＝3，N＝1，L＝6.‎ ‎(2)由待定系数法可得，‎ 解得 当N＝71，L＝18时，S＝1×71＋×18－1＝79.故填3，1，6；79.‎ ‎9．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．‎ ‎(1)已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b；‎ ‎(2)已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.‎ 证明：(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.‎ ‎(2)因为|a|<1，|b|<1，|c|<1，所以|ab|<1，‎ 据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，‎ 所以abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1‎ ‎＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.‎ ‎10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．‎ ‎(Ⅰ)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎(Ⅱ)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎(Ⅲ)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎(Ⅳ)sin2(－18°)＋cos248°－ sin(－18°)cos48°；‎ ‎(Ⅴ)sin2(－25°)＋cos255°－ sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 解法一：(1)选择(Ⅱ)式，计算如下：‎ ‎　sin215°＋cos215°－sin15°cos15°‎ ‎＝1－sin30°＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ ‎　sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋cos(30°－α)[cos(30°－α)－sinα]‎ ‎＝sin2α＋cos(30°－α)(cos30°cosα＋sin30°sinα－sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos(30°－α)(cos30°cosα－sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)(cos30°cosα－sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos230°cos2α－sin230°sin2α ‎＝sin2α＋cos2α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 解法二：(1)同解法一．‎ ‎(2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ ‎　sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ‎＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝.‎ ‎11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．‎ ‎(1)求出f(5)；‎ ‎(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．‎ 解：(1)因为f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，‎ 所以f(5)＝25＋4×4＝41. ‎ ‎(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1.‎ f(3)－f(2)＝8＝4×2，‎ f(4)－f(3)＝12＝4×3，‎ f(5)－f(4)＝16＝4×4，‎ 由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.‎ 因为f(2)－f(1)＝4×1，‎ f(3)－f(2)＝4×2，‎ f(4)－f(3)＝4×3，‎ ‎……‎ f(n－1)－f(n－2)＝4(n－2)，‎ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)．‎ 各式相加得 f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]‎ ‎＝2(n－1)n，‎ 所以f(n)＝2n2－2n＋1.‎ ‎ ()祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切；刀刀切出等面积，可知必然同样胖”形象表示其内涵．利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体．试用祖暅原理推导球的体积公式．(提示：利用等底等高的圆柱、圆锥与半球体积的关系构造参照体)‎ 解：我们先推导半球的体积．如图1，为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察V圆锥、V半球、V圆柱这三个量(等底等高)之间的不等关系，‎ 可以发现V圆锥a＋b，则实数a，b应满足的条件是(　　)‎ A．a>b>0 B．ab D．a≥0，b≥0，且a≠b 解：因为(a＋b)－(a＋b)＝(a－b)(－)>0，所以a≥0，b≥0，且a≠b.故选D.‎ ‎ 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；‎ ‎②所以一个三角形中不能有两个直角；‎ ‎③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.‎ 正确顺序的序号排列为____________．‎ 解：由反证法证明的步骤知，先反设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.故填③①②.‎ ‎ 命题“a，b是实数，若＋(b＋1)2＝0，则a＝b＝－1”，用反证法证明时应假设____________．‎ 解：a＝b＝－1表示a＝－1且b＝－1，故其否定是a≠－1，或b≠－1.故填a≠－1，或b≠－1.‎ 类型一　直接证明 ‎　已知a，b，c∈R＋，求证：≥.‎ 证法一：采用分析法．‎ 要证≥，‎ 只需证≥，‎ 只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，‎ 只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，‎ 只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，‎ 所以≥成立(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．‎ 证法二：采用综合法．‎ 因为a，b，c∈R＋，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，‎ 所以2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，‎ 所以3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，‎ 所以3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，‎ 所以≥(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．‎ 点拨：‎ 分析法与综合法是直接证明常用的两种方法，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”．常用分析法探索证明路径，再用综合法进行表述．‎ ‎　已知：a>0，b>0，a＋b＝1.‎ 求证：＋≤2.‎ 证明：要证＋≤2，‎ 只需证a＋＋b＋＋2≤4，‎ 又a＋b＝1，故只需证≤1，‎ 只需证＝ab＋(a＋b)＋≤1，‎ 只需证ab≤.‎ 因为a>0，b>0，1＝a＋b≥2，所以ab≤，‎ 故原不等式成立(当且仅当a＝b＝时取等号)．‎ 类型二　间接证明 ‎　()设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ 证明：(1)由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1，由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0B，只需②C0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)< f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.故选A.‎ ‎3．()分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋ c＝0，求证0 ‎ B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 ‎ D．(a－b)(a－c)<0‎ 解：0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.‎ ‎4．已知a>b>0，且ab＝1，若0q B．pab＝1，所以p＝logc<0.又q＝logc＝logc>logc＝logc>0，所以q>p.故选B.‎ ‎5．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有(　　)‎ A．[－x]＝－[x] ‎ B．[2x]＝2[x]‎ C．[x＋y]≤[x]＋[y] ‎ D．[x－y]≤[x]－[y]‎ 解：取x＝1.6，y＝2.7，则[x]＝[1.6]＝1，[y]＝[2.7]＝2，[2x]＝[3.2]＝3，[－x]＝[－1.6]＝－2，故A，B错误；[x＋y]＝[1.6＋2.7]＝4，故C错．故选D.‎ ‎6．()设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)，若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(　　)‎ A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b 解：由已知条件可得对任意a，b∈S，a*(b*a)＝b，则b*(b*b)＝b，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a＝b，即选项B，C，D中的等式均恒成立，仅选项A中的等式不恒成立．故选A.‎ ‎7．()设a，b 是两个实数，给出下列条件：‎ ‎①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.‎ 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是__________．(填序号)‎ 解：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故填③.‎ ‎8．()某题字迹有污损，大致内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x＋y|≤|1＋xy|”．估计污损部分的文字内容为________．‎ 解：要证|x＋y|≤|1＋xy|，需证(x＋y)2≤(1＋xy)2，化简得x2＋y2≤1＋x2y2，(x2－1)(1－y2)≤0，因为|x|≤1，又要证的不等式成立，所以估计污损部分的文字内容为“|y|≤1”．故填|y|≤1.‎ ‎9．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.‎ ‎(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；‎ ‎(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．‎ 解：(1)证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b.‎ 因为f(x)在R上单调递增，所以f(a)≥f(－b)．‎ 同理，a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．‎ 两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．‎ ‎(2)(1)中命题的逆命题为：‎ 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.‎ 该命题成立，下面用反证法证之．‎ 假设a＋b<0，那么：‎ a＋b<0⇒a<－b⇒f(a)a2＋ab＋b2得 ‎(a＋b)2>a＋b，又a＋b>0，所以a＋b>1.‎ 要证a＋b<，即证3(a＋b)<4，‎ 因为a＋b>0，所以只需证明3(a＋b)2<4(a＋b)，‎ 又a＋b＝a2＋ab＋b2，‎ 即证3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2)，‎ 也就是证明(a－b)2>0.‎ 因为a，b是不等正数，故(a－b)2>0成立．‎ 故a＋b<成立．‎ 综上，得10，y>0，所以要证＋≤，‎ 只需证3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)，‎ 即证x2＋y2≥2xy，此式显然成立．‎ 所以＋≤.‎ 再证＋≥.‎ 同理，只需证3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)，即证x2＋y2≥2xy，这显然成立．‎ 所以＋≥.‎ 综上所述，存在常数C＝，使得不等式＋≤C≤＋对任意正数x，y恒成立．‎ ‎12．4　数学归纳法 ‎1．数学归纳法的证题步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设____________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当____________时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有__________都成立．‎ ‎2．数学归纳法的适用范围 数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．‎ 自查自纠：‎ ‎1．(2)n＝k　n＝k＋1　正整数n ‎2．正整数 ‎ 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)‎ A．1＋<2 B．1＋＋<2‎ C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3‎ 解：因为n∈N*，n>1，所以n取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.‎ ‎ 设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)‎ A. B. C.＋ D.－ 解：f(n＋1)－f(n)＝[＋＋…＋＋＋]－＝＋－＝－.故选D.‎ ‎ 设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是(　　)‎ A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 解：易知A，B错；选项C中，应是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；易知选项D正确．故选D.‎ ‎ 已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝____________．‎ 解法一：通过变化规律猜测Sn＝.‎ 解法二：Sn＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋＝ 1－＝.故填.‎ ‎ 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上____________．‎ 解：等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2，故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.‎ 故填(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.‎ 类型一　证明等式 ‎　证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝‎ eq f(1,2)，等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即 ‎1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ ‎1－＋－＋…＋－＋－ ‎＝＋＋…＋＋－ ‎＝＋＋…＋＋＋.‎ 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．‎ 点拨：‎ 用数学归纳法证明与正整数n有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证明待证等式．‎ ‎　求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．‎ 证明：①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．‎ ‎②假设n＝k时，等式成立，即 ‎12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．‎ 当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由①②得，等式对任何n∈N*都成立．‎ 类型二　证明不等式 ‎　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.‎ ‎(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ 解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)23－1，‎ 由此猜想：an≥2n－1.‎ 下面用数学归纳法证明这个猜想：‎ ‎①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，‎ 即n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.‎ 所以＋＋…＋<＋＋…＋＝1－<1.‎ ‎1．用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可．‎ ‎2．证第二步的关键是合理运用归纳假设，以“n ‎＝k时命题成立”为条件，证明“当n＝k＋1时命题成立”．这里，易出现的错误是：不使用“n＝k时命题成立”这一条件，而直接将n＝k＋1代入命题，便断言此时命题成立．注意：没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法．‎ ‎3．在n＝k到n＝k＋1的证明过程中寻找由n＝k到n＝k＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)．‎ ‎4．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用．‎ ‎1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，左端计算所得的结果是(　　)‎ A．1 ‎ B．1＋a C．1＋a＋a2 ‎ D．1＋a＋a2＋a3‎ 解：当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.故选C.‎ ‎2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)‎ A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 解：对n＝1，3，5，7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．故选B.‎ ‎3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 解：由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，‎ f(2)＝＋＋.故选D.‎ ‎4．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加(　　)‎ A．k2 B．(k＋1)2‎ C．k2＋(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋k2‎ 解：当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，故选D.‎ ‎5．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学的证明过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，故当n＝k＋1时，不等式成立．根据(1)和(2)，可知不等式＜n＋1(n∈N*)成立．‎ 上述证法中(　　)‎ A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1的推理不正确 解：证明过程没有用到归纳假设的结论，所以证明方法不正确．故选D.‎ ‎6．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则m的最大值为(　　)‎ A．30 B．26 C．36 D．6‎ 解：因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测m的最大值为36.可以利用数学归纳法作如下简要证明：‎ f(n＋1)＝[2(n＋1)＋7]·3n＋1＋9，‎ 所以f(n＋1)－f(n)＝2·3n＋1＋2·(2n＋7)·3n ‎＝(4n＋20)·3n，当n＝1时，该式的值为72可被36整除，当n≥2时，4n＋20可被4整除，3n可被9整除，则(4n＋20)·3n可被36整除，即证．故选C.‎ ‎7．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n＝________时命题成立．‎ 解：凸多边形至少有3条边．故填3.‎ ‎8．()观察下列不等式：‎ ‎①<1；②＋<；③＋＋<；…，‎ 则第5个不等式为____________．‎ 解：因为2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，所以第n个不等式的左边有n项，分子都是1，分母依次为，，…，，右边为，即＋＋…＋<.‎ 所以第5个不等式为＋＋＋＋<.‎ 故填＋＋＋＋<.‎ ‎9．试证：n为正整数时， f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．‎ 证明：(1)当n＝1时， f(1)＝34－8－9＝64能被64整除．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时， f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9·32k＋2－8k－17＝9(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.‎ 由归纳假设知f(k＋1)也能被64整除．‎ 综合(1)(2)知，当n为正整数时， f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．‎ ‎10．()已知数列{an}中，a1＝a(a＞2)，对一切n∈N*，an>0，an＋1＝，求证：an>2且an＋10，‎ 所以an>1，所以an－2＝－2＝≥0，所以an≥2.若存在ak＝2，则ak－1＝2，‎ 由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2，‎ 与a1＝a>2矛盾，故an>2.‎ 因为an＋1－an＝<0，所以an＋12)‎ ‎①当n＝1时，a1＝a>2，故命题an>2成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak>2，那么，ak＋1－2＝－2＝>0，‎ 所以ak＋1>2，即n＝k＋1时命题也成立．‎ 综上所述，命题an>2对一切正整数成立．‎ an＋10，即xk＋1>0.‎ 又因为xk＋1－1＝<0，所以00，整数p>1，n∈N*.‎ ‎(1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px；‎ ‎(2)数列{an}满足a1>c，an＋1＝an＋a.‎ 证明：an>an＋1>c.‎ 证明：(1)用数学归纳法证明：‎ ‎①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．‎ ‎②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．‎ 当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x，‎ 所以p＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．‎ ‎(2)先用数学归纳法证明an>c.‎ ‎①当n＝1时，由题设a1>c知an>c成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式ak>c成立．‎ 由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*.‎ 当n＝k＋1时，＝＋a＝1＋.‎ 由ak>c>0得－1<－<<0.‎ 由(1)中的结论得＝>1＋p·＝.‎ 因此a>c，即ak＋1>c.‎ 所以n＝k＋1时，不等式an>c也成立．‎ 综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．‎ 再由＝1＋可得<1，即an＋1an＋1>c，n∈N*.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．()算法有三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构，在下列说法中正确的是(　　)‎ A．一个算法中只能含有一种逻辑结构 B．一个算法中可以含有以上三种逻辑结构 C．一个算法中必须含有以上三种逻辑结构 D．一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构 解：算法中的逻辑结构可以是一种或多种，故选B.‎ ‎2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是(　　)‎ A．1，3 B．4，1‎ C．0，0 D．6，0‎ 解：把1赋给变量a，把3赋给变量b，由语句“a＝a＋b”得a＝4，即把4赋给变量a，由语句“b＝a－b”得b＝1，即把1赋给变量b，输出a，b，即输出4，1.故选B.‎ ‎3．()用反证法证明命题“若sinθ＋cosθ＝1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是(　　)‎ A．sinθ≥0或cosθ≥0 ‎ B．sinθ<0且cosθ<0‎ C．sinθ<0或cosθ<0 ‎ D．sinθ>0且cosθ>0‎ 解：用反证法证明，只需要否定命题的结论，即sinθ<0或cosθ<0.故选C.‎ ‎4．()观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为(　　)‎ A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 ‎ B．9(n－1)＋n＝10n－9‎ C．9n＋(n－1)＝10n－1 ‎ D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10‎ 解：结合前4个式子的共同特点可知第n个式子为9(n－1)＋n＝10n－9，故选B.‎ ‎5．()执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解：输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝－，k＝1；第二次循环，a＝－2，k＝2；第三次循环，a＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B.‎ ‎6．()设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：若四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体PABC的体积为V，内切球的半径为R，则R＝(　　)‎ A. B. C. D. 解：设四面体PABC的内切球球心为O，那么V＝VOABC＋VOPAB＋VOPAC＋VOPBC，即V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R，可得R＝，故选C.‎ ‎7．阅读下列程序，输出结果为2的是(　　)‎ n＝0‎ DO n＝n＋1‎ LOOP UNTIL n>＝2‎ PRINT n END　‎ n＝0‎ DO n＝n＋1‎ LOOP UNTIL n<＝2‎ PRINT n END A．‎ B.‎ n＝0‎ WHILE n<＝2　　　‎ ‎ 　 n＝n＋1‎ WEND PRINT n END　‎ n＝0‎ WHILE n>＝2　　　‎ ‎ 　 n＝n＋1‎ WEND PRINT n END C．‎ D.‎ 解：运行各选项程序，易知A选项的输出结果为2.故选A.‎ ‎8．()阅读如图所示程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是(　　)‎ A．[－2，－1] B．(－∞，－1]‎ C．[－1，2] D．[2，＋∞)‎ 解：该框图的作用是计算分段函数f(x)＝的值．其输出的函数值在区间，则有≤2x≤，得－2≤x≤－1.故选A.‎ ‎9．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，…，则72 016的末两位数字为(　　)‎ A．01 B．43 C．07 D．49‎ 解：75＝16 807，76＝117 649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末两位数字呈周期出现，且周期为4，因为2 016＝504×4，所以72 016与74末两位数字相同，故选A.‎ ‎10．()执行如图所示的程序框图，则输出的S值是(　　)‎ A. B．－1 C．0 D．－1－ 解：在数列{an}中，an＝cos，a1＝，a2＝0，a3＝－，a4＝－1，a5＝－，a6＝0，a7＝，a8＝1，a9＝，…，该数列是以8为周期的周期数列，则其前8项和等于0，结合题中的程序框图得知，最后输出的值等于数列{an}的前2 017项的和，而2 017＝8×252＋1，因此前2 017项的和为252×0＋＝.故选A.‎ ‎11．()如图，第n个图形由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…)，则在第n个图形中顶点的个数为(　　)‎ A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)‎ C．n2 D．n 解：第1个图形由三角形“扩展”而来，共3×4＝12个顶点；第2个图形由正方形“扩展”而来，共4×5＝20个顶点；第3个图形由正五边形“扩展”而来，共5×6＝30个顶点；第4个图形由正六边形“扩展”而来，共6×7＝42个顶点；…；第n个图形由正n＋2边形“扩展”而来，共(n＋2)(n＋3)个顶点．故选B.‎ ‎12．()袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球 放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球．由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．()执行下边的程序框图，输出的T的值为____________．‎ 解：初始条件n＝1，T＝1，‎ 运行第一次：T＝1＋xdx＝1＋＝，n＝2；‎ 运行第二次：T＝＋x2dx＝＋＝，n＝3，n<3不成立，输出T的值为.故填.‎ ‎14．()已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：________________________．‎ 解：由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，所以＝.故填＝.‎ ‎15．有以下程序：‎ INPUT x IF　x<＝－1　THEN ‎ 　 f(x)＝x＋2‎ ELSE IF　x>－1　AND　x<＝1　THEN f(x)＝x*x ELSE　f(x)＝－x＋2‎ END IF END IF PRINT f(x)‎ END 根据如上程序，若函数g(x)＝f(x)－m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是__________．‎ 解：由题意知，‎ f(x)＝ 画出函数y＝f(x)的图象如图所示．‎ 因为函数g(x)＝f(x)－m有两个零点，即直线y＝m与函数y＝f(x)有两个交点，所以m<0或m＝1.‎ 故填(－∞，0)∪{1}．‎ ‎16．定义max{a，b}表示实数a，b中较大的数．已知数列{an}满足a1＝a(a>0)，a2＝1， an＋2＝(a∈N*)，若a2 018＝4a，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 018的值为____________．‎ 解：由题意a3＝，当a≥2时，a4＝4，a5＝2a，a6＝a，a7＝1，因此{an}是周期数列，周期为5，所以a2 018＝a3＝≠4a，不合题意；当a<2时，a4＝，a5＝4，a6＝a，a7＝1，同理{an}是周期数列，周期为5，所以a2 018＝a3＝＝4a，得a＝1，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝18，S2 018＝403×18＋a1＋ a2＋a3＝7 260.故填7 260.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(10分)观察：①sin26°＋cos236°＋ sin6°cos36°＝；‎ ‎②sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝.‎ 由上面两个式子的结构规律，请提出一个一般性的猜想，并证明你的猜想．‎ 解：猜想：‎ sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.‎ 证明：左边＝＋＋sinα(cosα－sinα)‎ ‎＝1－cos2α－sin2α＋sin2α－＋ cos2α＝1－＝＝右边，得证．‎ ‎18．(12分)某函数f(x)给出x的值时，求相应函数值y的程序框图如图所示．‎ ‎(1)写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)若输入的x取x1和x2(|x1|<|x2|)时，输出的y值相同，试简要分析x1与x2的取值范围．‎ 解：(1)由程序框图知，该程序框图执行的功能是求函数f(x)＝|x2－1|的值，故f(x)的解析式为f(x)＝|x2－1|.‎ ‎(2)画出f(x)＝|x2－1|的草图如图．‎ 由图象的对称性知：‎ 要使f(x1)＝f(x2)且|x1|<|x2|，‎ 需－11或－≤x2<－1，‎ 所以x1的取值范围是{x|－10，＋＝2m－1>0，所以m≥.‎ ‎20．(12分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，用f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．‎ ‎(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；‎ ‎(2)证明：＋＋＋…＋<.‎ 解：(1) f(4)＝37，f(5)＝61.‎ 由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，‎ f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，‎ f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，‎ f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，‎ ‎……‎ 因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，‎ 所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.‎ 又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，‎ 所以f(n)＝3n2－3n＋1(直接给出结果也可)．‎ ‎(2)证明：当n≥2时，‎ ＝＜＝ .‎ 当n＝1时，显然结论成立，‎ 当n≥2时，＋＋＋…＋＜1＋[＋＋…＋]＝1＋＜1＋＝.综上，结论成立．‎ ‎21．(12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．‎ ‎(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；‎ ‎(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；‎ ‎(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．‎ 解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.‎ 所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.‎ ‎(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值i(i＝1，2，3)的频率如下：‎ 输出y的值 为1的频率 输出y的值 为2的频率 输出y的值 为3的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.‎ P(ξ＝0)＝C××＝，‎ P(ξ＝1)＝C××＝，‎ P(ξ＝2)＝C××＝，‎ P(ξ＝3)＝C××＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，‎ 即ξ的数学期望为1.‎ ‎22．(12分)把正整数按从小到大、左小右大的原则依次排成如图所示的数表：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6　 7‎ ‎8　9　10　11　12　13　14　15‎ ‎……‎ 设aij(i，j∈N*)是数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，数表中第i行共有2i－1个正整数．‎ ‎(1)若aij＝2 017，求i，j的值；‎ ‎(2)设An＝a11＋a22＋a33＋…＋ann(n∈N*)，试比较An与n2＋n的大小，并说明理由．‎ 解：(1)由于前10行共有1＋21＋22＋…＋29＝210－1＝1 023个数，而2 017－1 023＝994，所以i＝11，j＝994.‎ ‎(2)因为a11＝20，a22＝21＋1，a33＝22＋2，a44＝23＋3，…，ann＝2n－1＋(n－1)，‎ 所以An＝20＋(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋[2n－1＋(n－1)]‎ ‎＝(20＋21＋22＋23＋…＋2n－1)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]‎ ‎＝.‎ 所以An－(n2＋n)＝.‎ 验证知，当n＝1，2，3时，Ann2＋n.‎ 以下用数学归纳法证明：当n≥4时，2n＋1>n2＋3n＋2.‎ ‎①当n＝4时，25＝32>42＋3×4＋2＝30，不等式成立；‎ ‎②假设n＝k时，2k＋1>k2＋3k＋2成立，则当n＝k＋1时，2k＋2＝2·2k＋1>2(k2＋3k＋2)＝k2＋2k＋1＋3k＋3＋k2＋k>(k＋1)2＋3(k＋1)＋2.‎ 即n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 综上①②知，当n≥4时，2n＋1>n2＋3n＋2.‎ 亦即当n≥4时，An>n2＋n.‎