【数学】2020届一轮复习人教A版反证法学案

【数学】2020届一轮复习人教A版反证法学案

‎2.2.2　反证法 ‎　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.　2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.‎ 反证法的定义及证题关键 对反证法的三点说明 ‎（1）反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.‎ ‎（2）反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”写成“设”.‎ ‎（3）并非所有问题都可采用反证法证明，只有当问题从正面求解不好处理或较烦琐时，才考虑反证法.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎ 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）‎ ‎（1）反证法属于间接证明问题的方法.（　　）‎ ‎（2）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.（　　）‎ ‎（3）反证法的实质是否定结论导出矛盾.（　　）‎ 答案：（1）√　（2）×　（3）√‎ ‎ 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（　　）‎ ‎①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论.‎ A.①②　　　B.①②④　　　C.①②③　　　D.②③‎ 答案：C ‎ 命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是（　　）‎ A.a＜b B.a≤b C.a＝b D.a≥b 答案：B ‎ 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；‎ ‎②所以一个三角形中不能有两个直角；‎ ‎③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.‎ 正确顺序的排列为　　　　Ｗ.‎ 解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的.‎ 答案：③①②‎ 探究点1　用反证法证明否定性命题 ‎　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.‎ ‎【证明】　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.‎ 因为ad－bc＝1，‎ 所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，‎ 即（a＋b）2＋（c＋d）2＋（a－d）2＋（b＋c）2＝0.‎ 所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，‎ 则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，‎ 故假设不成立.‎ 所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.‎ ‎（1）用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.‎ ‎（2）用反证法证明数学命题的步骤 ‎　 ‎ ‎　已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列.‎ 证明：假设a，b，c构成等差数列，‎ 则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，‎ 又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，‎ 且a，b，c为正数，‎ 所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，‎ 因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以（a－c）2＝0，‎ 从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾.‎ 故a，b，c不成等差数列.‎ 探究点2　用反证法证明唯一性命题 ‎　若函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，且f（a）<0，f（b）>0，且f（x）在[a，b]上单调递增，求证：f（x）在（a，b）内有且只有一个零点.‎ ‎【证明】　由于f（x）在[a，b]上的图象连续不断，且f（a）<0，f（b）>0，即f（a）·‎ f（b）<0，‎ 所以f（x）在（a，b）内至少存在一个零点，设零点为m，‎ 则f（m）＝0.假设f（x）在（a，b）内还存在另一个零点n，‎ 即f（n）＝0，则n≠m.‎ 若n>m，则f（n）>f（m），即0>0，矛盾；‎ 若n0，则方程x＋＝2sin x的根的情况是（　　）‎ A.有实根 B.无实根 C.恰有一实根 D.无法确定 解析：选B.x>0时，x＋≥2，而2sin x≤2，但此二式中“＝”不可能同时取得，所以x＋＝2sin x无实根.‎ ‎4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数（　　）‎ A.至少有一个不大于2 B.都小于2‎ C.至少有一个不小于2 D.都大于2‎ 解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确.‎ ‎5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（　　）‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.‎ ‎6.在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为　　　　　　　　Ｗ.‎ 解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.‎ 答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP ‎7.下列命题适合用反证法证明的是　　　　（填序号）.‎ ‎①已知函数f（x）＝ax＋（a＞1），证明：方程f（x）＝0没有负实数根；‎ ‎②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：和中至少有一个小于2；‎ ‎③关于x的方程ax＝b（a≠0）的解是唯一的；‎ ‎④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.‎ 解析：①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明.‎ 答案：①②③④‎ ‎8.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.‎ 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是　　　　（填序号）.‎ 解析：若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出.对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.‎ 反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.‎ 答案：③‎ ‎9.已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.‎ 证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，‎ 则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，‎ 这与已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，故假设错误.‎ 所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.‎ ‎10.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.‎ 证明：如图所示，连接AB，假设AC⊥平面SOB.‎ 因为直线SO在平面SOB内，‎ 所以AC⊥SO.‎ 因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB，‎ 所以SO⊥平面SAB，‎ 所以平面SAB∥底面圆O.‎ 这显然矛盾，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11.若下列关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0（a为常数），x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B.∪[－1，＋∞）‎ C.（－2，0）‎ D.∪[0，＋∞）‎ 解析：选B.假设三个方程都没有实数根，则解得－＜a＜－1，故三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a≤－或a≥－1.‎ ‎12.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（　　）‎ A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 解析：选B.假设满足条件的学生有4位及4位以上，则可知4位学生中必有两位语文成绩一样，且这两位同学数学成绩不同，那么两个人中会有一个人的成绩比另一个人好.这与“一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好”相矛盾，故排除C，D.假设满足条件的学生有3位，用a，b，c表示“优秀”“合格”“不合格”，用“（语，数）”来表示某学生的成绩，则满足题意的3位学生的成绩为（a，c），（c，a），（b，b），所以最多有3人.‎ ‎13.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点.若f（c）＝0，且0＜x＜c时f（x）＞0.‎ ‎（1）证明：是函数f（x）的一个零点；‎ ‎（2）试用反证法证明：＞c.‎ 证明：（1）因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，‎ 所以f（x）＝0有两个不等实根x1，x2.‎ 因为f（c）＝0，‎ 所以x1＝c是f（x）＝0的一个根，又因为x1x2＝.‎ 所以x2＝，所以是f（x）＝0的另一个根，即是函数f（x）的一个零点.‎ ‎（2）由第一问知≠c，故假设＜c，‎ 易知＞0，由题知当0＜x＜c时，f（x）＞0，‎ 所以f＞0与f＝0矛盾，‎ 所以＞c.‎ ‎14.（选做题）设{an}是公比为q的等比数列.‎ ‎（1）推导{an}的前n项和公式；‎ ‎（2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列.‎ 解：（1）设{an}的前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ 由①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，‎ 所以Sn＝，‎ 综上所述，Sn＝ ‎（2）证明：假设{an＋1}是等比数列，‎ 则对任意的k∈N*，‎ ‎（ak＋1＋1）2＝（ak＋1）（ak＋2＋1），‎ a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，‎ 因为a1≠0，‎ 所以2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ 因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，‎ 所以q＝1，这与已知矛盾.‎ 所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列.‎