重庆市朝阳中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

重庆市朝阳中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

朝阳中学2019年12月月考 高二数学 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，且==，‎ 所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B ‎2.已知sin（）=，则（）的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为sin（）=，则（）= sin（）=，选B ‎3.已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．‎ ‎【详解】，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将函数不等式转化为自变量的不等式即可得到结论.‎ ‎【详解】解：的定义域为，‎ ‎，‎ 函数为偶函数，‎ 且在时，，‎ 而为上的单调递增函数，且为上的单调递增函数，‎ 函数在单调递增，‎ 等价为，‎ 即，‎ 平方得，‎ 解得：，‎ 所求的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎5.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A. f(x)的一个周期为−2π B. y=f(x)的图像关于直线x=对称 C. f(x+π)的一个零点为x= D. f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；‎ f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；‎ ‎∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；‎ 由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．‎ 故选D.‎ ‎6.下列五个写法：；；；；；，其中错误写法的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出，错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出，的对错；据集合元素的三要素判断出对.‎ ‎【详解】解：对于，“”是用于元素与集合的关系，故错；‎ 对于，是任意集合的子集，故对；‎ 对于，集合中的元素有确定性、互异性、无序性，两个集合是同一集合，故对；‎ 对于，因为是不含任何元素的集合，故错；‎ 对于，因为“”用于集合与集合，故错.‎ 故错误的有，共个，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素，属于基础题.‎ ‎7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosA=﹣sinA，‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵＜A＜π，‎ ‎∴A= ，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∵a=2，c=，‎ ‎∴sinC== ，‎ ‎∵a＞c，‎ ‎∴C=，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎8.设x、y、z为正数，且，则 A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令，则，，‎ ‎∴，则，‎ ‎，则，故选D.‎ 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.‎ ‎9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=5，且f（x+4）= - f（x），则f（2012）+f（2015）的值为（　　）‎ A. 0 B. C. 2 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题函数奇偶性及周期性的综合运用问题，有题中条件可获取函数具有周期性 ‎【详解】，可知所以函数周期T=8，‎ ‎【点睛】本题考察了函数奇偶性及周期性的综合运用，本题还可以继续探究，比如函数是否有对称性；比如能否写出该函数的所有对称轴，所有的对称中心……，由函数是奇函数即函数还会关于对称，再加上周期性我们可以得出所有对称轴的方程 ‎10.已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可求得的方程，设出点坐标，代入的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案.‎ ‎【详解】解：依题意，作图如下 ‎，，，，‎ 直线的方程为：，整理得：，‎ 设直线上的点，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 由得：，于是，‎ ‎，‎ 整理得：，又，，‎ ‎，‎ ‎，又椭圆的离心率，‎ ‎，‎ 椭圆的离心率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于中档题.‎ ‎11.已知集合，．若，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论两种情况，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】当时： 成立；‎ 当时： 解得：.‎ 综上所述：‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.‎ ‎12.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 不等式为(*)，‎ 当时，(*)式即为，，‎ 又（时取等号），‎ ‎（时取等号），‎ 所以，‎ 当时，(*)式为，，‎ 又（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），‎ 所以，‎ 综上．故选A．‎ ‎【考点】不等式、恒成立问题 ‎【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.函数的图象在处的切线方程为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数的图象在处的切线方程为，‎ ‎，解得：，‎ ‎.‎ 故答案应填：-3．‎ 考点：导数的几何意义．‎ ‎14.函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数导数，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数与x轴有两个交点或 考点：函数单调性 点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况 ‎15.数列的通项公式，则该数列的前项之和等于______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分母有理化化简数列的通项公式，然后利用裂项求和法能求出数列的前项之和.‎ ‎【详解】解：数列的通项公式为：.‎ 则该数列的前项之和为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列求和的应用，注意裂项相消法的合理运用考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为3，则球O的体积为______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合球的空间结构特征首先确定半径，然后求解其体积即可.‎ ‎【详解】由于，故点A,B在大圆上，‎ 结合球的空间结构特征可知当平面时，其体积最大，‎ 设球的半径为，结合棱锥的体积公式可得：，‎ 据此可得：，球O的体积.‎ ‎【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征，球的体积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ ‎17.已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先解一元二次方程：，再根据α范围，确定tanα取值：，最后将所求式子化为切，代入正切值计算结果：‎ ‎（2）利用同角三角函数关系解方程组，注意α范围，在开方时取负值：，因此代入可求的值 试题解析：‎ 解：∵，∴，∴或，又α是第三象限角，‎ ‎（1）．‎ ‎（2）∵且α第三象限角，∴，∴‎ 考点：切化弦，同角三角函数关系 ‎【名师点睛】‎ ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1．（2）商数关系：tan α＝（α≠＋kπ，k∈Z）．‎ ‎2．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．‎ ‎18.如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）平面 平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.‎ ‎【详解】（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．‎ ‎【考点】线面平行与面面垂直．‎ ‎19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2），此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 考点：坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.‎ ‎【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，‎ 由椭圆离心率，则b2=3．‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．‎ 又A，B两点在椭圆C上，‎ ‎∴，‎ ‎∴点O到直线AB的距离，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．‎ 由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，‎ 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，‎ 整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．‎ ‎∴点O到直线AB的距离为定值．‎ 综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎21.如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）法一、取中点，连接，，由三角形的中位线定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，说明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定得到平面；‎ 法二、证明平面，转化为证明平面平面，在中，过作，垂足为，连接，由已知底面，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面，则结论得证；‎ ‎（2）连接，证得，进一步得到平面平面，在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．然后求解直角三角形可得直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：法一、如图，取中点，连接，，‎ 为的中点，‎ ‎，且，‎ 又，，且，‎ ‎，且，‎ 则，且，‎ 四边形为平行四边形，则，‎ 平面，平面，‎ ‎ 平面；‎ 法二、‎ 在中，过作，垂足为，连接，‎ 在中，由已知，，得，‎ ‎，‎ ‎，则，‎ 在中，‎ ‎， ，‎ 由余弦定理得：，‎ ‎，‎ 而在中， ，‎ ‎，即，‎ ‎，则平面．‎ 由底面，得，又，‎ ‎，则平面．‎ ‎， ‎ 平面平面，则MN∥平面；‎ ‎（2）解：在中，由，，，得 ‎．‎ ‎，则，‎ 底面，平面，‎ 平面平面，且平面平面，‎ ‎ 平面，则平面平面．‎ 在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．‎ 在中，由是的中点，得 ‎，‎ 中，由，得，‎ ‎．‎ 直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．‎ ‎22.设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，直线交圆于，两点，过点作的平行线交于点.‎ ‎（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，故，所以，得到，化简得，利用椭圆的定义，即可求解；‎ ‎（2）设的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，结合弦长公式和三角形的面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】（1）因为，，故，‎ 所以，故，‎ 又圆的标准方程为，‎ 从而，所以，‎ 由题设得，，，‎ 由椭圆定义可得点的轨迹方程为.‎ ‎（2）当与轴不垂直时，设的方程为，，，‎ 由得，‎ 则，，‎ 所以，‎ 过点且与垂直的直线，到的距离为，‎ 所以，‎ 故四边形的面积，‎ 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为，‎ 当与轴垂直时，其方程为，，四边形的面积为，‎ 综上，四边形面积的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎ ‎