2018届二轮复习空间几何体：第7节多面体与球有关的切、接问题学案（全国通用）

2018届二轮复习空间几何体：第7节多面体与球有关的切、接问题学案（全国通用）

第7节 几何体的展开、折叠、切、截问题 ‎【基础知识】‎ 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．‎ ‎【规律技巧】‎ 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．‎ 研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．‎ om ‎【典例讲解】‎ 例1、如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A.π　　　B．3π　　　C.π　　　D．2π 所以该球的体积V＝π3＝π.故选A.‎ ‎【答案】A ‎ ‎【变式探究】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________．‎ ‎【针对训练】‎ ‎1、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥外接球表面积等于(　　)‎ A．8π　 B．16π C．48π　 D．50π ‎【答案】B ‎2、已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是______________．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由三视图知，棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为2，即为球的直径．‎ 所以球的表面积为S＝4π·2＝12π.‎ ‎3、如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.‎ ‎【答案】1∶24‎ ‎【解析】＝＝··＝×××＝.‎ ‎4、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．‎ ‎【答案】48 ‎5、如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△‎ AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎6、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） ‎ A.1 B.2 C.3 D.4 ‎ ‎【答案】B ‎7、在棱长为的正方体中，点和分别是矩形和的中心，则过点、、的平面截正方体的截面面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点、、的平面截面的等边，其边长为，面积为．‎ ‎8、正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎8、把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为 ．‎ 主视图 俯视图 ‎【答案】‎ ‎9、如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示．‎ ‎ （Ⅰ） 求证：BC⊥平面ACD；‎ ‎ （Ⅱ）求几何体DABC的体积．‎ ‎【练习巩固】‎ ‎1．（2014·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图12‎ 所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ 图12‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B　‎ ‎2．（2014·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A. B．16π C．9π D. ‎【答案】A　‎ ‎3．（2014·陕西卷）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A. B．4π C．2π D. ‎【答案】D　‎ ‎4.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．‎ ‎5．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面ACD；‎ ‎(2)求几何体D－ABC的体积．‎ ‎6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．‎ ‎ (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；‎ ‎(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．‎ ‎【解析】(1)连接OM，则OM⊥AB，‎ 设OM＝r，OB＝－r，‎ 在△BMO中，sin∠ABC＝＝⇒r＝.‎ ‎∴S＝4πr2＝π.‎