2020-2021年新高三数学一轮复习训练：不等关系与不等式

2020-2021年新高三数学一轮复习训练：不等关系与不等式

2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：不等关系与不等式 比较两个数(式)的大小 1 若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 2.已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是( ) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 3 已知 a1，a2∈(0，1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( ) A.MN C.M＝N D.不确定 4.若 a＝ln 3 3 ，b＝ln 4 4 ，c＝ln 5 5 ，则( ) A.a|b|”是“a3>b3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a>c b；②acloga(b－c). 其中所有正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 不等式及其性质的应用 1.设 b>a>0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是( ) A． 11 221 b－c C.a＋2 b＋2>a b D．ac2bc2，则 a>b B．若 a>b，则 a＋cb，c>d，则 ac>bd D．若 a>b，c>d，则a c>b d 2．若 a，b∈R，且 a>|b|，则( ) A．a<－b B．a>b C．a21 b 3．若 a1 b B．a2bn 4．已知c3 a|a| B．ac>bc C.a－b c >0 D．ln a b>0 5．设 M＝3x＋3y 2 ，N＝( 3)x＋y，P＝3 xy (其中 00 B.2a－b<1 2 C.log2a＋log2b<－2 D.2 a b ＋b a<1 2 8.设 a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝  a，a≤b， b，a>b， a⊕b＝  b，a≤b， a，a>b. 若 m⊗n≥2， p⊕q≤2，则( ) A.mn≥4 且 p＋q≤4 B.m＋n≥4 且 pq≤4 C.mn≤4 且 p＋q≥4 D.m＋n≤4 且 pq≤4 9.已知存在实数 a 满足 ab2>a>ab，则实数 b 的取值范围是________. 10.已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 满足 f(1)＝0，且 a>b>c，求c a的取值范围. 11.已知 a>0，b>0，a≠b，则 aabb 与(ab) a＋b 2 的大小关系是________. 1．(2020·天津模拟)若 α，β 满足－π 2<α<β<π 2，则 2α－β 的取值范围是( ) A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π C．－3π 2 <2α－β<π 2 D．0<2α－β<π 2．(多选)若 a1 b B.1 a> 1 a－b C． 22 33>ab D.1 a2> 1 b2 3．(多选)已知 a，b∈(0,1)，若 a>b，则下列所给命题中错误的为( ) A． 1 (1- ) >(1- )aabb B． 2(1- ) > (1- ) a abb C．(1＋b)b>(1＋a)a D．(1－b)b>(1－a)a 4.限速 40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，写成 不等式为( ) A.v<40 km/h B.v>40 km/h C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h 5.若 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则 f(x)，g(x)的大小关系是( ) A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x) C.f(x)＜g(x) D.随 x 的值变化而变化 6.若 a，b 都是实数，则“ a－ b>0”是“a2－b2>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若 a，b∈R，且 a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a－b>0 B.a3＋b3>0 C.a2－b2<0 D.a＋b<0 8.已知 x，y∈R，那么“x>y”的充要条件是( ) A.2x>2y B.lg x>lg y C.1 x>1 y D.x2>y2 9.若实数 m，n 满足 m>n>0，则( ) A.－1 m<－1 n B. m－ n< m－n C. 1 2 m > 1 2 n D.m2N B.M9 12．已知 a，b，c，d 为实数，则“a>b 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．若 a＝ln 3 3 ，b＝ln 4 4 ，c＝ln 5 5 ，则( ) A．amn>m＋n B．m－n>m＋n>mn C．mn>m－n>m＋n D．m＋n>m－n>mn 15．设 0bln a B．aln b”“<”或“＝”). 17.设 f(x)＝ax2＋bx，若 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则 f(－2)的取值范围是________. 18.已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题： ①若 ab>0，bc－ad>0，则c a－d b>0； ②若 ab>0，c a－d b>0，则 bc－ad>0； ③若 bc－ad>0，c a－d b>0，则 ab>0. 其中正确的命题是________(填序号). 19．已知 a＋b>0，则 a b2＋ b a2与1 a＋1 b的大小关系是________． 20．已知有三个条件：①ac2>bc2；②a c>b c；③a2>b2，其中能成为 a>b 的充分条件的是________．(填序号) 21.已知 17 时，0<7 a<1,7－a<0，则 7 a 7－a>1，∴77aa>7aa7； 当 01,7－a>0，则 7 a 7－a>1，∴77aa>7aa7，综上，77aa>7aa7. 2.【答案】A 【解析】∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＝ a－1 2 2 ＋3 4>0， ∴b>a，∴c≥b>a. 3.【答案】B 【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又因为 a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以 a1－1<0，a2－1<0.所以(a1－1)(a2－1)>0，即 M－N>0， 所以 M>N. 4.【答案】B 【解析】法一 易知 a，b，c 都是正数，b a＝3ln 4 4ln 3＝log8164<1，所以 a>b；b c＝5ln 4 4ln 5＝ log6251 024>1，所以 b>c.即 c0，得 0e. ∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数. ∴f(3)>f(4)>f(5)，即 a>b>c. 5.答案 M>N 解析 因为 M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以 M>N. 考向二 1.【答案】A 【解析】a>|b|能推出 a>b，进而得 a3>b3；当 a3>b3 时，有 a>b，但若 b|b|不成立， 所以“a>|b|”是“a3>b3”的充分不必要条件. 2.【答案】D 【解析】由不等式性质及 a>b>1，知1 a<1 b，又 c<0，∴c a>c b，①正确； 构造函数 y＝xc，∵c<0，∴y＝xc 在(0，＋∞)上是单调递减的， 又 a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1， ∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确. 考向三 1.答案 D 解析 因为 y＝ 1 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以 11 221 b－c； 因为a＋2 b＋2－a b＝2b－a b＋2b>0，所以a＋2 b＋2>a b； 2.答案  －π，π 8 解析 设 2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)， 则   m＋n＝2， m－n＝－1， ∴    m＝1 2， n＝3 2， 即 2α－β＝1 2(α＋β)＋3 2(α－β)， ∵π<α＋β<5π 4 ，－π<α－β<－π 3， ∴π 2<1 2(α＋β)<5π 8 ，－3π 2 <3 2(α－β)<－π 2， ∴－π<1 2(α＋β)＋3 2(α－β)<π 8， 即－π<2α－β<π 8， ∴2α－β 的取值范围是 －π，π 8 . 3.【答案】   x＋y≤100， 6x＋7y≥560， 2x＋y≥155， x≥0，y≥0 【解析】x，y 所满足的关系为   x＋y≤100， 600x＋700y≥56 000， 800x＋400y≥62 000， x≥0，y≥0， 即   x＋y≤100， 6x＋7y≥560， 2x＋y≥155， x≥0，y≥0. 4.【答案】(4，24) 【解析】依题意可得 4<1 b<8，又 1b，则 a＋c>b＋c，故 B 错；设 a＝3，b＝1，c＝－1，d＝－2，则 ac|b|得，当 b≥0 时，a>b，当 b<0 时，a>－b，综上可知，当 a>|b|时，则 a>b 成立，故选 B. 3.答案 C 解析 (特值法)取 a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确； C 项，|b| |a|<|b|＋1 |a|＋1⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1) ⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|， ∵a1 b>0，即 b>a>0， ∴|b|>|a|, ac>bc, a－b c >0 成立，即 A，B，C 成立； 此时 00 时，A，B，C 也正确．故选 D. 5.答案 A 解析 M＝3x＋3y 2 > 3x＋y＝( 3)x＋y＝N， 又 N＝( 3)x＋y＝ 23 xy >3 xy ＝P， ∴M>N>P. 6.答案 ABD 解析 运用倒数性质，由 a＞b，ab＞0 可得1 a＜1 b，B、D 正确.又正数大于负数，A 正确，C 错 误，故选 A，B，D. 7.答案 C 解析 由题意知 02 a b·b a＝2，所以 2a b＋b a>22＝4，D 错误；由 a＋b＝1>2 ab，得 ab<1 4，因此 log2a＋log2b＝log2(ab)n， 即 n≥m≥2 或 m>n≥2，所以 mn≥4； 结合定义及 p⊕q≤2，可得 p≤2， p>q 或  q≤2， p≤q， 即 qa>ab，所以 a≠0，当 a>0 时，b2>1>b，即  b2>1， b<1， 解得 b<－1；当 a<0 时，b2<11， 此式无解. 综上知实数 b 的取值范围是(－∞，－1). 10.解 因为 f(1)＝0，所以 a＋b＋c＝0， 所以 b＝－(a＋c).又 a>b>c， 所以 a>－(a＋c)>c，且 a>0，c<0， 所以 1>－a＋c a >c a，即 1>－1－c a>c a. 所以  2c a <－1， c a>－2， 解得－2b>0 时，a b>1，a－b 2 >0， 则 a b a－b 2 >1，∴aabb>(ab) a＋b 2 . 当 b>a>0 时，01，∴aabb>(ab) a＋b 2 . 答案 aabb>(ab) a＋b 2 模拟练 1.答案 C 解析 ∵－π 2<α<π 2，∴－π<2α<π. ∵－π 2<β<π 2，∴－π 2<－β<π 2， ∴－3π 2 <2α－β<3π 2 . 又 α－β<0，α<π 2，∴2α－β<π 2. 故－3π 2 <2α－β<π 2. 2.答案 ABC 解析 对于 A，∵a1 b，故 A 正确；对于 B，∵a 1 a－b，故 B 正确；根据幂函数的单调性可知 C 正确；对于 D，∵ab2>0，∴ 1 a2< 1 b2，故 D 错 误． 3.答案 ABC 解析 因为 a，b∈(0,1)且 a>b，所以 1>1－b>1－a>0，因为指数函数 y＝ax(0a>b>0， 所以1 a>a，a>a 2，故 A，B 错误． (1＋b)b<(1＋a)b<(1＋a)a，故 C 错误． (1－b)b>(1－b)a>(1－a)a，故 D 正确． 4.答案 D 解析 由汽车的速度 v 不超过 40 km/h，即小于等于 40 km/h，即 v≤40 km/h，故选 D. 5.答案 B 解析 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x). 6.答案 A 解析 a－ b>0⇒ a> b⇒a>b⇒a2>b2，但由 a2－b2>0⇒/ a－ b>0.故选 A. 7.答案 D 解析 由 a＋|b|<0 知，a<0，且|a|>|b|， 当 b≥0 时，a＋b<0 成立，当 b<0 时，a＋b<0 成立，所以 a＋b<0，故选 D. 8.答案 A 解析 因为 2x>2y⇔x>y，所以“2x>2y”是“x>y”的充要条件，A 正确；lg x>lg y⇔x>y>0，则“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件，B 错误；“1 x>1 y”和“x2>y2”都是“x>y”的既不充分也不必要条件. 9.答案 B 解析 取 m＝2，n＝1，代入各选择项验证 A，C，D 不成立. 2－1< 2－1只有 B 项成立. 10.答案 A 解析 因为 00，1＋b>0，1－ab>0， 所以 M－N＝1－a 1＋a＋1－b 1＋b＝ 2－2ab 1＋a＋b＋ab>0.故选 A. 11.答案 C 解析 由 f(－1)＝f(－2)＝f(－3) 得  －1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c， －1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，解得  a＝6， b＝11， 则 f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c， 由 0d，所以 c－d>0. 又 a>b，所以两边同时乘(c－d)，得 a(c－d)>b(c－d)， 即 ac＋bd>bc＋ad. 若 ac＋bd>bc＋ad，则 a(c－d)>b(c－d)， 也可能 ab 且 c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件． 13.答案 B 解析 方法一 对于函数 y＝f (x)＝ln x x (x>e)，y′＝1－ln x x2 ， 易知当 x>e 时，函数 f (x)单调递减． 因为 e<3<4<5，所以 f (3)>f (4)>f (5)，即 cb； 因为b c＝5ln 4 4ln 5＝log6251 024>1， 所以 b>c.即 clog0.31＝0， n＝1 2log20.6<1 2log21＝0， 所以 mn<0，m－n>0， 因为－1 n＝－2log0.62＝log0.60.25>0， 1 m＝log0.60.3>0， 而 log0.60.25>log0.60.3， 所以－1 n>1 m>0，即可得 m＋n>0， 因为(m－n)－(m＋n)＝－2n>0，所以 m－n>m＋n， 所以 m－n>m＋n>mn.故选 B. 15.答案 B 解析 观察 A，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数 y＝ln x x ，0bea，故选 B. 16.答案 < 解析 分母有理化有 1 5－2＝ 5＋2， 1 6－ 5＝ 6＋ 5，显然 5＋2< 6＋ 5，所以 1 5－2 < 1 6－ 5. 17.答案 [5，10] 解析 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得  m＋n＝4， n－m＝－2，解得  m＝3， n＝1. ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4. ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10. 18.答案 ①②③ 解析 ∵ab>0，bc－ad>0， ∴c a－d b＝bc－ad ab >0，∴①正确； ∵ab>0，又c a－d b>0，即bc－ad ab >0， ∴bc－ad>0，∴②正确； ∵bc－ad>0，又c a－d b>0，即bc－ad ab >0， ∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确. 19.答案 a b2＋b a2≥1 a＋1 b 解析 a b2＋b a2－ 1 a＋1 b ＝a－b b2 ＋b－a a2 ＝(a－b)· 1 b2－ 1 a2 ＝a＋ba－b2 a2b2 . ∵a＋b>0，(a－b)2≥0， ∴a＋ba－b2 a2b2 ≥0. ∴ a b2＋b a2≥1 a＋1 b. 20 答案 ① 解析 由 ac2>bc2 可知 c2>0，即 a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当 c<0 时，ab 的充分条件． 21.解 因为 1

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