河北省唐山市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

河北省唐山市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

唐山二中2019-2020学年度第一学期高一期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） ‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据一元二次不等式计算出集合中表示元素范围,然后计算出的范围,最后根据交集的含义计算的结果.‎ ‎【详解】因为,所以即,所以,‎ 又因为,所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.‎ ‎2.已知函数是幂函数，且时，是递减的，则的值为（ ）‎ A. -1 B. ‎2 ‎C. -1或2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义求出的值，代入检验即可．‎ ‎【详解】由题意得：，解得：或，时，，递增，不合题意，时，，递减，符合题意.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题．‎ ‎3.已知，则此函数恒过定点是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求得自变量的值代入求y即可求得答案．‎ ‎【详解】由得：，此时，‎ ‎∴恒过定点.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的过定点问题，令对数型函数的真数为1，求得自变量的值是关键，属基础题．‎ ‎4.函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到（ ）‎ A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图象的变换规律，把函数的图象向左平移1个单位可得函数的图象，从而得出结论．‎ ‎【详解】把函数的图象向左平移1个单位可得函数的图象.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象的变换规律，注意仔细审题，属基础题．‎ ‎5.分段函数，则满足的值为（ ）‎ A. 0 B. ‎3 ‎C. 0或3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分类讨论，当时，，当时，，分别求解，即可得到满足的的值．‎ ‎【详解】，依题意有，‎ ‎①当时，，∵，∴，∴；‎ ‎②当时，，∵，∴，∴．‎ 综合①②，满足的的值为0或3．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的取值问题．对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．主要考查了根据函数值求变量的取值，解题的关键是判断该用哪段解析式进行求解．属基础题．‎ ‎6.下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．‎ ‎【详解】选项A中，，函数的定义域为 ‎，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；‎ 选项B中，，两个函数的定义域和对应法则相同，是相同函数；‎ 选项C中，由得或；由得，得，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；‎ 选项D中，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相同函数．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查相同函数的概念，分别判断函数的定义域和对应法则是解决本题的关键，属基础题．‎ ‎7.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出，，，从而可得出，，的大小关系．‎ 详解】∵，，，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性及其应用，注意仔细审题，属基础题.‎ ‎8.函数在上增函数，则在上是（ ）‎ A. 函数值由负到正且增函数 B. 函数值恒为正且为减函数 C. 函数值由正到负且为减函数 D. 没有单调性 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知分析出外函数的单调性，进而可得在上单调性和符号．‎ ‎【详解】内函数在上是增函数，若函数在上是增函数，则外函数为增函数；‎ 内函数在上是减函数，故在上是减函数，‎ 又由，在上是函数值由正到负且为减函数.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握复合函数单调性“同增异减”的原则是解答的关键，属基础题.‎ ‎9.已知函数，则下列的图象错误的是（ ）‎ A. 的图象 B. 的图象 C. 的图象 D. 的图象 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出函数的图象，再根据函数的图象特征以及图象的变化规律，判断各个选项的正确性．‎ ‎【详解】当时，，表示一条线段，且线段经过、．‎ 当时，，表示一段抛物线，如图所示：‎ 由于的图象可由的图象向右平移一个单位得到，故A正确；‎ 由于的图象可由的图象关于轴对称后得到的，故B正确；‎ 由于的值域为，故，故的图象可与的图象完全相同，故C正确；‎ 由于是偶函数，图象关于轴对称，故当时，它的图象和的图象相同，当时的图象，只要把在轴右侧的图象关于轴对称即可得到，且图象过原点，故D不正确．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象特征以及图象的变化规律，熟练掌握函数图象的变化规律是解题的关键，属基础题．‎ ‎10.函数有零点的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域，再利用函数的零点存在性定理求解判断即可．‎ ‎【详解】函数的定义域为，且在定义域上连续递增，‎ 而，，‎ 故函数的零点所在的区间是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理的应用，注意认真计算，属基础题．‎ ‎11.已知函数，在上是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为函数，在上是增函数，‎ 所以有，解得.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知函数，若存在实数，使得对任意的恒成立，则实数的最大值为（ ）‎ A. 10 B. ‎8 ‎C. 6 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由和得，化简得，令，利用函数性质将恒成立问题转化为且，求解的范围，最后求出最值．‎ ‎【详解】∵，∴，即为，‎ 化简，设，‎ 则的图象为开口向上的抛物线，‎ 若对任意的，恒成立，只需函数在两个端点处的函数值非正即可，‎ 即，配方得，则，，‎ 此时，即为，即，解得，‎ 又∵，∴，则的最大值为4．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查恒成立问题的转化，利用二次函数的图象及性质求解不等式恒成立问题，是一种重要的方法，属中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在Ⅱ卷答题卡上）‎ ‎13.函数的定义域是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：要使函数有意义，需满足，定义域为 考点：函数定义域 点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围或题目中指定的自变量的范围 ‎14.已知是定义域为的奇函数，当时，，写出分段函数的解析式_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的性质即可得到结论．‎ ‎【详解】∵是定义域为的奇函数，∴，若，则，‎ 即当时，，即，‎ 则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键，属基础题．‎ ‎15.已知，则函数的零点的个数是____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图象，借助图象分析函数零点的个数，进而可得答案．‎ ‎【详解】函数的图象如下图所示：‎ 结合图象分析：，则，则或；‎ 对于，存在两个解；对于，存在1个解，‎ 综上所述，函数的零点个数为3个.‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，分段函数的图象，对数函数的图象和性质，以及一次函数的图象和性质，熟练掌握图象的辨析和应用是解题的关键，属中档题．‎ ‎16.函数的定义域为A,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:‎ ‎①函数是单函数;‎ ‎②函数是单函数;‎ ‎③若为单函数,且,则;‎ ‎④若函数在定义域内某个区间D上具有单调性,则一定是单函数.‎ 其中真命题是 (写出所有真命题的编号).‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据单函数的定义可知如果函数为单函数，则函数在其定义域上一定是单调递增或单调递减函数，即该函数为一一对应关系，据此分析可知①不是，因为该二次函数先减后增；②不是，因为该函数是先减后增；显然④的说法也不对，故真命题是③.‎ 考点：新定义、函数的单调性，考查学生的分析、理解能力.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程，答案填在Ⅱ卷答题卡上）‎ ‎17.计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）1；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数的运算性质计算即可求得结果；‎ ‎（2）根据对数的运算性质和平方差公式化简计算即可.‎ ‎【详解】（1）原式；‎ ‎（2）原式．‎ ‎【点睛】本题考查指数和对数的运算性质，注意根式与指数式的关系，要求学生认真计算，仔细检查，属基础题.‎ ‎18.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查集合间的基本关系与运算,一元二次不等式.求得,(1)当时, ,；(2) ,且,解得.‎ 试题解析：（1）由，解得,所以集合,当时，集合,所以.‎ ‎（2）,因为，所以 ‎,所以.‎ ‎19.设，其中实常数.‎ ‎（1）求函数的定义域和值域；‎ ‎（2）已知为奇函数，求.‎ ‎【答案】（1）定义域为，值域；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）∵恒成立，∴函数的定义域为，然后对进行变形整理可得，又，由此可求出函数的值域；‎ ‎（2）根据奇函数的性质，，由此可求出，最后再验证时函数为奇函数即可.‎ ‎【详解】（1）∵恒成立，∴函数的定义域为，‎ ‎，∵，∴，‎ ‎∵，∴，则，，‎ 即函数的值域为；‎ ‎（2），为奇函数，‎ 则，即，等式恒成立，故.‎ 反之，若，易证此时函数为奇函数，所以.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义和性质，着重考查学生的计算求解能力和逻辑推理能力，属中档题.‎ ‎20.设函数，且．‎ ‎（1）若，求值；‎ ‎（2）求函数的最大值与最小值及与之对应的的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数的运算性质对变形整理可得，结合可得，即或，又，由此可求得结果；‎ ‎（2）令，由（1）得，，令，结合t的范围和二次函数的性质即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）∵函数，‎ 则，‎ 整理得，，即或，‎ 又，则；‎ ‎（2）令，由（1）得，‎ 函数，‎ 又∵，∴，∴，‎ 令，，‎ 当时，，即，∴，‎ ‎∴，此时；‎ 当时，，即，，‎ ‎∴，此时．‎ ‎【点睛】本题考查对数型二次函数的相关问题，着重考查学生的计算求解能力和转化与化归的能力，复合函数的问题一般采用换元法进行转化，属中档题.‎ ‎21.设为奇函数，为常数．‎ ‎（1）求证：是上的增函数；‎ ‎（2）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由奇函数的定义域关于原点对称可得，，即，则令，得到的根必为相反数，从而求出a，再根据定义法证明是上的增函数即可；‎ ‎（2）由题意知，时恒成立，令，根据单调性的运算可判断的单调性，从而求出最值.‎ ‎【详解】（1）∵是奇函数，∴定义域关于原点对称，‎ 由，得．令，得，，‎ ‎∴，解得，，令，‎ 设任意，且，则，‎ ‎∵，∴，，，∴，即．‎ ‎∴是减函数，又为减函数，‎ ‎∴在上为增函数；‎ ‎（2）由题意知，时恒成立，‎ 令，，‎ 由（2）知在上为增函数，又在上也是增函数，‎ 故在上为增函数，∴的最小值为，‎ ‎∴，故实数的范围是．‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，奇偶性和恒成立问题，着重考查学生的逻辑推理能力和转化与化归的能力，恒成立问题一般转化为最值问题，属中档题.‎ ‎22.定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，．‎ ‎（1）判断的奇偶性并证明；‎ ‎（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；‎ ‎（3）解关于不等式.‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在上是减函数．最大值为6，最小值为-6； （3）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，求出，再令，由奇偶性的定义，即可判断；‎ ‎（2）任取，则．由已知得，再由奇函数的定义和已知即可判断单调性，由，得到，，再由单调性即可得到最值；‎ ‎（3）将原不等式转化为，再由单调性，即得，即，再对b讨论，分，，，，共5种情况分别求出它们的解集即可.‎ ‎【详解】（1）令，则，即有，‎ 再令，得，则，‎ 故为奇函数；‎ ‎（2）任取，则．由已知得，‎ 则，‎ ‎∴，∴在上是减函数．‎ 由于，则，，．由在上是减函数，得到当时，的最大值为，最小值为；‎ ‎（3）不等式，即为.‎ 即，即有，‎ 由于在上是减函数，则，即为，‎ 即有，‎ 当时，得解集为；‎ 当时，即有，‎ ‎①时，，此时解集为，‎ ‎②当时，，此时解集为，‎ 当时，即有，‎ ‎①当时，，此时解集为，‎ ‎②当时，，此时解集为．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的基本性质和不等式问题，常用赋值法探索抽象函数的性质，本题第三小问利用函数性质将不等式转化为含参的一元二次不等式的求解问题，着重考查分类讨论思想，属难题.‎