2018届二轮复习（文科数学）集合常用逻辑用语课件（全国通用）

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第 1 讲 集合、常用逻辑用语 考情分析 总纲目录 考点一   集合的概念及运算 考点二 命题的真假判断与否定 考点三 充分、必要条件的判断 考点一   集合的概念及运算 集合的运算性质及重要结论 (1) A ∪ A = A , A ∪ ⌀ = A , A ∪ B = B ∪ A . (2) A ∩ A = A , A ∩ ⌀ = ⌀ , A ∩ B = B ∩ A . (3) A ∩ ( ∁ U A )= ⌀ , A ∪ ( ∁ U A )= U . (4) A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B , A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A . 典型例题 (1)(2017课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合 A ={ x | x <2}, B ={ x |3-2 x >0},则 (　　) A. A ∩ B =   　    B. A ∩ B = ⌀ C. A ∪ B =   　    D. A ∪ B =R (2)(2017课标全国Ⅲ理,1,5分)已知集合 A ={( x , y )| x 2 + y 2 =1}, B ={( x , y )| y = x }, 则 A ∩ B 中元素的个数为   (　　) A.3　    B.2　    C.1　    D.0 (3)(2017湖北四校联考)已知集合 A ={ x ∈N|π x <16}, B ={ x | x 2 -5 x +4<0},则 A ∩ ( ∁ R B )的真子集的个数为   (　　) A.1　    B.3　    C.4　    D.7 答案 　(1)A　(2)B　(3)B 解析 　(1)由3-2 x >0得 x <   ,则 B =   ,所以 A ∩ B =   ,故选A. (2)集合 A 表示单位圆上的所有的点,集合 B 表示直线 y = x 上的所有的点. A ∩ B 表示直线与圆的公共点,显然,直线 y = x 经过圆 x 2 + y 2 =1的圆心(0,0),故 共有两个公共点,即 A ∩ B 中元素的个数为2. (3)因为 A ={ x ∈N|π x <16}={0,1,2}, B ={ x | x 2 -5 x +4<0}={ x |1< x <4},故 ∁ R B = { x | x ≤ 1或 x ≥ 4},故 A ∩ ( ∁ R B )={0,1},故 A ∩ ( ∁ R B )的真子集的个数为3,故选 B. 方法归纳 1.集合运算中的常用方法 (1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解; (2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解; (3)若已知的集合是抽象集合,则用Venn图求解. 2.在写集合的子集时,易忽视空集;在应用 A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B 时, 易忽略 A = ⌀ 的情况. 跟踪集训 1.(2017天津,1,5分)设集合 A ={1,2,6}, B ={2,4}, C ={1,2,3,4},则( A ∪ B ) ∩ C =   (　　) A.{2}　     B.{1,2,4}　     C.{1,2,4,6}　     D.{1,2,3,4,6} 答案     B　由题意知 A ∪ B ={1,2,4,6},∴( A ∪ B ) ∩ C ={1,2,4},故选B. 2. (2017湖南湘中名校联考)已知集合 A ={ x | x 2 -11 x -12<0}, B ={ x | x =2(3 n +1), n ∈Z},则 A ∩ B 等于   (　　) A.{2}　    B.{2,8}　    C.{4,10}　    D.{2,8,10} 答案     B　因为集合 A ={ x | x 2 -11 x -12<0}={ x |-1< x <12},集合 B 为被6整除 余数为2的数.又集合 A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,其中被6整除余 数为2的数有2和8,所以 A ∩ B ={2,8},故选B. 3.(2017河南洛阳模拟)已知全集 U =R,集合 A ={ x | x 2 -3 x -4>0}, B ={ x |-2 ≤ x ≤ 2},则如图所示的阴影部分所表示的集合为   (　　)   A.{ x |-2 ≤ x <4}　     B.{ x | x ≤ 2或 x ≥ 4} C.{ x |-2 ≤ x ≤ -1}　    D.{ x |-1 ≤ x ≤ 2} 答案     D　题图中阴影部分所表示的集合为( ∁ R A ) ∩ B .依题意得 A ={ x | x <-1或 x >4},因此 ∁ R A ={ x |-1 ≤ x ≤ 4},所以( ∁ R A ) ∩ B={x|-1 ≤ x ≤ 2},选D. 考点二    命题的真假判断与否定 1.四种命题的关系 (1)若两个命题互为逆否命题,则它们同真同假. (2)若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假没有关系. 2.全(特)称命题及其否定 (1)全称命题 p : ∀ x ∈ M , p ( x ),它的否定为¬ p : ∃ x 0 ∈ M ,¬ p ( x 0 ). (2)特称命题 p : ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ),它的否定为¬ p : ∀ x ∈ M ,¬ p ( x ). 3.复合命题的真假判断 命题 p ∨ q ,只要 p , q 有一真,即为真;命题 p ∧ q ,只有 p , q 均为真,才为真;¬ p 和 p 的真假相反. 典型例题 　　(1)(2017河南郑州质量检测(一))命题“ ∃ x 0 ∈R,   - x 0 - 1 >0”的否定 是   (　　) A. ∀ x ∈R, x 2 - x -1 ≤ 0 B. ∃ x 0 ∈R,   - x 0 - 1 ≤ 0 C. ∀ x ∈R, x 2 - x -1>0 D. ∃ x 0 ∈R,   - x 0 -1 ≥ 0 (2)(2017山东,5,5分)已知命题 p : ∃ x ∈R, x 2 - x +1 ≥ 0;命题 q :若 a 2 < b 2 ,则 a < b . 下列命题为真命题的是   (　　) A. p ∧ q 　    B. p ∧¬ q 　    C.¬ p ∧ q 　    D.¬ p ∧¬ q (3)(2017北京,13,5分)能够说明“设 a , b , c 是任意实数.若 a > b > c ,则 a + b > c ”是假命题的一组整数 a , b , c 的值依次为 　　　　　     . 答案 　(1)A　(2)B　(3)-1,-2,-3 解析 　(1)命题“ ∃ x 0 ∈R,   - x 0 - 1>0”的否定是“ ∀ x ∈R, x 2 - x -1 ≤ 0”. (2) p : x 2 - x +1=   +   >0恒成立, ∴ ∃ x ∈R, x 2 - x +1 ≥ 0成立.故命题 p 为真. q : a 2 < b 2 ⇒ a 2 - b 2 <0 ⇒ ( a + b )( a - b )<0, ∴   或   解得   或   故命题 q 为假,从而¬ q 为真. ∴ p ∧¬ q 为真,故选B. (3)答案不唯一,如: a =-1, b =-2, c =-3,满足 a > b > c ,但不满足 a + b > c . 方法归纳 1.命题真假的判断方法 (1)一般命题 p 的真假由涉及的相关知识辨别. (2)四种命题真假的判断:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其 他两个命题的真假无此规律. (3)形如 p ∨ q , p ∧ q ,¬ p 命题的真假根据 p , q 的真假与逻辑联结词的含义判 断. 2.全称命题与特称命题真假的判断 (1)全称命题:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每 一个元素 x 验证 p ( x )成立,要判断其为假命题时,只需举出一个反例即可. (2)特称命题:要判断一个特称命题为真命题,只要在限定集合 M 中至少 能找到一个元素 x 0 ,使得 p ( x 0 )成立即可;否则,这一特称命题是假命题. 3.“否命题”是对原命题“若 p ,则 q ”既否定其条件,又否定其结论;而 “命题 p 的否定”即¬ p ,只是否定命题 p 的结论. 跟踪集训 1.(2017安徽合肥第二次教学质量检测)已知命题 q : ∀ x ∈R, x 2 >0,则 (    　) A.命题¬ q : ∀ x ∈R, x 2 ≤ 0为假命题 B.命题¬ q : ∀ x ∈R, x 2 ≤ 0为真命题 C.命题¬ q : ∃ x 0 ∈R,   ≤ 0为假命题 D.命题¬ q : ∃ x 0 ∈R,   ≤ 0为真命题 答案     D　由题意知¬ q : ∃ x 0 ∈R,   ≤ 0,为真命题,故选D. 2.(2017山西八校联考)已知命题 p :存在 n ∈R,使得 f ( x )= n   是幂函数, 且在(0,+ ∞ )上单调递增;命题 q :“ ∃ x 0 ∈R,   +2>3 x 0 ”的否定是“ ∀ x ∈ R, x 2 +2<3 x ”.则下列命题为真命题的是   (　　) A. p ∧ q 　     B.(¬ p )∧ q C. p ∧(¬ q )　     D.(¬ p )∧(¬ q ) 答案     C　当 n =1时, f ( x )= x 3 ,为幂函数,且在(0,+ ∞ )上单调递增,故 p 是 真命题,则¬ p 是假命题;“ ∃ x 0 ∈R,   +2>3 x 0 ”的否定是“ ∀ x ∈R, x 2 +2 ≤ 3 x ”,故 q 是假命题,¬ q 是真命题.所以 p ∧ q ,(¬ p )∧ q ,(¬ p )∧(¬ q )均为假命 题, p ∧(¬ q )是真命题,选C. 考点三    充分、必要条件的判断 1.若 p ⇒ q ,则 p 是 q 的充分条件; 2.若 q ⇒ p ,则 p 是 q 的必要条件; 3.若 p ⇒ q 且 q ⇒ p ,则 p 是 q 的充要条件; 4.若 p ⇒ q 且 q ⇒ / p ,则 p 是 q 的充分不必要条件; 5.若 p ⇒ / q 且 q ⇒ p ,则 p 是 q 的必要不充分条件; 6.若 p ⇒ / q 且 q ⇒ / p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 典型例题 (1)(2017天津,2,5分)设 x ∈R,则“2- x ≥ 0”是“| x -1| ≤ 1”的   (    　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件 (2)(2017北京,7,5分)设 m , n 为非零向量,则“存在负数 λ ,使得 m = λn ”是 “ m · n <0”的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案 　(1)B　(2)A 解析 　(1)由2- x ≥ 0,得 x ≤ 2;由| x -1| ≤ 1,得-1 ≤ x -1 ≤ 1,即0 ≤ x ≤ 2,因为[0, 2] ⫋ (- ∞ ,2],所以“2- x ≥ 0”是“| x -1| ≤ 1”的必要而不充分条件,故选B. (2)由存在负数 λ ,使得 m = λn ,可得 m 、 n 共线且反向,夹角为180 ° ,则 m · n = -| m || n |<0,故充分性成立.由 m · n <0,可得 m , n 的夹角为钝角或180 ° ,故必要性不 成立.故选A. 方法归纳 判断充分、必要条件的方法 (1)定义法. (2)集合法. (3)等价法. 跟踪集训 1.(2017安徽百所重点中学二模)“ a 3 > b 3 ”是“ln a >ln b ”的   (　　) A.充分不必要条件　     B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件 答案     B　由 a 3 > b 3 可得 a > b ,当 a <0, b <0时,ln a ,ln b 无意义;反之,由ln a > ln b 可得 a > b ,故 a 3 > b 3 .因此“ a 3 > b 3 ”是“ln a >ln b ”的必要不充分条件. 2.(2017福建八校适应性考试)已知函数 f ( x )=3ln( x +   )+ a (7 x +7 - x ),则 “ a =0”是“函数 f ( x )是奇函数”的   (　　) A.充分不必要条件　     B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件 答案     C　由题意知 f ( x )的定义域为R,易知 y =ln( x +   )是奇函数, y = 7 x +7 - x 是偶函数.当 a =0时, f ( x )=3ln( x +   )为奇函数,充分性成立;当 f ( x ) 为奇函数时, a =0,必要性成立.因此“ a =0”是“函数 f ( x )为奇函数”的充 要条件,故选C. 1.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合 A ={1,2,3,4}, B ={2,4,6,8},则 A ∩ B 中 元素的个数为   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 随堂检测 答案     B　因为集合 A 和集合 B 有共同元素2,4,所以 A ∩ B ={2,4},所以 A ∩ B 中元素的个数为2. 2.(2017课标全国Ⅱ理,2,5分)设集合 A ={1,2,4}, B ={ x | x 2 -4 x + m =0}.若 A ∩ B ={1},则 B =   (　　) A.{1,-3}　    B.{1,0}　    C.{1,3}　    D.{1,5} 答案     C　∵ A ∩ B ={1}, ∴1∈ B , ∴1-4+ m =0,∴ m =3. 由 x 2 -4 x +3=0,解得 x =1或 x =3. ∴ B ={1,3}. 经检验符合题意.故选C. 3.(2017山西八校第一次联考)已知集合 A ={ x |( x -3)( x +1) ≤ 0}, B ={ x |0< x ≤ 4},则 A ∪ B =   (　　) A.[-1,4]　     B.(0,3] C.(-1,0] ∪ (1,4]　     D.[-1,0] ∪ (1,4] 答案     A     A ={ x |( x -3)( x +1) ≤ 0}={ x |-1 ≤ x ≤ 3},故 A ∪ B =[-1,4],选A. 4.(2017贵州贵阳检测)设向量 a =(1, x -1), b =( x +1,3),则“ x =2”是“ a ∥ b ” 的   (　　) A.充分不必要条件　     B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件 答案     A     a ∥ b 的充要条件是1 × 3=( x -1)( x +1),解得 x = ± 2.因此“ x =2” 是“ a ∥ b ”的充分不必要条件,选A. 5.(2017山西重点中学五月联考)已知命题 p :对任意 x ∈(0,+ ∞ ),log 2 x < log 4 x ,命题 q :存在 x 0 ∈R,使得tan x 0 =1- x 0 ,则下列命题为真命题的是   (　　) A. p ∧ q 　     B.(¬ p )∧(¬ q ) C. p ∧(¬ q )　     D.(¬ p )∧ q 答案     D　易知命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,故¬ p 是真命题,因此 (¬ p )∧ q 是真命题,故选D.