【数学】2020届一轮复习人教B版欲证不等恒成立，差值函数求值域学案

【数学】2020届一轮复习人教B版欲证不等恒成立，差值函数求值域学案

【题型综述】 利用导数解决不等式恒成立问题的策略： 构造差函数 ．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调 性得不等量关系，进而证明不等式． 具体做法如下： 首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而 求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 证明 ， 时，可以构造函数 ，如果 ，则 在 上是减函数，同时若 ，由减函数的定义可知，当 时，有 ，即证明 ． 【典例指引】 例 1．已知函数 ， 为其导函数. (1) 设 ，求函数 的单调区间； (2) 若 ，设 ， 为函数 图象上不同的两点，且满足 ， 设线段 中点的横坐标为 证明： . 【思路引导】 （1）求出函数的导数，通过讨论 的范围， 得增区间， 得减区间即可；（2）问题转 化为证明 令 ，根据函数单调性证明即可. ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( ) ( )f x g x< ( ),x a b∈ ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( ) 0F x′ < ( )F x ( ),a b ( ) 0F a ≤ ( ),x a b∈ ( ) 0F x < ( ) ( )f x g x< ( ) ( )2 1 12 ln 2f x a x a axx = − − + ( )'f x ( ) ( ) 1g x f x x = + ( )g x 0a > ( )( )1 1,A x f x ( )( )2 2,B x f x ( )f x ( ) ( )1 2 1f x f x+ = AB 0 ,x 0 1ax > a ( )' 0f x > ( )' 0f x < ( ) ( )2 2 21 *f x f xa  − > −   ( ) ( )2 1F x f x f xa  = − + −   ( )2 22 1 12 ln 2 2 ln2a x a ax a x a axa xxa  = − − − − + − −   − (2) 法一： ，故 在定义域 上单调递增. 只需证： ，即证 (*) 注意到 不妨设 . 令 ， 则 ，从而 在 上单减， 故 ， 即得(*)式.& 法二：(2) 故 在定义域 上单调递增. 注意到 且 1 2 0 1 2 1 21 2 x xax x xa a +> ⇔ > ⇔ > − ( ) 2 2 2 1 2 1' 0af x a ax x x  = + − = − ≥   ( )f x ( )0,+∞ ( )1 2 2f x f xa  > −   ( )2 2 21 f x f xa  − > −   ( ) ( )1 2 1 11, ,2f x f x f a  + = =   1 2 10 x xa < < < ( ) ( ) ( )2 22 2 1 11 2 ln 2 2 ln2F x f x f x a x a ax a x a axa a xxa    = − + − = − − − − + − −       − ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 2 22 2 4 11 2 2' 022 2 axa a aF x x x axax x ax −= − − + = − ≤−− − 1x a ∀ ≥ ( )F x 1 ,a  +∞  ( )2 1 0F x F a  < =   ( ) 2 2 2 1 2 1' 0af x a ax x x  = + − = − ≥   ( )f x ( )0,+∞ 1' 0f a   =   1 1 .2f a   =   故 ，且等号仅在 处取到. 所以 与 图象关系如下： 取 ，则显然有 , 从而 ， 另外由三次函数 的中心对称性可知 ，则有 .& 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思 想解决高中数问题的一种重要思想方法，是中数四种重要的数思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇 特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同们能够熟练掌握并应用与解题当 中. 例 2．已知定义域为 的函数 存在两个零点． （1）求实数 的取值范围； （2）若 ，求证： ． 【思路引导】 （1）分离参数得 ，借助函数 的图象进行求解；（2）由于 ，则 在 区 间 上 单 调 递 增 ， ( ) 1 0g x g a  ≥ =   1 a ( )h x ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )3 1 4 2,h x f x h x f x= = 1 3 2 4,x x x x> > 1 2 3 4x x x x+ > + ( )h x 3 4 2x x a + = 1 2 2x x a + > ( )1,+∞ ( ) lnf x a x x= + a ( ) ( ) ( )0 f m f n f xm n − =− ′ 02 m n x + > ln xa x − = ( ) 1ln xx xx ϕ = >， ( ) 1af x x ′ = + ( )f x′ ( )1,+∞ ( )02 m nf f x +  −  ′  ′  ( )ln ln2 a m na m n m n −= −+ − ，故只需证明 即可．由题知 且 ，不妨设 ，则 ，构造 ，只需证明 即可，利用导 数的知识可求解． 又 ，& 2 1 ln 1 m a mn mm n n n   −    = −−  +   2 1 ln 0 1 m a mn mm n n n   −    − >−  +   ( ), 1,m n∈ +∞ m n≠ 1 m n< < ( )0,1mt n = ∈ ( ) ( )2 1 ln1 tg t tt −= −+ ( ) 0g t > ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ln ln 1f m f n a m nf x m n m n − −= = − ′ +− ∴ ， 又 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ 在区间 上单调递增， ∴ ，得证．& 点评：解答时注意以下两点：（1）涉及已知函数零点的个数求参数的问题，可通过分析所给函数的特点采 用分离参数的方法利用数形结合求解．（2）比较大小时，可通过构造函数，利用函数的单调性和函数值的 大小关系处理，在解题中多次构造函数处理问题． 例 3．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若关于的不等式 恒成立，证明： 且 ． 【思路引导】 2 1 ln 0 1 m mn m n n  −   − > + 0, 0a e m n< − < − < 2 1 ln 0 1 m a mn mm n n n   −    − >−  +   ( )0 02 m nf f x +  − ′  ′ > ( )02 m nf f x +  >  ′  ′  ( ) 1af x x ′ = + ( )1,+∞ 02 m n x + > （1）求导，令 和 ，求得函数单调区间（2）构造函数令 ，求导后 分类讨论，利用单调性证明． 点评：关于含参量恒成立问题有两种方法，分离含参量和带参量计算，本题构造新函数，带有参量一起求 导，判定新函数的单调性，求得最大值时恒小于或等于零，即可证得结论．